Тангроид ойыны: математикалық өрілулер мен бұрылулар

Кіріспе

Математикалық ойын. Tangloids – екі ойыншыға арналған математикалық ойын, оны Пит Хайн спинорлардың есебін модельдеу үшін жасаған. Ойынның сипаттамасы 1996 жылы Мартин Гарднердің «Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American» кітабында тоқу математикасы тақырыбында жарияланған. Екі қабат ағаштан жасалған екі блок, әрқайсысы үш кішкентай тесікпен тесілген, үш параллель жіппен біріктірілген. Әр ойыншы бір ағаш блогын ұстайды. Бірінші ойыншы бір ағаш блогын қозғалмай ұстап тұрса, екінші ойыншы екінші ағаш блогын екі толық айналымға бұрады. Айналу жазықтығы жіптерге қатысты перпендикуляр болады, түйінделмеген кезде. Енді жіптер бір-бірімен келісіп жатыр. Содан кейін бірінші ойыншы екі ағаш блогын да бұрмай, жіптерді түйінін ашуға тырысады. Рұқсат етілген нәрсе – тек жылжу (бұрмау арқылы бөлшектерді жылжыту). Соңынан ойыншылар рөлдерін ауыстырады; кім жіптерді ең жылдам түйінін аша алса, сол жеңімпаз болады. Бір айналыммен де талқыңыз. Әрине, жіптер қайтадан келісіп жатыр, бірақ оларды екі ағаш блогының біреуін бұрмай түйінін ашу мүмкін емес. Балилік шам биінде кездесетін балилік кесе тәсілі – осы математикалық идеяның басқаша мысалы. Анти-Твистер механизмі – мұндай бағдарлау түйіндерін болдырмауға арналған құрылғы. Бұл идеялардың математикалық түсіндірмесі кватерниондар және кеңістіктік айналу туралы мақалада табылады.

Математикалық артикуляция

Бұл ойын кеңістіктегі айналудың, тек бір қатты дененің кеңістікте айналуын қарастыру арқылы интуитивті түсіндіруге келмейтін қасиеттері бар екенін түсіндіруге арналған. Векторлардың айналуы, айналу тобымен берілген айналулардың абстракті модельдерінің барлық қасиеттерін қамтымайды. Ойын арқылы көрсетілетін қасиет математикада "SO(3) тобының SU(2) тобымен екі рет жабылуы" деп аталады. Бұл абстракті ұғымды шамамен келесідей бейнелеуге болады. Үш өлшемдегі айналулар 3x3 матрицалар түрінде, x, y, z үшін әрқайсысы бір саннан тұратын блок ретінде беріледі. Егер кішкентай айналуларды қарастырсақ, айналулар кеңістік құрайды деген қорытындыға келеміз, яғни әрбір айналу нүкте ретінде қарастырылса, жақын маңдағы басқа нүктелер, жақын маңдағы айналулар әрқашан болады, олар тек аз ғана өзгешеленеді. Шағын аудандарда, жақын маңдағы нүктелер жиынтығы Евклид кеңістігіне ұқсайды. Шындығында, ол үш өлшемді Евклид кеңістігіне ұқсайды, себебі шексіз кішкентай айналулар үшін үш түрлі бағыт бар: x, y және z. Бұл айналу тобының кішкентай аудандардағы құрылымын дұрыс сипаттайды. Дегенмен, үлкен айналулар тізбегі үшін бұл модель бұзылады; мысалы, оңға бұрылып, содан кейін жатып алу, алдымен жатып алып, содан кейін оңға бұрылудан өзгеше. Айналу тобы кішкентай масштабта 3D кеңістік құрылымын иеленсе де, үлкен масштабта оның құрылымы басқаша. Кішкентай масштабта Евклид кеңістігіне ұқсайтын, бірақ мүмкін күрделі жаһандық құрылымы бар жүйелер көптіктер деп аталады. Көптіктердің танымал мысалдары сфераларды қамтиды: олар жаһандық тұрғыдан дөңгелек, бірақ жергілікті деңгейде жазық сезіледі және жазық көрінеді, сондықтан "жазық Жер". Айналу тобын мұқият зерттеу оның қарама-қарсы нүктелері бар 3 сфера құрылымын иеленгенін көрсетеді. Яғни, әрбір айналу үшін 3 сферада екі түрлі, қарама-қарсы нүктелер бар, олар осы айналуды сипаттайды. Осыны танглоидтар көрсетеді. Бұл өте тапқыр иллюстрация. 360 градустық айналуды бірден бір градуспен, кішкентай қадамдар ретінде жасаңыз. Бұл қадамдар сізді жолға салады, осы абстрактілі көптікпен, айналудың абстрактілі кеңістігімен саяхатқа шығарады. Бұл 360 градустық саяхат аяқталғаннан кейін сіз үйге қайтып келмейсіз, керісінше, қарама-қарсы полярлық нүктеге жетесіз. Сіз сол жерде тұрып қаласыз, екінші 360 градустық саяхат жасамайынша бастапқы нүқтеге қайта орала алмайсыз. Осы абстрактілі кеңістіктің құрылымы, полярлық қарама-қарсылары бар 3 сфера, өте ерекше. Техникалық тұрғыдан алғанда, бұл проекциялық кеңістік. Шарды алып, ішінен ауаны шығарып, екі полярлық нүктені біріктіріп жатқаныңызды көзге елестетіңіз. Шын өмірде осыны жасауға тырыссаңыз, жаһандық деңгейде оны іске асыру мүмкін емес екенін тез түсінесіз. Жергілікті деңгейде, кез келген кішкентай бөлік үшін, бұрып, желімдеу қадамдарын орындауға болады, бірақ жаһандық деңгейде осыны істеуге болмайды. (Есте сақтаңыз, бұл шар 2 сферасы, айналулардың 3 сферасы емес.) Одан әрі оңайлату үшін, шеңберден бастап, полярлық қарама-қарсыларын біріктіруге тырысуға болады, бірақ бәрібір сәтсіздікке ұшырайсыз. Ең жақсысы - түзу сызықтар арқылы өтетін сызықтарды салу және полярлық қарама-қарсылардың бірдей нүкте екенін жариялау. Бұл кез келген проекциялық кеңістіктің негізгі құрылымы. "Екі рет жабылу" деп аталатын идея, полярлық қарама-қарсылардың біріктірілуін кері қайтаруға болады дегенді білдіреді. Бұл салыстырмалы түрде қарапайым түрде түсіндірілуі мүмкін, бірақ ол кейбір математикалық белгілерді енгізуді қажет етеді. Бірінші қадам - "Ли алгебрасы" деп айту. Бұл екі вектордың көбейтілу қасиеті бар векторлық кеңістік. Бұл x осі бойынша кішкентай айналудан кейін y осі бойынша кішкентай айналудың осы екеуінің реттілігін кері айналдырумен бірдей емес екендігіне байланысты пайда болады; олар әртүрлі, ал айырмашылық z осі бойымен кішкентай айналу. Бұл теңсіздікті формальды түрде жазуға болады, x, y және z сандар емес, сансыз аз айналулар екенін есте ұстай отырып. Олар коммутацияланбайды. "Бұл не?" деп сұрауға болады. Әрине, 3D айналу матрицалары да солай, өйткені олар 3D кеңістіктегі айналуларды математикалық тұрғыдан дұрыс сипаттайды. Бірақ 2x2, 4x4, 5x5 матрицалары да осы қасиетке ие. "Олай болса, олардың көптіктерінің пішіні қандай?" деп сұрауға болады. 2x2 жағдайында Ли алгебрасы su(2) деп аталады, ал көптік SU(2) деп аталады, және қызықтысы, SU(2) көптігі 3 сфера (бірақ полярлық қарама-қарсыларды проективті сәйкестендірусіз). Бұл енді біреудің ойын ойнауына мүмкіндік береді. Кәдімгі 3D кеңістіктегі векторды алып, оған айналу матрицасын қолдансақ, айналған векторды аламыз. Бұл кәдімгі, "ақылға қонымды" айналуды қолданудың нәтижесі. Бірақ бізде Паули матрицалары да бар; бұл 2x2 кешенді матрицалар, олардың Ли алгебрасы қасиеті бар және осылайша сансыз кішкентай айналулардың мінез-құлқына модельдейді. Содан кейін олардың көбейтіндісін қарастырайық. "Екі рет жабылу" қасиеті, екі 2x2 матрица бар екенін көрсетеді, олардың кері матрицалары бар, яғни . Матрица SU(2) элементі болып табылады, сондықтан әрбір SO(3) матрицасы үшін екі сәйкес матрица бар: екеуі де осы шартты орындайды. Бұл екеуі полярлық қарама-қарсылар, ал проекциясы тек екенін көрсетеді. Танглоид ойыны 360 градустық айналу сізді нүктеден нүқтеге апарады екенін көрсетуге арналған. Бұл өте нақты: кішкентай айналулар тізбегін қарастыруға болады және осыған сәйкес ; нәтиже өзгеріп тұрады. Айналу бұрыштары тұрғысынан матрицада болады, бірақ сәйкес матрицада болады. Одан әрі түсіндіру үшін осы формулаларды жазу қажет. Сұлбаны кейбір жалпы ескертулермен аяқтауға болады. Біріншіден, Ли алгебралары жалпы, және әрқайсысы үшін бір немесе бірнеше сәйкес Ли тобы бар. Физикада, қалыпты 3D нысандардың 3D кеңістіктегі айналуы айналу тобымен сипатталады, ол 3x3 матрицалардың Ли тобы. Дегенмен, спинорлар, 1/2 спиндік бөлшектер SU(2) матрицалары бойынша айналады. 4x4 матрицалар 3/2 спиндік бөлшектердің айналуын сипаттайды, ал 5x5 матрицалар 2 спиндік бөлшектердің айналуын сипаттайды, және т.б. Ли топтары мен Ли алгебраларының ұсынылымдары ұсынылымдар теориясымен сипатталады. 1/2 спиндік ұсынылым негізгі ұсынылымға жатады, ал 1 спин - қосымша ұсынылымға жатады. Мұнда қолданылатын екі рет жабылу құбылысы, жабу карталарымен сипатталатын жалпы құбылыс. Жабу карталары өз кезегінде, талшықтық жиынтықтардың ерекше жағдайы болып табылады. Жабу карталарын жіктеу гомотопия теориясы арқылы жүзеге асырылады; бұл жағдайда, екі рет жабылудың формальды өрнегі негізгі топ екенін айту болып табылады, мұнда жабу тобы екі эквивалентті айналуды енкодилейді. Осы мағынада, айналу тобы жол ашады, математиканың кең аумағына кіріс кілті болып табылады.

This game serves to clarify the notion that rotations in space have properties that cannot be intuitively explained by considering only the rotation of a single rigid object in space. The rotation of vectors does not encompass all of the properties of the abstract model of rotations given by the rotation group. The property being illustrated in this game is formally referred to in mathematics as the "double covering of SO(3) by SU(2)". This abstract concept can be roughly sketched as follows. Rotations in three dimensions can be expressed as 3x3 matrices, a block of numbers, one each for x,y,z. If one considers arbitrarily tiny rotations, one is led to the conclusion that rotations form a space, in that if each rotation is thought of as a point, then there are always other nearby points, other nearby rotations that differ by only a small amount. In small neighborhoods, this collection of nearby points resembles Euclidean space. In fact, it resembles three dimensional Euclidean space, as there are three different possible directions for infinitesimal rotations: x, y and z. This properly describes the structure of the rotation group in small neighborhoods. For sequences of large rotations, however, this model breaks down; for example, turning right and then lying down is not the same as lying down first and then turning right. Although the rotation group has the structure of 3D space on the small scale, that is not its structure on the large scale. Systems that behave like Euclidean space on the small scale, but possibly have a more complicated global structure are called manifolds. Famous examples of manifolds include the spheres: globally, they are round, but locally, they feel and look flat, ergo "flat Earth". Careful examination of the rotation group reveals that it has the structure of a 3 sphere with opposite points identified. That means that for every rotation, there are in fact two different, distinct, polar opposite points on the 3 sphere that describe that rotation. This is what the tangloids illustrate. The illustration is actually quite clever. Imagine performing the 360 degree rotation one degree at a time, as a set of tiny steps. These steps take you on a path, on a journey on this abstract manifold, this abstract space of rotations. At the completion of this 360 degree journey, one has not arrived back home, but rather instead at the polar opposite point. And one is stuck there one can't actually get back to where one started until one makes another, a second journey of 360 degrees. The structure of this abstract space, of a 3 sphere with polar opposites identified, is quite weird. Technically, it is a projective space. One can try to imagine taking a balloon, letting all the air out, then gluing together polar opposite points. If attempted in real life, one soon discovers it can't be done globally. Locally, for any small patch, one can accomplish the flip and glue steps; one just can't do this globally. (Keep in mind that the balloon is , the 2 sphere; it's not the 3 sphere of rotations.) To further simplify, one can start with , the circle, and attempt to glue together polar opposites; one still gets a failed mess. The best one can do is to draw straight lines through the origin, and then declare, by fiat, that the polar opposites are the same point. This is the basic construction of any projective space. The so called "double covering" refers to the idea that this gluing together of polar opposites can be undone. This can be explained relatively simply, although it does require the introduction of some mathematical notation. The first step is to blurt out "Lie algebra". This is a vector space endowed with the property that two vectors can be multiplied. This arises because a tiny rotation about the x axis followed by a tiny rotation about the y axis is not the same as reversing the order of these two; they are different, and the difference is a tiny rotation in along the z axis. Formally, this inequivalence can be written as , keeping in mind that x, y and z are not numbers but infinitesimal rotations. They don't commute. One may then ask, "what else behaves like this?" Well, obviously the 3D rotation matrices do; after all, the whole point is that they do correctly, perfectly mathematically describe rotations in 3D space. As it happens, though, there are also 2x2, 4x4, 5x5, matrices that also have this property. One may reasonably ask "OK, so what is the shape of their manifolds?". For the 2x2 case, the Lie algebra is called su(2) and the manifold is called SU(2), and quite curiously, the manifold of SU(2) is the 3 sphere (but without the projective identification of polar opposites). This now allows one to play a bit of a trick. Take a vector in ordinary 3D space (our physical space) and apply a rotation matrix to it. One obtains a rotated vector This is the result of applying an ordinary, "common sense" rotation to But one also has the Pauli matrices ; these are 2x2 complex matrices that have the Lie algebra property that and so these model the behavior of infinitesimal rotations. Consider then the product The "double covering" is the property that there exists not one, but two 2x2 matrices such that

Here, denotes the inverse of ; that is, The matrix is an element of SU(2), and so for every matrix in SO(3), there are two corresponding : both and will do the trick. These two are the polar opposites, and the projection is just boils down to the trivial observation that The tangeloid game is meant to illustrate that a 360 degree rotation takes one on a path from to This is quite precise: one can consider a sequence of small rotations and the corresponding movement of ; the result does change sign. In terms of rotation angles the matrix will have a in it, but the matching will have a in it. Further elucidation requires actually writing out these formulas. The sketch can be completed with some general remarks. First, Lie algebras are generic, and for each one, there are one or more corresponding Lie groups. In physics, 3D rotations of normal 3D objects are obviously described by the rotation group, which is a Lie group of 3x3 matrices However, the spinors, the spin 1/2 particles, rotate according to the matrices in SU(2). The 4x4 matrices describe the rotation of spin 3/2 particles, and the 5x5 matrices describe the rotations of spin 2 particles, and so on. The representation of Lie groups and Lie algebras are described by representation theory. The spin 1/2 representation belongs to the fundamental representation, and the spin 1 is the adjoint representation. The notion of double covering used here is a generic phenomenon, described by covering maps. Covering maps are in turn a special case of fiber bundles. The classification of covering maps is done via homotopy theory; in this case, the formal expression of double covering is to say that the fundamental group is where the covering group is just encoding the two equivalent rotations and above. In this sense, the rotation group provides the doorway, the key to the kingdom of vast tracts of higher mathematics.