Математикадағы топтар және олардың негізгі қасиеттері

Математикадағы топтар жиыны: анықтама, қасиеттері, инверттік амал. Бұл тұжырым сантар, геометрия, полиномдарды біріктіреді. Математиканың негізгі ұғымы!

23 мин оқу

100%

Дереккөз: Group (mathematics) — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Ассоциативтік инвертируемый операциясы бар жиын. Математикадағы топтардың негізгі ұғымдары.

Математикада топ – келесі шарттарды қанағаттандыратын операциясы бар жиын: операция ассоциативті, сәйкес элементі бар және жиынның әрбір элементі үшін кері элемент бар. Көптеген математикалық құрылымдар басқа қасиеттерімен бірге топтар болып табылады. Мысалы, қосу операциясы бар бүтін сандар шексіз топты құрайды, ол 1=1 деп аталатын бір элемент арқылы туындайды (осы қасиеттер бүтін сандарды бірегей түрде сипаттайды). Топ ұғымы сандар, геометриялық пішіндер және полином түбірлері сияқты көптеген математикалық құрылымдарды біртұтас түрде қарастыру үшін жасалған. Топтар ұғымы математиканың көптеген салаларында және оның сыртында кеңінен қолданылатындықтан, кейбір авторлар оны заманауи математиканың орталық ұйымдастырушы принципі деп санайды. Геометрияда топтар симметрияны және геометриялық түрлендірулерді зерттеуде табиғи түрде пайда болады: Объектінің симметриялары топты құрайды, ол объектінің симметрия тобы деп аталады, ал белгілі бір типтегі түрлендірулер жалпы топты құрайды. Ли топтары геометриядағы симметрия топтарында, сондай-ақ бөлшектер физикасының Стандартты моделінде кездеседі. Пуанкаре тобы – арнайы салыстырмалылық теориясындағы кеңістік-уақыттың симметриясынан тұратын Ли тобы. Нүктелік топтар молекулалық химиядағы симметрияны сипаттайды. Топ ұғымы 1830 жылдары Эварист Галуаның жұмысында полиномдық теңдеулерді зерттеу кезінде пайда болды, ол теңдеу түбірлерінің симметрия тобын (француз тілінде groupe) білдіретін «топ» терминін енгізді, бұл қазір Галуа тобы деп аталады. Сандар теориясы және геометрия сияқты басқа салалардан алынған үлестерден кейін топ ұғымы жалпыланды және 1870 жылдарға қарай толыққанды қалыптасты. Қазіргі заманғы топтар теориясы – белсенді математикалық сала – топтарды өздігінен зерттейді. Топтарды зерттеу үшін математиктер топтарды кішірек, жақсы түсінілетін бөліктерге бөлу үшін әртүрлі ұғымдарды жасады, мысалы, кіші топтар, фактор-топтар және қарапайым топтар. Абстрактілі қасиеттеріне қоса, топтар теориясы топты нақты түрде көрсетудің әртүрлі тәсілдерін де зерттейді, олар өкілдік теориясы (яғни топтың өкілдіктері арқылы) және есептеулік топтар теориясы тұрғысынан қарастырылады. Соңғы топтар үшін теория жасалды, ол 2004 жылы аяқталды, соңғы қарапайым топтардың жіктелуімен аяқталды. 1980 жылдардың ортасынан бастап геометриялық топтар теориясы, шекті түрде құрылған топтарды геометриялық нысандар ретінде зерттейді, топтар теориясының белсенді саласына айналды.

In mathematics, a group is a set with an operation that satisfies the following constraints: the operation is associative and has an identity element, and every element of the set has an inverse element. Many mathematical structures are groups endowed with other properties. For example, the integers with the addition operation form an infinite group, which is generated by a single element called 1= 1 (these properties characterize the integers in a unique way). The concept of a group was elaborated for handling, in a unified way, many mathematical structures such as numbers, geometric shapes and polynomial roots. Because the concept of groups is ubiquitous in numerous areas both within and outside mathematics, some authors consider it as a central organizing principle of contemporary mathematics. In geometry, groups arise naturally in the study of symmetries and geometric transformations: The symmetries of an object form a group, called the symmetry group of the object, and the transformations of a given type form a general group. Lie groups appear in symmetry groups in geometry, and also in the Standard Model of particle physics. The Poincaré group is a Lie group consisting of the symmetries of spacetime in special relativity. Point groups describe symmetry in molecular chemistry. The concept of a group arose in the study of polynomial equations, starting with Évariste Galois in the 1830s, who introduced the term group (French: groupe) for the symmetry group of the roots of an equation, now called a Galois group. After contributions from other fields such as number theory and geometry, the group notion was generalized and firmly established around 1870. Modern group theory—an active mathematical discipline—studies groups in their own right. To explore groups, mathematicians have devised various notions to break groups into smaller, better understandable pieces, such as subgroups, quotient groups and simple groups. In addition to their abstract properties, group theorists also study the different ways in which a group can be expressed concretely, both from a point of view of representation theory (that is, through the representations of the group) and of computational group theory. A theory has been developed for finite groups, which culminated with the classification of finite simple groups, completed in 2004. Since the mid 1980s, geometric group theory, which studies finitely generated groups as geometric objects, has become an active area in group theory.

Жазу және терминология

Формальды түрде топ – бұл жиын және осы жиынға қатысты екілік операцияның реттелген жұбы, ол топ аксиомаларын қанағаттандырады. Жиын топтың негізгі жиыны деп аталады, ал операция топтық операция немесе топ заңы деп аталады. Осылайша, топ және оның негізгі жиыны – екі түрлі математикалық объекті. Белгілерді қиын жағдайлардан сақтау үшін, бір символды екі мағынада қолдану жиі кездеседі. Бұл сонымен қатар бейресми ойлаудың көрінісі: топ – операциямен қосымша құрылыммен байытылған жиыннан басқа ештеңе емес. Мысалы, нақты сандар жиынын қарастырайық 1= \R, оның қосу және көбейту операциялары бар 1= ab. Формальды түрде, бұл жиын, топ және өріс. Бірақ осы үш объектінің кез келгенін 1= \R арқылы белгілеу қабылданған. Өрістің қосымша тобы – негізгі жиыны 1= \R және операциясы қосу болып табылатын топ. Өрістің көбейтуші тобы – негізгі жиыны нөлдік емес нақты сандар жиыны және операциясы көбейту болып табылатын топ. Жалпы алғанда, егер топтық операция қосу арқылы белгіленсе, қосымша топ туралы айтылады; мұндай жағдайда, бейтарап элемент әдетте 1= 0 деп, ал элементтің керісі 1= -x деп белгіленеді. Сол сияқты, егер топтық операция көбейту арқылы белгіленсе, көбейтуші топ туралы айтылады; мұндай жағдайда, бейтарап элемент әдетте 1= 1 деп, ал элементтің керісі 1= x^{-1} деп белгіленеді. Көбейтуші топта операция символы көбінесе мүлдем алынып тасталады, сондықтан операция 1= a\cdot b орнына жапсайма арқылы белгіленеді. Топтың анықтамасы үшін барлық элементтер 1= G үшін шарт міндетті емес. Егер бұл қосымша шарт орындалса, онда операция коммутативті деп аталады, ал топ абельдік топ деп аталады. Абельдік топтар үшін қосу немесе көбейту нотациясын қолдануға болады, бірақ абельдік емес топтар үшін тек көбейту нотациясы қолданылады. Элементтері сандар емес топтар үшін басқа да көптеген нотациялар қолданылады. Элементтері функциялар болып табылатын топ үшін операция көбінесе функция композициясы 1= f\circ g болады; содан кейін бейтарап элемент id деп белгіленеді. Геометриялық түрлендіру топтары, симметрия топтары, алмастыру топтары және автоморфизм топтарының нақты жағдайларында, символ көбейтуші топтар сияқты көбінесе алынып тасталады. Көптеген басқа нотация варианттарына да кездесуге болады.

Formally, a group is an ordered pair of a set and a binary operation on this set that satisfies the group axioms. The set is called the underlying set of the group, and the operation is called the group operation or the group law. A group and its underlying set are thus two different mathematical objects. To avoid cumbersome notation, it is common to abuse notation by using the same symbol to denote both. This reflects also an informal way of thinking: that the group is the same as the set except that it has been enriched by additional structure provided by the operation. For example, consider the set of real numbers 1= \R , which has the operations of addition and multiplication 1= ab Formally, is a set, is a group, and is a field. But it is common to write to denote any of these three objects. The additive group of the field is the group whose underlying set is and whose operation is addition. The multiplicative group of the field is the group whose underlying set is the set of nonzero real numbers and whose operation is multiplication. More generally, one speaks of an additive group whenever the group operation is notated as addition; in this case, the identity is typically denoted 1= 0 , and the inverse of an element is denoted 1= x Similarly, one speaks of a multiplicative group whenever the group operation is notated as multiplication; in this case, the identity is typically denoted 1= 1 , and the inverse of an element is denoted 1= x^{ 1} In a multiplicative group, the operation symbol is usually omitted entirely, so that the operation is denoted by juxtaposition, instead of 1= a\cdot b
The definition of a group does not require that for all elements and in 1= G If this additional condition holds, then the operation is said to be commutative, and the group is called an abelian group. It is a common convention that for an abelian group either additive or multiplicative notation may be used, but for a nonabelian group only multiplicative notation is used. Several other notations are commonly used for groups whose elements are not numbers. For a group whose elements are functions, the operation is often function composition 1= f\circ g ; then the identity may be denoted id. In the more specific cases of geometric transformation groups, symmetry groups, permutation groups, and automorphism groups, the symbol is often omitted, as for multiplicative groups. Many other variants of notation may be encountered.

Тарих

Қазіргі заманғы абстракт топ тұжырымы математиканың бірнеше салаларынан қалыптасты. Топтар теориясының бастапқы себебі – 4-тен жоғары дәрежелі полиномдық теңдеулердің шешімдерін табу еді. 19 ғасыр француз математигі Эварист Галуа, Паоло Руффини және Жозеф Луи Лагранждың бұрынғы жұмыстарын кеңейте отырып, оның түбірлерінің симметрия тобы (шешімдері) арқылы белгілі бір полиномдық теңдеудің шешімділігінің шартын берді. Мұндай Галуа тобының элементтері түбірлердің белгілі бір орналасуларына сәйкес келеді. Бастапқыда Галуаның идеялары замандастары тарапынан қабылданбады және тек оның өлімінен кейін ғана жарияланды. Жалпы орналасу топтарын, әсіресе, Огустин Луи Коши зерттеді. Артур Кейлидің «Топтар теориясы, символдық теңдеуге байланысты» (1854) еңбегінде шекті топтың алғашқы абстракт анықтамасы келтірілген. Геометрия – топтар жүйелі түрде қолданылған екінші сала, әсіресе Феликс Клейннің 1872 жылғы Эрланген бағдарламасының бір бөлігі ретінде симметриялық топтар. Гиперболалық және проективтік геометрия сияқты жаңа геометриялар пайда болғаннан кейін, Клейн оларды үйлесімдірек ұйымдастыру үшін топтар теориясын қолданды. Осы идеяларды одан әрі дамыта отырып, Софус Ли 1884 жылы Ли топтарын зерттеуді қалыптастырды. Топтар теориясына үлес қосқан үшінші сала – сандар теориясы. Карл Фридрих Гаустың «Disquisitiones Arithmeticae» (1798) еңбегінде және Леопольд Кронекердің нақтылауларында белгілі бір абелдік топтардың құрылымдары қолданылған. 1847 жылы Эрнст Кумер Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуге алғашқы тыйырма жасады, ол жай сандарға жіктеуді сипаттайтын топтарды жасады. Осы әртүрлі көздердің топтардың біртұтас теориясына бірігуі Камилл Жорданның «Трансформациялар және алгебралық теңдеулер туралы трактат» (1870) еңбегімен басталды. Уолтер фон Дик (1882) генераторлар мен қатынастар арқылы топты анықтау тұжырымын енгізді, сондай-ақ сол кездегі терминологияда «абстракт топтың» аксиомалық анықтамасын берген алғашқы адам болды. 20 ғасырдан бастап топтар Фердинанд Георг Фробениус пен Уильям Бернсайдтың (соның ішінде шекті топтардың өкілдік теориясы бойынша жұмыс істеген), Ричард Брауэрдің модульдік өкілдік теориясы және Иссай Шурдың еңбектері арқылы кеңінен танылды. Ли топтарының теориясы және жалпы алғанда, жергілікті ықшам топтар Герман Вейл, Эли Картан және басқалар тарапынан зерттелді. Оның алгебралық әріптесі, алгебралық топтар теориясы, алғаш рет Клод Шевали (1930 жылдардың соңында) және кейіннен Арман Борель мен Жак Титстің еңбектерімен қалыптасты. Чикаго университетінің 1960–61 жылдардағы Топтар теориясы жылы Дэниел Горенштейн, Джон Г. Томпсон және Уолтер Фейт сияқты топтар теориясымен айналысатын мамандарды біріктірді, көптеген басқа математиктердің үлесімен шекті жай топтарды жіктеуге әкелген ынтымақтастықтың негізін қалады. Ашбахер мен Смит 2004 жылы соңғы қадам жасады. Бұл жоба дәлелдеу ұзақтығы және зерттеушілер саны бойынша бұрынғы математикалық ізденістерден басып өтті. Бұл жіктеу дәлеліне қатысты зерттеулер жалғасуда. Топтар теориясы математиканың өте белсенді саласы болып қала береді, төмендегі мысалдар көрсеткендей, көптеген басқа салаларға әсер етеді.

The modern concept of an abstract group developed out of several fields of mathematics. The original motivation for group theory was the quest for solutions of polynomial equations of degree higher than 4. The 19th century French mathematician Évariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions). The elements of such a Galois group correspond to certain permutations of the roots. At first, Galois's ideas were rejected by his contemporaries, and published only posthumously. More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation (1854) gives the first abstract definition of a finite group. Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program. After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884. The third field contributing to group theory was number theory. Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss's number theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker. In 1847, Ernst Kummer made early attempts to prove Fermat's Last Theorem by developing groups describing factorization into prime numbers. The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) introduced the idea of specifying a group by means of generators and relations, and was also the first to give an axiomatic definition of an "abstract group", in the terminology of the time. As of the 20th century, groups gained wide recognition by the pioneering work of Ferdinand Georg Frobenius and William Burnside (who worked on representation theory of finite groups), Richard Brauer's modular representation theory and Issai Schur's papers. The theory of Lie groups, and more generally locally compact groups was studied by Hermann Weyl, Élie Cartan and many others. Its algebraic counterpart, the theory of algebraic groups, was first shaped by Claude Chevalley (from the late 1930s) and later by the work of Armand Borel and Jacques Tits. The University of Chicago's 1960–61 Group Theory Year brought together group theorists such as Daniel Gorenstein, John G. Thompson and Walter Feit, laying the foundation of a collaboration that, with input from numerous other mathematicians, led to the classification of finite simple groups, with the final step taken by Aschbacher and Smith in 2004. This project exceeded previous mathematical endeavours by its sheer size, in both length of proof and number of researchers. Research concerning this classification proof is ongoing. Group theory remains a highly active mathematical branch, impacting many other fields, as the examples below illustrate.

Топ аксиомаларының элементарлық салдары

Топ аксиомаларынан тікелей шығаруға болатын топтар туралы негізгі фактілер, әдетте, элементарлық топтар теориясының құрамына кіреді. Мысалы, ассоциативтілік аксиомасын қайталап қолдану, екі мәнділіктің үш көбейткіштен артық жағдайға да қатысты екенін көрсетеді. Бұл, мұндай мүшелер тізбегінде жақшаларды кез келген жерге қоюға болатынын білдіреді, сондықтан жақшалар көбінесе жазылмайды.

Жеке элементтің бірегейлігі

Топ аксиомалары сәйкестік элементінің бірегей екенін көрсетеді; яғни, тек бір ғана сәйкестік элементі болады: топтың кез келген екі сәйкестік элементі тең, себебі топ аксиомалары 1=e=e⋅f=f екенін білдіреді. Сондықтан, топтың сәйкестік элементі деп айту қалыпты жағдай.

Инверстердің бірегейлігі

Топ аксиомалары сонымен қатар әрбір элементтің керісі бірегей екенін көрсетеді: Егер топтың бір элементі үшін екі кері элемент – және болса, онда

Сондықтан, элементтің керісі деп айту қалыпты жағдай.

Бөлім

Берілген топтың 1= G элементтері мен берілген 1= a\cdot x=b теңдеуінің бірегей шешімі бар, атап айтқанда 1= a^{ -1}\cdot b. Осыдан әрбір элемент үшін, әрбір элементті 1= a\cdot x түрінде бейнелейтін функция биекция болады; бұл функция сол жақтан көбейту немесе 1= a арқылы сол жаққа аудару деп аталады. Сол сияқты, берілген 1= a және 1= b болғанда, 1= b\cdot a^{ -1} теңдеуінің бірегей шешімі бар. Әрбір 1= a үшін, әрбір элементті 1= x\cdot a түрінде бейнелейтін функция биекция болады, бұл функция оң жақтан көбейту немесе 1= a арқылы оң жаққа аудару деп аталады.

Негізгі түсініктер

Жинақтарды зерттегенде, кіші жиын, функция және эквиваленттілік қатынасы бойынша бөлу сияқты ұғымдар қолданылады. Топтарды зерттегенде, оның орнына кіші топтар, гомоморфизмдер және фактор-топтар қолданылады. Бұл – топ құрылымын ескеретін аналогтар.

Топтық гомоморфизмдер

Топтық гомоморфизмдер – топтық құрылымды сақтайтын функциялар; оларды екі топты байланыстыру үшін пайдалануға болады. G тобынан H тобына гомоморфизм – бұл f функциясы, мұнда

Табиғи түрде, f функциясы топтың бірлік элементтерін сақтауын, яғни f(1G) = 1H, және кері элементтерді сақтауын талап етуге болар еді, G тобының кез келген x үшін f(x⁻¹) = f(x)⁻¹. Алайда, бұл қосымша талаптарды гомоморфизмдердің анықтамасына енгізудің қажеті жоқ, өйткені олар топтық операцияны сақтау талабынан-ақ туындайды. Топтың сәйкестік гомоморфизмі – бұл топтың әрбір элементін өзіне бейнелейтін гомоморфизм. Гомоморфизмнің кері гомоморфизмі – бұл ψ гомоморфизмі, мұнда f∘ψ = idH және ψ∘f = idG, яғни H тобының барлық y үшін ψ(f(y)) = y және G тобының барлық x үшін f(ψ(x)) = x. Изоморфизм – кері гомоморфизмі бар гомоморфизм; эквивалентті түрде, бұл биективті гомоморфизм. Егер f: G→H изоморфизм болса, G және H топтары изоморфты деп аталады. Бұл жағдайда, G тобын f функциясына сәйкес элементтерін қайта атау арқылы H тобынан алуға болады; содан кейін G үшін дұрыс болатын кез келген тұжырым H үшін де дұрыс болады, егер тұжырымда айтылған нақты элементтер де қайта аталса. Барлық топтар жиынтығы, олардың арасындағы гомоморфизмдермен бірге, топтар санатын құрайды. Инъективті гомоморфизм f канондық түрде изоморфизмге және кейбір H⊆G ішкі тобына енуге жіктеледі, яғни f = i∘g. Инъективті гомоморфизмдер – топтар санатындағы мономорфизмдер.

Кіші топтар

Бейресми түрде, кіші топ – үлкенірек топтың (1 = G) ішінде орналасқан топ: ол 1 = G элементтерінің кіші жиынтығын қамтиды, операциясы сол топпен бірдей. Нақтырақ айтқанда, бұл 1= H кіші тобында бірлік элементі болуы керек, және егер екі элемент ( және ) 1= H-қа жатса, онда олардың көбейтіндісі ( 1= h 1^{ 1}) де 1= H-қа жатады. Сондықтан, 1= H элементтері, 1= H-ға шектелген топтық операциямен жабдықталғанда, шынымен топты құрайды. Бұл жағдайда, кіріктіру картасы гомоморфизм болып табылады. Квадраттың симметриясы мысалында, сәйкестік және айналулар 1= R = {id, r1, r2, r3} кіші тобын құрайды, бұл мысалдың Кейли кестесінде қызыл түспен көрсетілген: кез келген екі айналудың композициясы да айналу болып табылады, ал әрбір айналуды оған толықтырғыш айналулармен кері қайтаруға болады (90° үшін 270°, 180° үшін 180°, 270° үшін 90°). Кіші топты тексеру, 1= G тобының 1= H бос емес кіші жиынтығының кіші топ болуы үшін қажетті және жеткілікті шартты ұсынады: барлық элементтер және 1= H үшін бұл шартты тексеру жеткілікті. Топтың кіші топтарын білу, топты тұтас түсіну үшін маңызды. 1= G тобының кез келген кіші жиынтығы берілген болса, осы жиынтықпен туындаған кіші топ, оның элементтері мен кері элементтерінің барлық көбейтінділерінен тұрады. Бұл 1= S кіші тобын қамтитын ең кіші кіші топ. Квадраттың симметриясы мысалында, және элементтерімен туындаған кіші топ, осы екі элементтен, сәйкестік элементінен (1= id) және элементтен (1= f {h} = f {v} ⋅ r2) тұрады. Бұл да кіші топ, өйткені осы төрт элементтің кез келген екеуін немесе олардың керісін (бұл нақты жағдайда сол элементтер) біріктіру осы кіші топтың элементін береді.

Жапсырмалар

Көп жағдайда екі топ элементін, егер олар берілген кіші топтың элементімен ерекшеленсе, бірдей деп қарастыру қажет. Мысалы, квадраттың симметрия тобында, кез келген көрістіру орындалғаннан кейін, айналулар ғана квадратты бастапқы орнына қайтара алмайды, сондықтан квадраттың көрістірілген орындарын бір-біріне тең және көрістірілмеген орындарға тең емес деп ойлауға болады; айналу операциялары көрістіру орындалған-жоқ деген сұраққа қатысы жоқ. Косеттер осы түсінікті формальдау үшін қолданылады: кіші топ сол және оң косеттерді анықтайды, оларды кез келген топ элементі 1= g арқылы жылжу деп қарастыруға болады. Символдық тұрғыдан алғанда, 1= H кіші тобын қамтитын 1= H сол және оң косеттері, 1= G элементі бар кез келген кіші топтың сол косеттері 1= G бөлімін құрайды; яғни, барлық сол косеттердің біріктірілісі 1= G-ға тең және екі сол косет тең немесе олардың қиылысы бос. Бірінші жағдай дәл 1= g 1^{-1}⋅g 2∈ H болғанда орын алады, яғни екі элемент 1= H кіші тобының элементімен ерекшеленгенде. 1= H кіші тобының оң косеттеріне де ұқсас қарастырулар қолданылады. Егер олар (яғни, егер 1= gH=Hg шарты орындалса), онда кіші топ қалыпты кіші топ деп аталады. 1= \mathrm{D} 4, оның айналулар кіші тобымен бірге, сол косеттер, егер элемент өзінің кіші тобының мүшесі болса, 1= R-ға тең болады, әйтпесе (1= \mathrm{D} 4-тің Кейли кестесінде жасыл түспен көрсетілгендей) . Кіші топ қалыпты, себебі және топтың басқа элементтері үшін де осыған ұқсас. (Шындығында, 1= \mathrm{D} 4 жағдайында, көрістірулер арқылы туындаған косеттердің бәрі тең: 1= f_{\mathrm{h}}R=f_{\mathrm{v}}R=f_{\mathrm{d}}R=f_{\mathrm{c}}R.)

Ұсыныстар

Әр топ көптеген жағынан еркін топтың фактор-тобына изоморфты. Мысалы, диэдрлік топ оң айналу және тік сызықтағы көрініс арқылы туындайды (топтың әр элементі осылардың және олардың кері элементтерінің шекті көбейтіндісі болып табылады). Сондықтан, екі генератордағы еркін топтан D₄-ке, айналуды r-мен, ал көріністі f-мен бейнелейтін сюръективті гомоморфизм бар. Элементтер r⁴=1, f²=1, (r⋅f)²=1 қатынастар деп аталады. Шындығында, бұл үш элементті қамтитын ең кіші нормальды кіші топ болып табылады; яғни, барлық қатынастар осы үш қатынастың салдары болып табылады. Бұл нормальды кіші топқа қатысты еркін топтың фактор-тобы ⟨r, f | r⁴=f²=(r⋅f)²=1⟩ деп белгіленеді. Бұл генераторлар мен қатынастар арқылы D₄-тің тұсаукесері деп аталады, өйткені гомоморфизм үшін бірінші изоморфизм теоремасы ⟨r, f | r⁴=f²=(r⋅f)²=1⟩ → D₄ изоморфизмін береді. Топтың тұсаукесері дискретті топтың графикалық бейнесін құру үшін қолданылатын Кейли графигін құруға пайдаланылуы мүмкін.

Мысалдар мен қолдану

Топтардың мысалдары мен қолданылулары көптеген. Бастау нүктесі – жоғарыда келтірілген топтық операция ретінде қосылуды қолданатын бүтін сандар тобы. Егер қосылудың орнына көбейтуді қарастырсақ, көбейтуші топтар пайда болады. Бұл топтар абстрактілік алгебрадағы маңызды құрылымдардың негізгісі болып табылады. Топтар математиканың көптеген басқа да салаларында қолданылады. Математикалық объектілерді көбінесе оларға топтарды байланыстыру және тиісті топтардың қасиеттерін зерттеу арқылы қарастырады. Мысалы, Анри Пуанкаре қазіргі алгебралық топология деп аталатын іргелі топты енгізу арқылы негізін қалады. Осы байланыс арқылы, жақындық және үздіксіздік сияқты топологиялық қасиеттер топтардың қасиеттеріне ауысады. Топологиялық кеңістіктің іргелі тобының элементтері – циклдердің эквиваленттілік кластары, мұнда циклдер бірін-біріне тегіс түрлендірілсе эквивалентті деп есептеледі, ал топтық операция – «тізбектеу» (бірінші циклді, содан кейін екіншісін орындау). Мысалы, суретте көрсетілгендей, егер топологиялық кеңістік бір нүктесі алынып тасталған жазықтық болса, онда жоғалған нүктеге оралмайтын циклдерді бір нүктеге дейін тегіс қысқартқанға болады және олар іргелі топтың бірлік элементі болып табылады. Жоғалған нүктеге *k* рет оралатын циклді *m* рет оралатын циклге түрлендіруге болмайды (мұнда *k* ≠ *m*), өйткені циклді тесіктен тегіс түрлендіруге болмайды, сондықтан циклдердің әр класы жоғалған нүктеге оралу санымен сипатталады. Нәтижедегі топ қосылу бойынша бүтін сандарға изоморфты. Жақындағы қолданыстарда, бұл ықпал топтық теориялық негіздерге сүйене отырып, геометриялық құрылымдарды құруға бағытталды. Осыған ұқсас, геометриялық топтар теориясы геометриялық ұғымдарды қолданады, мысалы, гиперболалық топтарды зерттеуде. Топтарды маңызды түрде қолданатын басқа да салалар: алгебралық геометрия және сандар теориясы. Жоғарыда аталған теориялық қолданыстардан басқа, топтардың көптеген практикалық қолданыстары бар. Криптография абстрактілік топтар теориясының тәсілдерімен және есептеулік топтар теориясында алынған алгоритмикалық білімнің үйлесімін пайдаланады, әсіресе шекті топтар үшін іске асырылғанда. Топтар теориясының қолданылуы математикамен ғана шектелмейді; физика, химия және компьютерлік ғылым сияқты ғылымдар да осы ұғымнан пайда көреді.

Examples and applications of groups abound. A starting point is the group of integers with addition as group operation, introduced above. If instead of addition multiplication is considered, one obtains multiplicative groups. These groups are predecessors of important constructions in abstract algebra. Groups are also applied in many other mathematical areas. Mathematical objects are often examined by associating groups to them and studying the properties of the corresponding groups. For example, Henri Poincaré founded what is now called algebraic topology by introducing the fundamental group. By means of this connection, topological properties such as proximity and continuity translate into properties of groups. Elements of the fundamental group of a topological space are equivalence classes of loops, where loops are considered equivalent if one can be smoothly deformed into another, and the group operation is "concatenation" (tracing one loop then the other). For example, as shown in the figure, if the topological space is the plane with one point removed, then loops which do not wrap around the missing point (blue) can be smoothly contracted to a single point and are the identity element of the fundamental group. A loop which wraps around the missing point times cannot be deformed into a loop which wraps times (with 1= m\neq k ), because the loop cannot be smoothly deformed across the hole, so each class of loops is characterized by its winding number around the missing point. The resulting group is isomorphic to the integers under addition. In more recent applications, the influence has also been reversed to motivate geometric constructions by a group theoretical background. In a similar vein, geometric group theory employs geometric concepts, for example in the study of hyperbolic groups. Further branches crucially applying groups include algebraic geometry and number theory. In addition to the above theoretical applications, many practical applications of groups exist. Cryptography relies on the combination of the abstract group theory approach together with algorithmical knowledge obtained in computational group theory, in particular when implemented for finite groups. Applications of group theory are not restricted to mathematics; sciences such as physics, chemistry and computer science benefit from the concept.

Сандар

Көптеген сандар жүйесі, мысалы, бүтін сандар мен рационал сандар, өзінен туған топтық құрылымға ие. Кейбір жағдайларда, рационал сандар сияқты, қосу және көбейту операциялары екі топтық құрылымды да тудырады. Мұндай сандар жүйелері, шеңберлер мен далалар деп аталатын, көбірек жалпы алгебралық құрылымдардың негізгісі болып табылады. Модульдер, векторлық кеңістіктер және алгебралар сияқты тағы да абстрактілі алгебралық ұғымдар да топтар құрайды.

Бүкіл сандар

Қосылатын бүтін сандар тобы, 1= (ℤ, +) деп белгіленеді, жоғарыда сипатталды. Бүтін сандар, қосудың орнына көбейту операциясы қолданылғанда, топ құрамайды. Ассоциативтілік және бейтарап элемент аксиомалары орындалады, бірақ кері элементтер жоқ: мысалы, a – бүтін сан, бірақ a * b = 1 теңдеуінің осы жағдайдағы жалғыз шешімі b = 1/a, яғни 1/2 болады, ол рационал сан, бірақ бүтін сан емес. Сондықтан ℤ-ның әрбір элементінің (көбейтуге қатысты) кері элементі бола бермейді.

Модульді арифметика

Модульдік арифметика модуль үшін кез келген екі элементті анықтайды, егер олардың айырымы модульдің есеуі болса, олар эквивалентті болып есептеледі және 1 = a \equiv b\pmod{n} деп белгіленеді. Кез келген бүтін сан 0-ден n-1 дейінгі бүтін сандардың бірімен эквивалентті, ал модульдік арифметика операциялары қалыпты арифметиканы өзгертеді, кез келген операцияның нәтижесін оның эквивалентті өкілімен алмастыру арқылы. Осылай анықталған модульдік қосу, 0-ден n-1 дейінгі бүтін сандар үшін топ құрайды, ол (\Z/n\Z,+) немесе 1 = (\Z/n\Z,+) деп белгіленеді, мұнда 0 теңдік элементі, ал a кері элементі болып табылады.

Көрінетін мысал – сағат бетіндегі сағаттарды қосу, онда теңдік элементі ретінде 0 емес, 12 таңдалады. Егер сағат тілі 5 сағатқа жылжыса, онда ол 1-ге дейін жетеді, суретте көрсетілгендей. Бұл "12 модуль бойынша" 5-ке конгруэнтті дегенді білдіреді, немесе символдармен жазылғанда: 5 \equiv 1 \pmod{12}.

Кез келген жай сан p үшін, p модуль бойынша бүтін сандардың көбейту тобы да бар. Оның элементтерін 1-ден p-1 дейін жазуға болады. Топтық операция, p модуль бойынша көбейту, әдеттегі көбейтіндіні оның өкілімен, яғни p-ге бөлгендегі қалдықпен алмастырады. Мысалы, p=5 болса, төрт топтық элементті 1, 2, 3, 4 арқылы көрсетуге болады. Бұл топта 4 \cdot 4 \equiv 1 \pmod{5}, өйткені әдеттегі көбейтінді 16, ал оны 5-ке бөлгенде 1 қалдық қалдырады. p-нің жай саны, екі өкілдің әдеттегі көбейтіндісі p-ге бөлінбейтінін қамтамасыз етеді, сондықтан модульдік көбейтінді нөлге тең болмайды. Теңдік элементі 1 арқылы бейнеленеді, ал ассоциативтілік бүтін сандардың сәйкес қасиетінен туындайды. Соңғысы, кері элемент аксиомасы, p-ге бөлінбейтін кез келген бүтін сан үшін, a \cdot b \equiv 1 \pmod{p} болатындай бүтін сан b бар екенін талап етеді, яғни ab саны p-ге бөлінеді. Кері элементті Безудің тепе-теңдігін және ең үлкен ортақ бөлгіштің 1-ге тең екенін пайдалану арқылы табуға болады. Жоғарыдағы мысалда, 3-ке сәйкес келетін элементтің керісі 2-ге сәйкес келеді, өйткені 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}. Осылайша, барлық топтық аксиомалар орындалады. Бұл мысал жоғарыдағыға ұқсас: ол сақина \mathbb{Z}_p-дегі көбейтуге ие элементтердің барлығынан тұрады. Бұл топтар \mathbb{F}_p^\times деп белгіленеді және ашық кілттің криптографиясында маңызды рөл атқарады.

Циклдік топтар

Циклдік топ – бұл топтың барлық элементтері белгілі бір элементтің дәрежелері болып табылады. Көбейту нотациясында топтың элементтері мынадай түрде жазылады: a, a², a³ = (a⋅a⋅a) және т.б. Мұндай элемент топтың генераторы немесе бастапқы элементі деп аталады. Қосу нотациясында элементтің примитивті болу шарты – топтың әрбір элементін жоғарыда көрсетілген топтардағыдай жазуға болуы керек. Бұл топтарда элемент примитивті болғандықтан, бұл топтар циклдік болып табылады. Шындығында, әрбір элементтің барлық мүшелері 1-ге тең болатын қосынды ретінде жазуға болады. n элементі бар кез келген циклдік топ осы топқа изоморфты болады. Циклдік топтарға екінші мысал – zⁿ = 1 теңдеуін қанағаттандыратын күрделі түбірлердің тобы. Бұл сандарды n қабырғалы дұрыс көпбұрыштың төбелері ретінде қарастыруға болады, мысалы, n=6 үшін суретте көк түспен көрсетілгендей. Топтық операция – күрделі сандарды көбейту. Суретте, z-ға көбейту – бұл 60° сағат тіліне қарсы бұрылуға сәйкес келеді. Далалар теориясынан топ p саны үшін циклдік болып табылады: мысалы, егер p=5 болса, 3 генератор болады, өйткені 3¹=3, 3²=9≡4, 3³≡2 және 3⁴≡1. Кейбір циклдік топтарда элементтердің саны шексіз. Мұндай топтарда, нөлдік емес әрбір a элементі үшін, оның барлық дәрежелері әртүрлі болады; «циклдік топ» деген атқа қарамастан, элементтердің дәрежелері циклды қайталанбайды. Шексіз циклдік топ (\Z, +) тобына изоморфты, яғни қосу бойынша бүтін сандар тобы. Бұл екі прототип те абелдік болғандықтан, барлық циклдік топтар да абелдік болады. Шексіз туындырылған абелдік топтарды зерттеу жетілген, соның ішінде шексіз туындырылған абелдік топтардың негізгі теоремасы бар; осыған байланысты, орталық және коммутатор сияқты топтарға қатысты көптеген ұғымдар берілген топтың абелдік еместігінің дәрежесін сипаттайды.

Симметриялық топтар

Симметриялы топтар – берілген математикалық объектілердің симметрияларынан тұратын топтар, ең алдымен геометриялық объектілер, мысалы, жоғарыдағы кіріспе мысалы ретінде келтірілген квадраттың симметриялы тобы. Бірақ олар алгебрада да кездеседі, мысалы, Галуа теориясында қарастырылатын полиномдық теңдеулердің түбірлері арасындағы симметриялар (төменде қараңыз). Негізінен, топтар теориясын симметрияны зерттеу ретінде қарастыруға болады. Математикадағы симметриялар геометриялық немесе аналитикалық объектілерді зерттеуді қатты жеңілдетеді. Топтың басқа математикалық объектіге 1=X әрекет етеді делінеді, егер топтың әрбір элементерін 1=X-тегі бір операциямен байланыстыруға болады және осы операциялардың құрамы топ заңына сәйкес келеді. Мысалы, (2,3,7) үшбұрышты тобының элементері гиперболалық жазықтықтағы үшбұрыштық мозаикаға үшбұрыштарды ауыстыру арқылы әрекет етеді. Топтық әрекетте топтың құрылымы әрекет ететін объектінің құрылымымен байланысты болады. Химияда нүктелік топтар молекулалық симметрияны, ал кеңістіктік топтар кристаллографиядағы кристаллдық симметрияны сипаттайды. Осы симметриялар жүйелердің химиялық және физикалық қасиеттеріне негіз болады, ал топтар теориясы осы қасиеттердің кванттық-механикалық талдауын жеңілдетуге мүмкіндік береді. Мысалы, топтар теориясы белгілі бір кванттық деңгейлер арасындағы оптикалық өтулердің симметриялық себептерге байланысты жүрмейтінін көрсету үшін қолданылады. Топтар теориясы материал фазалық өту кезінде физикалық қасиеттердегі өзгерістерді болжауға көмектеседі, мысалы, кубтықтан тетраэдрлі кристалдық формаға өту кезінде. Мысалы, ферроэлектрлік материалдар, онда параэлектрлік күйден ферроэлектрлік күйге өту Кюри температурасында жүреді және жоғары симметриялы параэлектрлік күйден төмен симметриялы ферроэлектрлік күйге өтумен байланысты, бұл «жұмсақ фонон» режимімен сүйемелденеді – ауысу кезінде жиілігі нөлге дейін төмендейтін тербеліс тор режимі. Мұндай спонтанды симметрия бұзуы элементар бөлшектер физикасында да қолданыс тапты, онда оның пайда болуы Голдстоун бозондарының пайда болуымен байланысты. Бакминстерфуллерен икосаэдрлік симметрияны көрсетеді. Оның симметрия тобы 6-шы ретті, ол 120° бұрылыс және көрініс арқылы туындайды. Кубан C8H8 октаэдрлік симметрияға ие. Тетрахлороплатинат(II) ионы [PtCl4]2− төртбұрышты жазықтық геометрияны көрсетеді. Матье топтары сияқты шекті симметриялы топтар кодтау теориясында қолданылады, бұл өз кезегінде берілген деректердің қателерді түзетуінде және CD ойнатқыштарында қолданылады. Тағы бір қолданыс – дифференциалдық Галуа теориясы, ол белгілі бір дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің жақсы қасиеттеріне ие болуы үшін топтық-теориялық критерийлер береді, яғни антитуындылары бар функцияларды сипаттайды. Топтық әрекеттер кезінде сақталатын геометриялық қасиеттер (геометриялық) инварианттар теориясында зерттеледі.

Symmetry groups are groups consisting of symmetries of given mathematical objects, principally geometric entities, such as the symmetry group of the square given as an introductory example above, although they also arise in algebra such as the symmetries among the roots of polynomial equations dealt with in Galois theory (see below). Conceptually, group theory can be thought of as the study of symmetry. Symmetries in mathematics greatly simplify the study of geometrical or analytical objects. A group is said to act on another mathematical object 1= X if every group element can be associated to some operation on 1= X and the composition of these operations follows the group law. For example, an element of the (2,3,7) triangle group acts on a triangular tiling of the hyperbolic plane by permuting the triangles. By a group action, the group pattern is connected to the structure of the object being acted on. In chemistry, point groups describe molecular symmetries, while space groups describe crystal symmetries in crystallography. These symmetries underlie the chemical and physical behavior of these systems, and group theory enables simplification of quantum mechanical analysis of these properties. For example, group theory is used to show that optical transitions between certain quantum levels cannot occur simply because of the symmetry of the states involved. Group theory helps predict the changes in physical properties that occur when a material undergoes a phase transition, for example, from a cubic to a tetrahedral crystalline form. An example is ferroelectric materials, where the change from a paraelectric to a ferroelectric state occurs at the Curie temperature and is related to a change from the high symmetry paraelectric state to the lower symmetry ferroelectric state, accompanied by a so called soft phonon mode, a vibrational lattice mode that goes to zero frequency at the transition. Such spontaneous symmetry breaking has found further application in elementary particle physics, where its occurrence is related to the appearance of Goldstone bosons. Buckminsterfullerene displaysicosahedral symmetryAmmonia, NH3. Its symmetry group is of order 6, generated by a 120° rotation and a reflection. Cubane C8H8 features octahedral symmetry. The tetrachloroplatinate(II) ion, [PtCl4]2− exhibits square planar geometry

Finite symmetry groups such as the Mathieu groups are used in coding theory, which is in turn applied in error correction of transmitted data, and in CD players. Another application is differential Galois theory, which characterizes functions having antiderivatives of a prescribed form, giving group theoretic criteria for when solutions of certain differential equations are well behaved. Geometric properties that remain stable under group actions are investigated in (geometric) invariant theory.

Жалпы сызықтық топтар және бейнелеу теориясы

Матрицалық топтар матрицалар мен матрицалық көбейтуден тұрады. Жалпы сызықтық топ – нақты сандары бар барлық кері өрнекті 1=n x 1=n матрицалардан тұрады. Оның кіші топтары матрицалық топтар немесе сызықтық топтар деп аталады. Жоғарыда айтылған диэдрлік топ мысалын (өте кішкентай) матрицалық топ ретінде қарастыруға болады. Тағы бір маңызды матрицалық топ – арнайы ортогональды топ 1= \mathrm{SO}(n). Ол n өлшемдегі барлық мүмкін айналымдарды сипаттайды. Бұл топтағы айналу матрицалары компьютерлік графикада қолданылады. Өкілдік теориясы – топтық ұғымның қолданылуы және топтарды тереңірек түсіну үшін маңызды. Ол топты басқа кеңістіктердегі топтық әрекеттері арқылы зерттейді. Топтық бейнелеулердің кең классы – топтың векторлық кеңістікте әрекет ететін сызықтық бейнелеулері, мысалы үш өлшемді Евклид кеңістігі 1= \R^3. Группаның n өлшемді нақты векторлық кеңістіктегі бейнеленуі – бұл топтың жалпы сызықтық топқа гомоморфизмі. Осылайша, абстрактілі түрде берілген топтық операция матрицаларды көбейту арқылы есептеуге қолжетімді болады. Топтық әрекет зертене жатқан объектіні зерттеуге қосымша мүмкіндік береді. Екінші жағынан, ол топ туралы да ақпарат береді. Топтық бейнелеулер – шекті топтар, Ли топтары, алгебралық топтар және топологиялық топтар теориясындағы, әсіресе (жергілікті) ықшам топтардағы ұйымдастырушы принцип.

Галуа топтары

Галуа топтары полиномиялық теңдеулерді шешуге көмектесу үшін, олардың симметриялық қасиеттерін анықтау мақсатында жасалды. Мысалы, квадрат теңдеудің шешімдері былай беріледі: әр шешімді белгісін немесе белгісін қою арқылы алуға болады. Кубтық және квартикалық теңдеулер үшін де ұқсас формулалар белгілі, бірақ 5-ші және одан жоғары дәрежелі теңдеулер үшін жалпы формула жоқ. Квадрат формуласында таңбаны өзгерту (алынған екі шешімді ауыстыру) – (өте қарапайым) топтық операция ретінде қарастырылуы мүмкін. Ұқсас Галуа топтары жоғары дәрежелі полиномиялық теңдеулердің шешімдеріне әсер етеді және олардың шешімдеріне формулалардың болуымен тығыз байланысты. Бұл топтардың абстрактілі қасиеттері (әсіресе олардың шешілгіштігі) осы полиномдардың шешімдерін тек қосу, көбейту және түбірлерді қолдана отырып, жоғарыдағы формула сияқты жазу мүмкіндігі үшін критерий береді. Қазіргі Галуа теориясы жоғарыда аталған Галуа топтарын өріс теориясына көшу арқылы және полиномның түбірлер жиыны құратын өріс кеңейтімдерін қарастыру арқылы жалпылайды. Бұл теория Галуа теориясының негізгі теоремасы арқылы өрістер мен топтар арасындағы нақты байланысты орнатып, математикада топтардың кең таралғандығын тағы да көрсетеді.

Түпкіленген Абель топтары

Кез келген шекті абельдік топ шекті циклдік топтардың көбейтіндісіне изоморфты; бұл мәлімдеме шекті жасалған абельдік топтардың негізгі теоремасының бір бөлігі болып табылады. Жақсы нөмірлі кез келген топ циклдік топқа изоморфты (Лагранж теоремасының салдары). Кез келген p реттік тобы абельдік, Zp-ге немесе Zp x Zp-ге изоморфты, бірақ p реттік абельдік емес топтар да бар; жоғарыда көрсетілген p реттік диэдрлік топ – мысал.

Қарапайым топтар

Топтың өзінен және толық тобынан басқа қалыпты кіші тобы болғанда, кейде топ туралы сұрақтарды кіші топ N және 1= G/N туралы сұрақтарға келтіріп шешуге болады. Егер мұндай қалыпты кіші тобы болмаса, онда бұл топ қарапайым деп аталады. Шекті қарапайым топтар, шекті топтар үшін жай сандар оң бүтін сандар үшін болатындай, құрылыс блоктары болып табылады – бұл Джордан-Хёльдер теоремасымен дәл анықталады.

Шекті қарапайым топтарды жіктеу

Компьютерлік алгебра жүйелері 2000-ге дейінгі барлық топтарды тізімдеуге қолданылды. Бірақ барлық шекті топтарды жіктеу – шешуге тым қиын деп есептелетін мәселе. Барлық шекті қарапайым топтарды жіктеу – заманауи топтар теориясының маңызды жетістігі болды. Мұндай топтардың бірнеше шексіз отбасылары бар, сондай-ақ ешбір отбасыға жатпайтын 26 "спорадикалық топ" бар. Ең ірісі – "монстр" тобы деп аталады. Ричард Борчердс дәлелдеген монстрлық айшаңдық болжамдары монстр тобын белгілі бір модульдік функциялармен байланыстырады. Қарапайым топтарды жіктеу мен барлық топтарды жіктеу арасындағы айырмашылық кеңейту мәселесінде.

Қосымша құрылымды топтар

Топтың эквивалентті анықтамасы топ аксиомаларындағы "бар" деген бөлікті, нәтижесінде болуы тиіс элементті беретін операциялармен алмастырудан тұрады. Яғни, топ – бұл екілік операциямен (топ операциясы), бірлік операциямен (кері элементін беру үшін) және операндысыз, сәйкестік элементін нәтиже ретінде беретін нөлдік операциямен жабдықталған жиын. Басқаша айтқанда, топ аксиомалары өзгеріссіз қалады. Бұл анықтама нұсқасы экзистенциалдық кванторларды қолданбайды және топтармен жұмыс істеуде, сондай-ақ компьютерлік мысалдарды дәлелдеуде пайдаланылады. Топтарды осылай анықтау, категориядағы топтық объект түсінігі сияқты, жалпыламалауға мүмкіндік береді. Қысқасы, бұл топ аксиомаларын қайталайтын морфизмдері бар объект.

Топологиялық топтар

Кейбір топологиялық кеңістіктерге топтық заң қойылуы мүмкін. Топтық заң мен топология жақсы үйлесімде болуы үшін, топтық амалдар үздіксіз функциялар болуы керек; қарапайым тілмен айтқанда, егер x және y шамалы өзгерсе, онда нәтиже де күрт өзгермеуі тиіс. Мұндай топтар топологиялық топтар деп аталады және олар топологиялық кеңістіктер санатындағы топтық объектілер болып табылады. Ең қарапайым мысалдар – қосу амалы бойынша нақты сандар тобы және көбейту амалы бойынша нөлден өзге нақты сандар тобы. Осындай мысалдар кез келген басқа топологиялық өрістен, мысалы, кешенді сандар өрісінен немесе p-адық сандар өрісінен де құрастырылуы мүмкін. Бұл мысалдар жергілікті түрде жиынтық, сондықтан олар Гарр өлшемдеріне ие және гармониялық талдау арқылы зерттелуі мүмкін. Басқа жергілікті жиынтық топологиялық топтарға жергілікті өріс немесе аделдік сақинасы үстіндегі алгебралық топтың нүктелер тобы жатады; олар сан теориясының негізгі құрауыштары болып табылады. Шексіз алгебралық өріс кеңейтулерінің Галуа топтары Крулл топологиясымен жабдықталған, ол шексіз Галуа теориясында маңызды рөл атқарады. Алгебралық геометрияда қолданылатын жалпылау – этальдік түпнұсқалық топ.

Жалпы сілтемелер

Осы мақалада талданған түсініктер бакалавриат деңгейінде 2-тарауда түсіндіріледі. , қарапайым кіріспе. .

Арнайы сілтемелер

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Тарихи сілтемелер

. (Галуаның еңбегі алғаш рет 1843 жылы Жозеф Лиувилл жариялаған). .