Кіріспе
Жинақ теориясындағы түсінік. Жинақ теориясындағы алмастыру аксиомалық схемасы – Зермело-Франкель жинақ теориясындағы (ZF) аксиомалардың схемасы, ол кез келген анықталған бейнелеудегі кез келген жиынның бейнесі де жиын екенін көрсетеді. Бұл ZF-те белгілі бір шексіз жиындарды құру үшін қажет. Аксиомалық схеманың негізі – класс жиын болып табыса ма, жоқ па, оның элементтерінің рангісіне емес, класс өзінің кардиналдығына байланысты деген идея. Демек, егер бір класс жиын болу үшін "жеткілікті кішкентай" болса және сол класстан екінші классқа эпиморфизм (көшіру) болса, онда аксиома екінші класс та жиын екенін айтады. Алайда, ZFC тек жиындар туралы, нақты класс туралы емес сөйлесетіндіктен, схема тек анықталған эпиморфизмдер үшін тұжырымдалады, олар өз анықтамалық формулаларымен сәйкестендіріледі.
In set theory, the axiom schema of replacement is a schema of axioms in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) that asserts that the image of any set under any definable mapping is also a set. It is necessary for the construction of certain infinite sets in ZF. The axiom schema is motivated by the idea that whether a class is a set depends only on the cardinality of the class, not on the rank of its elements. Thus, if one class is "small enough" to be a set, and there is a surjection from that class to a second class, the axiom states that the second class is also a set. However, because ZFC only speaks of sets, not proper classes, the schema is stated only for definable surjections, which are identified with their defining formulas.
Қолданбалар
Аксиомалық алмастыру схемасы қалыпты математиканың көптеген теоремаларын дәлелдеу үшін қажет емес. Шындығында, Зермело жиын теориясы (Z) екінші реттік арифметиканы және шекті типтердегі типтік теорияның көп бөлігін түсіндіре алады, бұл математиканың көп бөлігін формалдауға жеткілікті. Аксиомалық алмастыру схемасы бүгінде жиын теориясында стандартты аксиома болғанымен, ол көбінесе типтік теория жүйелерінен және топостық теориядағы негізгі жүйелерден алынып тасталады. Дегенмен, аксиомалық схема ZF-тің күшін айтарлықтай арттырады, теоремалар тұрғысынан, ол дәлелдей алатын нәрселерге қатысты (мысалы, бар екені дәлелденген жиындар) және Z-мен салыстырғанда оның теориялық тұрақтылық күшіне қатысты. Кейбір маңызды мысалдар: Фон Нейманның қазіргі заманғы анықтамасын қолдану арқылы ω-дан үлкен кез келген шекті ординалдың бар екенін дәлелдеу үшін алмастыру аксиомасы қажет. Ореттік сан ω·2 = ω + ω – мұндай алғашқы ординал. Шексіздік аксиомасы ω = {0, 1, 2, …} шексіз жиынының бар екенін күтіреді. ω·2-ні {ω, ω + 1, ω + 2, …} тізбегінің бірітілімі ретінде анықтауға болады. Алайда, кез келген мұндай ординалдар класы міндетті түрде жиын болуы керек емес – мысалы, барлық ординалдар класы жиын емес. Алмастыру енді ω-дағы әрбір n шекті санын сәйкес ω + n-мен алмастыруға мүмкіндік береді, осылайша бұл сынып жиын екеніне кепілдік береді. Нақтырақ айтқанда, ω·2-ге изоморфты жақсы реттелген жиынды алмастыруды қолданбай-ақ құруға болады – жай ғана ω-ның екі көшірмесінің жиынтығын алыңыз, екінші көшірме біріншісінен үлкен, бірақ бұл ординал емес, өйткені ол кіріктірілім бойынша толық реттелмейді. Үлкен ординалдар алмастыруға тікелей байланысты емес. Мысалы, жақсы реттелген әрбір жиынды ординалмен алмастырыңыз. Бұл ω1 саналатын ординалдар жиыны, оның өзі санауға болмайтын екені көрсетілуі мүмкін. Құрылым екі рет алмастыруды қолданады; біріншісі – әрбір жақсы реттелген жиын үшін ординал тағайындауын қамтамасыз ету үшін, екіншісі – жақсы реттелген жиындарды олардың ординалдарымен алмастыру үшін. Бұл Хартог санының нәтижесіне қатысты ерекше жағдай, ал жалпы жағдай да осылай дәлелденуі мүмкін. Жоғарыда айтылғандарды ескеретін болсақ, әрбір жақсы реттелген жиынға ординал тағайындаудың болуы да алмастыруды қажет етеді. Сол сияқты, фон Нейманның әрбір жиынға негізгі санды тағайындайтын кардиналдық тағайындауы алмастыруды, сондай-ақ таңдау аксиомасын қажет етеді. Рекурсивті түрде анықталған жұптар жиындары үшін және үлкен n үшін, жиынның дәрежесі тек қуат жиыны аксиомасымен, таңдаумен және алмастырусыз жиын теориясынан дәлелденуге болатыннан жоғары. Сол сияқты, Харви Фридман Борель ойындарының анықталғанын көрсету үшін алмастыру қажет екенін көрсетті. Дәлелденген нәтиже – Дональд А. Мартиннің Борель анықтығы теоремасы. ZF алмастыру арқылы Z-нің тұрақтылығын дәлелдейді, өйткені Vω·2 жиыны Z-нің моделі болып табылады, оның бар екендігі ZF-де дәлелденуі мүмкін. Кардинал сан ZF-де бар, бірақ Z-де жоқ екені көрсетілуі мүмкін алғашқы сан. Нақтырақ айтқанда, Гедельдің екінші толық емес теоремасы осы теориялардың әрқайсысында теорияның өзінің тұрақтылығын «көрсететін» сөйлем бар екенін көрсетеді, бұл теорияда дәлелденбейді, егер бұл теория тұрақты болса – бұл нәтиже көбінесе еркін түрде осы теориялардың өзінің тұрақтылығын дәлелдей алмайтыны деп түсіндіріледі, егер олар тұрақты болса.
Using the modern definition due to von Neumann, proving the existence of any limit ordinal greater than ω requires the replacement axiom. The ordinal number ω·2 = ω + ω is the first such ordinal. The axiom of infinity asserts the existence of an infinite set ω = {0, 1, 2, }. One may hope to define ω·2 as the union of the sequence {ω, ω + 1, ω + 2, }. However, arbitrary such classes of ordinals need not be sets for example, the class of all ordinals is not a set. Replacement now allows one to replace each finite number n in ω with the corresponding ω + n, and thus guarantees that this class is a set. As a clarification, note that one can easily construct a well ordered set that is isomorphic to ω·2 without resorting to replacement – simply take the disjoint union of two copies of ω, with the second copy greater than the first – but that this is not an ordinal since it is not totally ordered by inclusion. Larger ordinals rely on replacement less directly. For example, ω1, the first uncountable ordinal, can be constructed as follows – the set of countable well orders exists as a subset of by separation and powerset (a relation on A is a subset of , and so an element of the power set A set of relations is thus a subset of )). Replace each well ordered set with its ordinal. This is the set of countable ordinals ω1, which can itself be shown to be uncountable. The construction uses replacement twice; once to ensure an ordinal assignment for each well ordered set and again to replace well ordered sets by their ordinals. This is a special case of the result of Hartogs number, and the general case can be proved similarly. In light of the above, the existence of an assignment of an ordinal to every well ordered set requires replacement as well. Similarly the von Neumann cardinal assignment which assigns a cardinal number to each set requires replacement, as well as axiom of choice. For sets of tuples recursively defined as and for large , the set has too high of a rank for its existence to be provable from set theory with just the axiom of power set, choice and without replacement. Similarly, Harvey Friedman showed that replacement is required to show that Borel games are determined. The proven result is Donald A. Martin's Borel determinacy theorem. ZF with replacement proves the consistency of Z, as the set Vω·2 is a model of Z whose existence can be proved in ZF. The cardinal number is the first one which can be shown to exist in ZF but not in Z. For clarification, note that Gödel's second incompleteness theorem shows that each of these theories contains a sentence, "expressing" the theory's own consistency, that is unprovable in that theory, if that theory is consistent this result is often loosely expressed as the claim that neither of these theories can prove its own consistency, if it is consistent.
Жайлатулар
Ауыстыру аксиомалық схемасына әр түрлі эквивалентті нұсқаларды алу үшін кейбір жеңілдетулер енгізілуі мүмкін. Азриэль Леви параметрлерсіз ауыстыру нұсқасының, яғни келесі схеманың бастапқы нысанмен эквивалентті екенін көрсетті. Атап айтқанда, бұл эквиваленттілік экстенсионалдылық, жұптастыру, біріктіру және қуат жиыны аксиомалары болғанда сақталады.
Бөлу
Бөлу аксиомалық схемасы, ZFC-дегі тағы бір аксиомалық схема, алмастыру аксиомалық схемасы және бос жиын аксиомасы арқылы туындайды. Еске сала кетейік, бөлу аксиомалық схемасы жиын теориясы тіліндегі , яғни -ны қамтымайтын әрбір формула үшін келесіні қамтиды:
for each formula in the language of set theory in which is not free, i. e. that does not mention
The proof is as follows: Either contains some element validating , or it does not. In the latter case, taking the empty set for fulfills the relevant instance of the axiom schema of separation and one is done. Otherwise, choose such a fixed in that validates Now define for use with replacement. Using function notation for this predicate , it acts as the identity wherever is true and as the constant function wherever is false. By case analysis, the possible values are unique for any , meaning indeed constitutes a class function. In turn, the image of under , i. e. the class , is granted to be a set by the axiom of replacement. This precisely validates the axiom of separation. This result shows that it is possible to axiomatize ZFC with a single infinite axiom schema. Because at least one such infinite schema is required (ZFC is not finitely axiomatizable), this shows that the axiom schema of replacement can stand as the only infinite axiom schema in ZFC if desired. Because the axiom schema of separation is not independent, it is sometimes omitted from contemporary statements of the Zermelo Fraenkel axioms. Separation is still important, however, for use in fragments of ZFC, because of historical considerations, and for comparison with alternative axiomatizations of set theory. A formulation of set theory that does not include the axiom of replacement will likely include some form of the axiom of separation, to ensure that its models contain a sufficiently rich collection of sets. In the study of models of set theory, it is sometimes useful to consider models of ZFC without replacement, such as the models in von Neumann's hierarchy. The proof given above assumes the law of excluded middle for the proposition that is inhabited by a set validating , and for any when stipulating that the relation is functional. The axiom of separation is explicitly included in constructive set theory, or a bounded variant thereof.
-ның мәнін растайтын элемент бар немесе жоқ. Егер элемент болмаса, онда бөлу аксиомалық схемасының тиісті жағдайы бос жиынды таңдау арқылы орындалады. Әйтпесе, -дағы -ны растайтын нақты бір элементті таңдап алыңыз. Содан кейін алмастыру үшін қолданылатын келесіні анықтаңыз. Бұл предикатты функциялық нотацияда қолдансақ, -ның шын мәні бар жерінде сәйкестік ретінде, ал жалған мәні бар жерде тұрақты функция ретінде әрекет етеді. Жағдайлар бойынша талдау жасағанда, кез келген үшін мәндер бірегей болады, яғни бұл шын мәнінде сыныптық функцияны құрайды. Сөйтіп, -ның астындағы бейнесі, яғни класс, алмастыру аксиомасы бойынша жиын болып табылады. Бұл бөлу аксиомасын нақты растайды. Бұл нәтиже ZFC-ні бір шексіз аксиомалық схемамен аксиоматизациялауға болатынын көрсетеді. ZFC шекті түрде аксиоматизацияланбайтындықтан және кем дегенде бір шексіз схема қажет болғандықтан, алмастыру аксиомалық схемасы қалауынша ZFC-дегі жалғыз шексіз аксиомалық схема ретінде тұра алады. Бөлу аксиомалық схемасы тәуелсіз болмағандықтан, ол кейде Зермело-Френкель аксиомаларының қазіргі заманғы тұжырымдамаларында қалдырылмайды. Дегенмен, тарихи себептермен және жиын теориясының баламалы аксиоматизацияларымен салыстыру үшін ZFC фрагменттерінде қолдану үшін бөлу әлі де маңызды. Жиын теориясының тұжырымдамасы, егер алмастыру аксиомасын қамтымаса, модельдерінде жиындардың жеткілікті бай жиынтығы бар екенін қамтамасыз ету үшін бөлу аксиомасының кейбір түрін қамтиды. Жиын теориясының модельдерін зерттеуде, мысалы, фон Нейман иерархиясындағы модельдер сияқты, алмастырусыз ZFC модельдерін қарастыру кейде пайдалы. Жоғарыда келтірілген дәлелдеме, -ның мәнін растайтын жиынмен толтырылғандығы туралы ұйғарым үшін және қатынастың функциялық екенін белгілеген кезде, орталықты жоққа шығару заңын қабылдайды. Бөлу аксиомасы конструктивті жиын теориясына немесе оның шектеулі түріне тікелей кіреді.
for each formula in the language of set theory in which is not free, i. e. that does not mention
The proof is as follows: Either contains some element validating , or it does not. In the latter case, taking the empty set for fulfills the relevant instance of the axiom schema of separation and one is done. Otherwise, choose such a fixed in that validates Now define for use with replacement. Using function notation for this predicate , it acts as the identity wherever is true and as the constant function wherever is false. By case analysis, the possible values are unique for any , meaning indeed constitutes a class function. In turn, the image of under , i. e. the class , is granted to be a set by the axiom of replacement. This precisely validates the axiom of separation. This result shows that it is possible to axiomatize ZFC with a single infinite axiom schema. Because at least one such infinite schema is required (ZFC is not finitely axiomatizable), this shows that the axiom schema of replacement can stand as the only infinite axiom schema in ZFC if desired. Because the axiom schema of separation is not independent, it is sometimes omitted from contemporary statements of the Zermelo Fraenkel axioms. Separation is still important, however, for use in fragments of ZFC, because of historical considerations, and for comparison with alternative axiomatizations of set theory. A formulation of set theory that does not include the axiom of replacement will likely include some form of the axiom of separation, to ensure that its models contain a sufficiently rich collection of sets. In the study of models of set theory, it is sometimes useful to consider models of ZFC without replacement, such as the models in von Neumann's hierarchy. The proof given above assumes the law of excluded middle for the proposition that is inhabited by a set validating , and for any when stipulating that the relation is functional. The axiom of separation is explicitly included in constructive set theory, or a bounded variant thereof.
Ойлану
Левидің ZFC үшін шағылысу принципі, шексіздік аксиомасы қабылдағанда, алмастыру аксиомасына эквивалентті. Левидің принципі былай тұжырымдалады:
Кез келген жиын және кез келген бірінші реттік формула үшін , мұндай жиын бар.
Бұл – әр формула үшін бірден тұратын, санаулы көптеген мәлімдемелерден құралған схема. Мұнда дегеніміз – , бірақ және айнымалыларының әрбір мысалы сәйкесінше және мен ауыстырылған, яғни сандық белгілері жиынмен шектелген .
This is a schema that consists of countably many statements, one for each formula Here, means with all quantifiers bounded to , i. e. but with every instance of and replaced with and respectively.
Тарих
Аксиомалық алмастыру схемасы Эрнст Зермелоның 1908 жылғы жиын теориясының аксиоматизациясына (Z) кірмеген. Оған Кантордың жарияланбаған еңбектерінде белгілі бір дәрежеде жақындық болған, сондай-ақ ол Миримановта (1917) да бейресми түрде кездеседі. 1922 жылы Абрахам Френкельдің жариялаған жұмысы қазіргі жиын теориясын Зермело-Френкель жиын теориясына (ZFC) айналдырды. Аксиоманы сол жылы Торальф Сколем тәуелсіз түрде ашты және жариялады (ал 1923 жылы жарияланды). Зермело өзі 1930 жылы жариялаған өңделген жүйесіне Френкель аксиомасын қосты, сонымен қатар фон Нейманның негіз аксиомасын жаңа аксиома ретінде енгізді. Біз бүгін қолданатын аксиомалар тізімінің бірінші реттік нұсқасы Сколемге тиесілі болғанымен,
Зермело мен Френкель 1921 жылы көп хат алмасты; алмастыру аксиомасы осы сәйкестіктің маңызды тақырыбы болды. Френкель 1921 жылдың наурыз айында Зермеломен хат алмасуды бастады. Дегенмен, оның 1921 жылғы 6 мамырдағы хатына дейінгі хаттары жоғалып кеткен. Зермело жүйесіндегі кемшілік бар екенін алғаш рет 1921 жылғы 9 мамырда Френкельге берген жауабында мойындады. 1921 жылғы 10 шілдеде Френкель өзінің аксиомасы кез келген алмастыруға мүмкіндік беретінін сипаттаған мақаласын аяқтап, жариялауға жіберді (1922 жылы жарияланды): «Егер M жиын болса және M-нің әрбір элементі [жиын немесе бастапқы элемент] арқылы алмастырылса, онда M қайтадан жиынға айналады» (Еббингхаус толықтырған және аударған). Френкельдің 1922 жылғы басылымында Зермелоға көмектескен аргументтері үшін алғыс айтылды. Осы басылымға дейін Френкель өзінің жаңа аксиомасын 1921 жылғы 22 қыркүйекте Йенада өткен Неміс математикалық қоғамының мәжілісінде жариялады. Зермело осы мәжілісте болды; Френкельдің баяндамасынан кейінгі талқылауда ол алмастыру аксиомасын қабылдады, бірақ оның көлеміне қатысты ескертулер білдірді. Ол сондай-ақ Сколемнің бірінші реттік аксиоматизациясынан туындаған жиын теориясының саналатын модельдерінің философиялық салдарына қарсы күшті наразылық білдірді. Хайнц Дитер Эббингхаус жазған Зермелоның өмірбаяннамасына сәйкес, Зермелоның Сколемнің тәсіліне наразылығы жиын теориясы мен логиканың дамуында Зермелоның ықпалын аяқтады.