Геометриялық нысандардың симметриялық топтары

Кіріспе

Геометриялық нысандардың симметриялық топтары – нысан өзгермейтін трансформациялардың тобы. Топтар теориясында геометриялық нысанның симметриялық тобы – нысан инвариантты болатын барлық трансформациялардың жиынтығы, топтық құрастыру операциясымен жабдықталған. Мұндай трансформация – қоршаған кеңістіктің өзеріне айналатын және нысанның барлық маңызды құрылымын сақтайтын қайтымды бейнелеу. X нысанының симметриялық тобын белгілеу үшін G = Sym(X) жиі қолданылады. Метрикалық кеңістіктегі нысан үшін оның симметриялары қоршаған кеңістіктің изометриялық тобының кіші тобын құрайды. Бұл мақалада негізінен Евклид геометриясындағы симметриялық топтар қарастырылады, бірақ бұл ұғым геометриялық құрылымның басқа да түрлерін зерттеу үшін де қолданылуы мүмкін.

Кіріспе

Біз симметрияға ие "объектілерді" геометриялық фигуралар, бейнелер және үлгілер деп санаймыз, мысалы, қабырға қағазының үлгісі. Физикалық нысандардың симметриясы үшін олардың физикалық құрамын да үлгінің бір бөлігі ретінде қарастыруға болады. (Үлгі формальды түрде скалярлық өріс ретінде, түстер немесе заттар жиынтығындағы мәндермен анықталатын орналасқан функция ретінде, векторлық өріс ретінде немесе объектінің жалпы функциясы ретінде берілуі мүмкін.) Кеңістіктің изометриялары ондағы объектілерге топтық әрекетті тудырады, ал симметрия тобы Sym(X) X-ті өзіне бейнелейтін изометриялардан тұрады (сондай-ақ кез келген үлгіні өзіне бейнелейді). X-ті мұндай бейнелеуде өзгермейтін деп айтамыз, ал бейнелеу X-тің симметриясы болып табылады. Жоғарыда айтылған кейде X-тің толық симметрия тобы деп аталады, себебі ол бағдарды өзгертетін изометрияларды (көріністер, жылғалатын көріністер және дұрыс емес айналулар) қамтиды, егер осы изометриялар осы нақты X-ті өзіне бейнелейтін болса. Бағдарды сақтайтын симметриялардың (аудармалар, айналулар және олардың композициялары) кіші тобы оның тиісті симметрия тобы деп аталады. Объект хиралды болып есептеледі, егер оның бағдарды өзгертетін симметриялары болмаса, яғни оның тиісті симметрия тобы оның толық симметрия тобына тең болса. Кез келген симметрия тобы, оның элементтерінің ортақ тұрақты нүктесі бар (топ шекті болса немесе фигура шектелген болса), ортогональды топтың O(n) кіші тобы ретінде бейнеленеді, бастапқы нүктені тұрақты нүкте ретінде таңдап. Сонда тиісті симметрия тобы арнайы ортогональды топтың SO(n) кіші тобы болып табылады және ол фигураның айналу тобы деп аталады. Дискретті симметрия тобында берілген нүктеге симметриялық нүктелер шекті нүктеге қарай жиналмайды. Яғни, топтың әрбір орбитасы (топтың барлық элементтері астындағы берілген нүктенің бейнелері) дискретті жиынды құрайды. Барлық шекті симметрия топтары дискретті болып табылады. Дискретті симметрия топтары үш түрге бөлінеді: (1) шекті нүктелік топтар, олар тек айналуларды, көріністерді, инверсияларды және ротоинверсияларды қамтиды, яғни O(n) топтарының шекті кіші топтары; (2) шексіз тор топтары, олар тек аудармаларды қамтиды; және (3) шексіз кеңістік топтары, бұрынғы екі типтің элементтерін қамтиды, сондай-ақ бұрандалы орын ауыстырулар мен жылғалатын көріністер сияқты қосымша түрлендірулерді де қамтуы мүмкін. Сонымен қатар, үздіксіз симметрия топтары (Ли топтары) бар, олар кез келген кіші бұрыштарда айналуларды немесе кез келген кіші қашықтықтарда аудармаларды қамтиды. Мысалы, сфераның симметрия тобы O(3) болып табылады. Евклидтік нысандардың симметрия топтары Евклидтік топтың E(n) (Rn кеңістігінің изометрия тобы) кіші топтары ретінде толықтай жіктелуі мүмкін. Егер олардың симметрия топтары Евклидтік топтың конъюгат кіші топтары болса, екі геометриялық фигураның симметриясы бірдей типте болады: яғни, егер H1, H2 кіші топтары E(n)-дегі кейбір g үшін 1=H1 = g−1H2g қатысымен байланысты болса. Мысалы: екі 3D фигураның көрініс симметриясы бар, бірақ әртүрлі көрініс жазықтықтарына қатысты. екі 3D фигураның 3 есе айналу симметриясы бар, бірақ әртүрлі осьтерге қатысты. екі 2D үлгіде аудармалық симметрия бар, әрқайсысы бір бағытта; екі аудармалық вектордың ұзындығы бірдей, бірақ бағыты әртүрлі. Келесі бөлімдерде біз тек орбиталары топологиялық жағынан жабық изометриялық топтарды қарастырамыз, соның ішінде барлық дискретті және үздіксіз изометриялық топтарды. Алайда, бұл, мысалы, рационалды санмен аудармаланған 1D топты алып тастайды; мұндай жабық емес фигураны оның шексіз ұсақ егжей-тегжейлігіне байланысты жеткілікті дәлдікпен салу мүмкін емес.

We consider the "objects" possessing symmetry to be geometric figures, images, and patterns, such as a wallpaper pattern. For symmetry of physical objects, one may also take their physical composition as part of the pattern. (A pattern may be specified formally as a scalar field, a function of position with values in a set of colors or substances; as a vector field; or as a more general function on the object.) The group of isometries of space induces a group action on objects in it, and the symmetry group Sym(X) consists of those isometries which map X to itself (as well as mapping any further pattern to itself). We say X is invariant under such a mapping, and the mapping is a symmetry of X. The above is sometimes called the full symmetry group of X to emphasize that it includes orientation reversing isometries (reflections, glide reflections and improper rotations), as long as those isometries map this particular X to itself. The subgroup of orientation preserving symmetries (translations, rotations, and compositions of these) is called its proper symmetry group. An object is chiral when it has no orientation reversing symmetries, so that its proper symmetry group is equal to its full symmetry group. Any symmetry group whose elements have a common fixed point, which is true if the group is finite or the figure is bounded, can be represented as a subgroup of the orthogonal group O(n) by choosing the origin to be a fixed point. The proper symmetry group is then a subgroup of the special orthogonal group SO(n), and is called the rotation group of the figure. In a discrete symmetry group, the points symmetric to a given point do not accumulate toward a limit point. That is, every orbit of the group (the images of a given point under all group elements) forms a discrete set. All finite symmetry groups are discrete. Discrete symmetry groups come in three types: (1) finite point groups, which include only rotations, reflections, inversions and rotoinversions – i. e., the finite subgroups of O(n); (2) infinite lattice groups, which include only translations; and (3) infinite space groups containing elements of both previous types, and perhaps also extra transformations like screw displacements and glide reflections. There are also continuous symmetry groups (Lie groups), which contain rotations of arbitrarily small angles or translations of arbitrarily small distances. An example is O(3), the symmetry group of a sphere. Symmetry groups of Euclidean objects may be completely classified as the subgroups of the Euclidean group E(n) (the isometry group of Rn). Two geometric figures have the same symmetry type when their symmetry groups are conjugate subgroups of the Euclidean group: that is, when the subgroups H1, H2 are related by 1=H1 = g−1H2g for some g in E(n). For example:

two 3D figures have mirror symmetry, but with respect to different mirror planes. two 3D figures have 3 fold rotational symmetry, but with respect to different axes. two 2D patterns have translational symmetry, each in one direction; the two translation vectors have the same length but a different direction. In the following sections, we only consider isometry groups whose orbits are topologically closed, including all discrete and continuous isometry groups. However, this excludes for example the 1D group of translations by a rational number; such a non closed figure cannot be drawn with reasonable accuracy due to its arbitrarily fine detail.

Жалпы симметриялық топтар

Кең мағынада симметрия тобы кез келген түрдегі түрлендіру тобы немесе автоморфизм тобы болуы мүмкін. Әрбір математикалық құрылымның түрі құрылымын сақтайтын өзгертілетін бейнелеулерге ие. Керісінше, симметрия тобын көрсету құрылымды анықтауға немесе кем дегенде геометриялық сәйкестік немесе өзгермейтін қасиеттердің мағынасын нақтылауға мүмкіндік береді; бұл Эрланген бағдарламасын қарастырудың бір жолы. Мысалы, гиперболалық емес Евклид геометриясындағы объектілер Фукс симметриялық топтарына ие, олар гиперболалық жазықтықтың изометрия тобының дискретті кіші топтары болып табылады және Евклидтік емес, гиперболалық қашықтықты сақтайды. (Олардың кейбіреулері Эшердің суреттерінде бейнеленген.) Сол сияқты, шекті геометриялардың автоморфизм топтары Евклидтік ішкі кеңістіктер, қашықтықтар немесе ішкі көбейтінділер емес, нүктелік жиындардың (дискретті ішкі кеңістіктер) отбасыларын сақтайды. Евклидтік фигуралар сияқты, кез келген геометриялық кеңістіктегі объектілердің симметриялық топтары бар, олар айналасы кеңістіктің симметрияларының кіші топтары болып табылады. Симметриялық топтың тағы бір мысалы – комбинаторлық граф: графтың симметриясы – қабырғаларды қабырғаларға ауыстыратын төбелердің орналасуы. Кез келген шекті топ өзінің Кейли графигінің симметрия тобы болып табылады; еркін топ – шексіз ағаш графигінің симметрия тобы.

Топтың симметриялар тұрғысынан құрылымы

Кейли теоремасы кез келген абстракт топтың кейбір X жиынының пермутацияларының кіші тобы екенін, демек оны X жиынының симметрия тобы ретінде, қосымша құрылыммен қарастыруға болатынын айтады. Сонымен қатар, топтың көптеген абстракт ерекшеліктері (топтық операция тұрғысынан ғана анықталған) симметриялар арқылы түсіндірілуі мүмкін. Мысалы, G = Sym(X) – Евклид кеңістігіндегі X фигурасының шекті симметрия тобы болсын, ал H ⊂ G – кіші топ. Онда H-ны X+ фигурасының симметрия тобы ретінде қарастыруға болады, яғни X-тің "әшекейленген" нұсқасы. Мұндай әшекейлеуді былай жасауға болады. X-ке бағыттар немесе түстер сияқты үлгілер қосып, барлық симметрияны жойыңыз, нәтижесінде X# фигурасы шығады, онда Sym(X#) = {1} – бұл тривиалды кіші топ; яғни, барлық тривиалды емес g ∈ G үшін gX# ≠ X#. Енді келесіні қарастырайық:

Осы аяқтамада нормальді кіші топтарды да сипаттауға болады. gX+ трансляциясының симметрия тобы – gHg−1 конъюгациялық кіші тобы. Демек, H келесі жағдайда ғана нормальді болады:

яғни, X+ әшекейлеуін X-тің кез келген жағына немесе ерекшелігіне қатысты кез келген бағытта салуға болады және бұл әлі де gHg−1 = H бірдей симметрия тобын береді.

Мысал ретінде, G = D3 = Sym(X) диэдрлік тобын қарастырайық, мұнда X – теңқабырлы үшбұрыш. Біз оны бір қабырғасына бағыт қойып әшекейлейміз, нәтижесінде асимметриялық X# фигурасы шығады. Егер τ ∈ G – бағытталған қабырғаның кері шегі болса, онда құрама фигура X+ = X# ∪ τX# сол қабырғада екі бағытты бағытқа ие болады, ал оның симметрия тобы H = {1, τ}. Бұл кіші топ нормальді емес, өйткені gX+ екі бағытты бағыт басқа қабырғада болуы мүмкін, бұл басқа кері шегіш симметрия тобын береді. Алайда, егер H = {1, ρ, ρ2} ⊂ D3 – айналу арқылы туындаған циклдік кіші топ болса, онда әшекейленген X+ фигурасы тұрақты бағыттағы 3 циклді бағыттардан тұрады. Олай болса, H нормальді, өйткені мұндай циклді кез келген бағытта салу H бірдей симметрия тобын береді.