Кіріспе
математикалық ұғым Математикалық топтың әсерінен туындайтын трансформациялар Математикада көптеген трансформациялар жиыны функциялар композициясы бойынша топты құрайды; мысалы, жазықтықтағы нүкте төңірегінде айналу. Көбінесе топты абстрактты топ ретінде қарастыру және абстрактты топтың топтық әрекетіне ие екенін айту ыңғайлы, ол трансформациялар тобының трансформацияларын орындаудан тұрады. Топты трансформациялардан ажыратудың себебі, әдетте, құрылымның трансформациялар тобы түрлі байланысты құрылымдарға да әсер етеді; мысалы, жоғарыдағы айналу тобы үшбұрыштарды үшбұрыштарға айналдыру арқылы үшбұрыштарға да әсер етеді. Формальды түрде, G тобының S жиынындағы топтық әрекеті – G-ден S-тен өзіне дейінгі функциялар тобына (функциялар композициясы бойынша) гомоморфизм. Егер топ құрылымға әсер етсе, ол әдетте сол құрылымнан құралған объектілерге де әсер етеді. Мысалы, Евклидтік изометриялар тобы Евклидтік кеңістікке және оның ішінде салынған фигураларға әсер етеді; атап айтқанда, ол барлық үшбұрыштар жиынына әсер етеді. Сол сияқты, көпжақтың симметриялар тобы көпжақтың төбелеріне, қабырғаларына және жақтарына әсер етеді. Векторлық кеңістіктегі топтық әрекет топтың бейнелеуі деп аталады. Шектелген өлшемді векторлық кеңістік жағдайында, ол K өрісіндегі n өлшемді инвертирленетін матрицалар тобы – жалпы сызықтық топтың GL(n, K) кіші топтарымен көптеген топтарды сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Симметриялық топ n элементі бар кез келген жиынға жиын элементтерін ауыстыру арқылы әсер етеді. Жинақтың барлық пермутацияларының тобы формальды түрде жиынға байланысты болғанымен, топтық әрекет түсінігі бірдей кардиналдылығы бар барлық жиынның пермутацияларын зерттеу үшін бір топты қарастыруға мүмкіндік береді.
Transformations induced by a mathematical group
In mathematics, many sets of transformations form a group under function composition; for example, the rotations around a point in the plane. It is often useful to consider the group as an abstract group, and to say that one has a group action of the abstract group that consists of performing the transformations of the group of transformations. The reason for distinguishing the group from the transformations is that, generally, a group of transformations of a structure acts also on various related structures; for example, the above rotation group acts also on triangles by transforming triangles into triangles. Formally, a group action of a group G on a set S is a group homomorphism from G to some group (under function composition) of functions from S to itself. If a group acts on a structure, it will usually also act on objects built from that structure. For example, the group of Euclidean isometries acts on Euclidean space and also on the figures drawn in it; in particular, it acts on the set of all triangles. Similarly, the group of symmetries of a polyhedron acts on the vertices, the edges, and the faces of the polyhedron. A group action on a vector space is called a representation of the group. In the case of a finite dimensional vector space, it allows one to identify many groups with subgroups of the general linear group GL(n, K), the group of the invertible matrices of dimension n over a field K.
The symmetric group acts on any set with n elements by permuting the elements of the set. Although the group of all permutations of a set depends formally on the set, the concept of group action allows one to consider a single group for studying the permutations of all sets with the same cardinality.
Әрекеттердің ерекше қасиеттері
G – X жиынында әрекет ететін топ болсын. Егер барлық x ∈ X үшін 1=g⋅x = x болса, онда 1=g = eG дегеніміз, әрекет адал немесе тиімді деп аталады. Басқаша айтқанда, G-ден X жиынының биекциялары тобына сәйкес гомоморфизм инъективті болады. Әрекет еркін (немесе жартылай тұрақты немесе тұрақты нүктесіз) деп аталады, егер кейбір x ∈ X үшін 1=g⋅x = x болса, онда 1=g = eG екендігі шығады. Яғни, G тобының тривиалды емес элементі X жиынының нүктесін бекітпейді. Бұл адалдықтан әлдеқайда күшті қасиет. Мысалы, кез келген топтың сол жақтан көбейту арқылы өзіне әсер етуі еркін болады. Бұл байқау Кейли теоремасын білдіреді: кез келген топ симметриялық топқа енгізіле алады (егер топ шексіз болса, онда шексіз симметриялық топқа). Шекті топ өзінің кардиналдығынан әлдеқайда кіші жиынға адал әрекет ете алады (бірақ мұндай әрекет еркін бола алмайды). Мысалы, 2-абельдік топ (('Z' / 2'Z')^n) (кардиналдығы 2^n) 2n өлшемді жиынға адал әрекет етеді. Бұл әрқашан орындалмайды, мысалы, циклдік топ ('Z' / 2^n'Z') 2^n-ден кіші өлшемді жиынға адал әрекет ете алмайды. Жалпы, адал әрекетті анықтауға болатын ең кішкентай жиынның мөлшері бірдей өлшемді топтар үшін күрт өзгеруі мүмкін. Мысалы, 120 өлшемді үш топ – S5 симметриялық тобы, A5 × ('Z' / 2'Z') икосаэдрлік тобы және ('Z' / 120'Z') циклдік тобы. Бұл топтар үшін адал әрекеттерді анықтауға болатын ең кішкентай жиынның мөлшері тиісінше 5, 7 және 16-ға тең.
Транзитивтілік қасиеттері
G-дің X-ке әсері транзитивті деп аталады, егер кез келген екі x, y ∈ X нүктесі үшін g ∈ G мүшесі болса, онда 1=g ⋅ x = y. Әрекет транзитивті және еркін болса, ол жай транзитивті (немесе өткір транзитивті, немесе реттелген) болып саналады. Бұл дегеніміз, берілген x, y ∈ X үшін транзитивтілік анықтамасы бойынша g мүшесі бірегей. Егер G тобы X-ке жай транзитивті түрде әсер етсе, онда ол G үшін негізгі біртекті кеңістік немесе G торсоры деп аталады. n ≥ 1 бүтін саны үшін, егер X-те кем дегенде n элемент болса және кез келген екі n-тік (x1, ..., xn), (y1, ..., yn) ∈ X^(n) мүшелері жұп-жұп ерекшеленетін жазбаларымен (яғни xi ≠ xj, yi ≠ yj, i ≠ j болғанда) g ∈ G мүшесі болса, онда 1=g⋅xi = yi, i = 1, ..., n. Басқаша айтқанда, қайталанбайтын жазбалары жоқ X^(n) жиынының ішкі жиыны бойынша әрекет транзитивті. n = 2, 3 болғанда бұл жиі екі реттік, тиісінше үш реттік транзитивтілік деп аталады. 2 транзитивті топтар класы (яғни, әрекеті 2 транзитивті болатын шекті симметриялық топтың кіші топтары) және жалпы алғанда, көп реттік транзитивті топтар шекті топтар теориясында жақсы зерттелген. Егер X^(n) жиынындағы қайталанбайтын жазбалары жоқ n-тіктер бойынша әрекет өткір транзитивті болса, онда ол әрекет деп аталады.
Мысалдар
X симметриялық тобының әрекеті транзитивті, тіпті X-тің кардиналдығына дейінгі кез келген n үшін n транзитивті. Егер X-тің кардиналдығы n болса, кезектестірілген топтың әрекеті (n - 2) транзитивті, бірақ (n - 1) транзитивті емес. V векторлық кеңістігінің жалпы сызықтық тобының нөлдік емес векторлар жиынына әсері транзитивті, бірақ 2 транзитивті емес (v өлшемі кем дегенде 2 болса, арнайы сызықтық топтың әсері үшін де осылай). Евклид кеңістігінің ортогональды тобының әрекеті нөлдік емес векторларға транзитивті емес, бірақ бірлік сфераға транзитивті.
Бастапқы әрекеттер
G-нің X-ке әсері примитивті деп аталады, егер G-нің барлық элементтерімен сақталатын, тек тривиальды емес (бір бөліктен тұратын бөлініс және оның керісі, жеке-жеке бөліктерге бөліну) X-тің бөлінісі болмаса.
Топологиялық қасиеттер
X – топологиялық кеңістік және G әрекеті гомеоморфизмдер арқылы деп есептеңіз. Егер әрбір x ∈ X үшін U көршілігі болса, онда g ∈ G саны, g⋅U ∩ U ≠ ∅ шартын қанағаттандыратындары, шекті болса, әрекет айналып жүреді. Жалпы алғанда, x ∈ X нүктесі G әрекеті үшін үздіксіздік нүктесі деп аталады, егер U ∋ x ашық жиынтығы болса, онда g ∈ G саны, g⋅U ∩ U ≠ ∅ шартын қанағаттандыратындары, шекті болса. Әрекеттің үздіксіздік өрісі – үздіксіздік нүктелерінің барлық жиынтығы. Бұл теңдес, ол X-тің ең үлкен G-тұрақты ашық жиынтығы Ω, сондықтан G-нің Ω-ға әсері айналып жүреді. Динамикалық контексте бұл сондай-ақ "айналып жүретін жиынтық" деп аталады. Әрекет дұрыс үздіксіз болады, егер әрбір компактты K ⊂ X жиынтығы үшін g ∈ G саны, g⋅K ∩ K ≠ ∅ шартын қанағаттандыратындары, шекті болса. Бұл айналып жүруден қатаң күшті; мысалы, 'Z' әрекеті 1=n⋅(x, y) = (2^(n)x, 2^(−n)y) айналып жүреді және еркін, бірақ дұрыс үздіксіз емес. Жергілікті жай ғана байланысқан кеңістіктің негізгі тобының қабаттық түрлендірулері арқылы жабық кеңістіктегі әрекеті айналып жүреді және еркін болады. Мұндай әрекеттерді келесі қасиетпен сипаттауға болады: әр x ∈ X үшін U көршілігі бар, сондықтан барлық g үшін g⋅U ∩ U = ∅. Бұл қасиеттері бар әрекеттер кейде еркін үздіксіз деп аталады, ал әрекеті еркін үздіксіз болатын ең үлкен жиынтық – еркін тұрақты жиынтық деп аталады. G тобының жергілікті тығыз X кеңістіктегі әрекеті кокомпакт деп аталады, егер 1=X = G ⋅ A болатын A ⊂ X компактты жиынтығы болса. Дұрыс үздіксіз әрекет үшін кокомпактность G \ X коэффициенттік кеңістігінің компакттығына тең.
Топологиялық топтардың іс-әрекеттері
Енді G топологиялық топ, ал X – гомеоморфизмдер арқылы әрекет ететін топологиялық кеңістік деп есептейік. Егер G × X → X картасы көбейтінді топологиясы бойынша үздіксіз болса, онда әрекет үздіксіз деп аталады. Егер (g, x) ↦ (x, g⋅x) арқылы анықталған G × X → X × X картасы дұрыс болса, онда әрекет дұрыс деп аталады. Бұл K және K′ компакт жиындары үшін g⋅K ∩ K′ ≠ ∅ шартын қанағаттандыратын g ∈ G жиынының компактты екенін білдіреді. Атап айтқанда, бұл дұрыс үздіксіздікке тең, яғни G дискретті топ болып табылады. Егер әрбір x ∈ X үшін g⋅x ≠ x және орбиталық карта g ↦ g⋅x үздіксіз болса, онда әрекет күшті үздіксіз деп айтылады. Атынан көрінетіндей, бұл қасиет әрекеттің үздіксіздігінен әлсіз. Егер G – Лай тобы және X – дифференциалданатын көптеме болса, онда әрекеттің тегіс нүктелерінің ішкі кеңістігі – g ↦ g⋅x картасы тегіс болатын x ∈ X нүктелерінің жиыны болып табылады. Ли тобының әрекеттері туралы жақсы дамыған теория бар, яғни бүкіл кеңістікте тегіс болатын әрекеттер.
The action is said to be strongly continuous if the orbital map g ↦ g⋅x is continuous for every x ∈ X. Contrary to what the name suggests, this is a weaker property than continuity of the action. If G is a Lie group and X a differentiable manifold, then the subspace of smooth points for the action is the set of points x ∈ X such that the map g ↦ g⋅x is smooth. There is a well developed theory of Lie group actions, i. e. action which are smooth on the whole space.
Сызықтық әрекеттер
Егер g коммутативті сақинадағы модульде сызықтық түрлендірулер арқылы әрекет етсе, онда әрекет өзінің нөлдік емес, дұрыс емес инвариантты субмодульдері болмаса, қайталанбас деп аталады. Егер ол қайталанбас әрекеттердің тікелей қосындысы түрінде ыдырайтын болса, онда жартылай жай деп аталады.
Орбиталар және тұрақтандырғыштар
G тобының X жиынында әрекет ететінін қарастырайық. X элементінің орбитасы – X элементтерінің жиынтығы, оған G элементтері арқылы x элементін жылжытуға болады. x орбитасы G⋅x арқылы белгіленеді:
Топтың анықтамалық қасиеттері X жиынындағы (x нүктелерінің) орбиталар жиынтығының G әрекеті бойынша X-тің бөлінісін құрайтынын кепілдік береді. Тиісті эквиваленттік қатынас x ~ y деп анықталады, егер және тек қана G-де g элементі болса, онда g⋅x = y. Орбиталар осы қатынас бойынша эквиваленттілік кластары болып табылады; екі элемент x және y эквивалентті болады, егер және тек қана олардың орбиталары бірдей болса, яғни G⋅x = G⋅y. Топтық әрекет транзитивті болады, егер және тек қана оның дәл бір орбитасы болса, яғни X жиынында G⋅x = X болатын x элементі болса. Бұл жағдай барлық x ∈ X үшін G⋅x = X болғанда ғана орын алады (X жиыны бос емес екендігін ескере отырып). G әрекеті бойынша X-тің барлық орбиталарының жиынтығы X / G (немесе сирек жағдайларда G \ X) деп жазылады және әрекеттің фактор жиыны деп аталады. Геометриялық жағдайларда бұл орбиталық кеңістік деп аталуы мүмкін, ал алгебралық жағдайларда – коинварианттар кеңістігі деп аталып, XG деп жазылады, инварианттармен (тұрақты нүктелермен) салыстырғанда, X^(G) деп белгіленеді: коинварианттар – фактор жиын, ал инварианттар – ішкі жиын. Коинвариант терминологиясы мен белгілеуі, әсіресе топтық когомологияда және топтық гомологияда қолданылады, олар бірдей үстін/астын жазу конвенциясын пайдаланады.
Өзгермейтін кіші жиынтықтар
Егер Y – X-тің ішкі жиыны болса, онда G⋅Y осы жиынды білдіреді. Y ішкі жиыны G астында инвариантты деп есептеледі, егер 1=G⋅Y = Y болса (бұл G⋅Y ⊆ Y-ге тең). Бұл жағдайда G, әрекетін Y-ға шектеу арқылы Y-да да әрекет етеді. Y ішкі жиыны G бойынша тұрақты деп аталады, егер 1=g⋅y = y барлық g ∈ G және барлық y ∈ Y үшін орындалса. G бойынша тұрақты кез келген ішкі жиын G бойынша инвариантты болып табылады, бірақ керісіншесі дұрыс емес. Кез келген орбита – G транзитивті әрекет ететін X-тің инвариантты ішкі жиыны. Керісінше, X-тің кез келген инвариантты ішкі жиыны – орбиталардың біріктірілісі. G-дің X-ке әрекеті транзитивті болады, егер және тек қана барлық элементтер эквивалентті болса, яғни тек бір ғана орбита болса. G инвариантты X элементі – x ∈ X, яғни 1=g⋅x = x барлық g ∈ G үшін. Мұндай x-тің барлық жиыны X^(G) деп белгіленеді және X-тің G инварианттары деп аталады. X – G модулі болған жағдайда, X^(G) – G-дің нөлдік когомологиялық тобы, ал жоғары когомологиялық топтар – G инварианттарының функторының туынды функторлары болып табылады.
Тұрақты нүктелер мен тұрақтандырушы кіші топтары
G-дегі g және X-дегі x үшін, егер 1=g⋅x = x болса, онда "x, g-нің тұрақты нүктесі" немесе "g, x-ті бекітеді" делінеді. X-тегі әрбір x үшін, G-нің x-қа қатысты тұрақтандырғыш кіші тобы (изотропия тобы немесе кіші топ деп те аталады) – G-дегі x-ті бекітетін барлық элементтердің жиынтығы:
Бұл G-нің кіші тобы, бірақ көбінесе қалыпты емес. G-нің X-ке әсері еркін, егер және тек қана барлық тұрақтандырғыштар тривиальды болса. Симметриялық топқа қатысты гомоморфизмнің ядросы N, G → Sym(X), X-тегі барлық x үшін Gx тұрақтандырғыштарының қиылысы арқылы беріледі. Егер N тривиальды болса, онда әрекет адал (немесе тиімді) деп аталады. X-тің екі элементі x және y болсын, сондай-ақ g, 1=y = g⋅x шартын қанағаттандыратын топ элементі болсын. Онда екі тұрақтандырғыш топ Gx және Gy, 1=Gy = gGxg^(−1) қатысы арқылы байланысты. Дәлел: анықтама бойынша, h ∈ Gy егер және тек егер 1=h⋅(g⋅x) = g⋅x болса. Теңдіктің екі жағына g^(−1) қолданғанда, 1=(g^(−1)hg)⋅x = x; яғни, g^(−1)hg ∈ Gx. Кері инклюзия да h ∈ Gx және 1=x = g^(−1)⋅y шарты арқылы ұқсас түрде шығарылады. Жоғарыда айтылғандай, бір орбитадағы элементтердің тұрақтандырғыштары бір-бірімен конъюгацияланған. Осылайша, әр орбитаға G кіші тобының конъюгация класын (яғни, кіші топтың барлық конъюгаттарының жиынтығын) байланыстыруға болады. (H) белгісі H-тың конъюгация класын білдірсін. Олай болса, O орбитасының түрі (H) болады, егер O-дағы кез келген x-тің тұрақтандырғышы Gx, (H)-қа тиесілі болса. Максималды орбиталық тип көбінесе негізгі орбиталық тип деп аталады.
Топтық іс-әрекеттер және топтық сілтемелер
Топтық іс-қимыл ұғымын, топтық іс-қимылмен байланысты 1=G′ = G ⋉ X іс-қимыл groupoid арқылы бейнелеуге болады. Іс-қимылдың тұрақтандырғыштары – groupoid-тың төбелік топтары, ал іс-қимыл орбиталары – оның байланысқан компоненттері.
Түрлері мен жалпылаулары
Жоғарыда айтылған екі аксиоманы қолдана отырып, моноидтардың жиынтықтарға әсерін де қарастыруға болады. Бірақ бұл биективті бейнелеулер мен эквиваленттік қатынастарды анықтамайды. Жартылай топтық әрекет туралы қараңыз. Жиынтықтардағы әрекеттердің орнына, кез келген санаттағы объектілерге топтар мен моноидтардың әсерін анықтауға болады: белгілі бір санаттағы X объектісінен бастап, X-тің эндоморфизмдерінің моноидіне X-тің моноидтық гомоморфизмін әрекет ретінде анықтаңыз. Егер X негізгі жиынтықтың өзі болса, жоғарыда айтылған барлық анықтамалар мен фактілерді қолдануға болады. Мысалы, егер векторлық кеңістіктер санатын алсақ, топтық өкілдікті осылай алуға болады. G тобын бір ғана объектісі бар және әрбір морфизмі инверттік болатын санат ретінде қарастыруға болады. (Сол жақтың) топтық әрекеті – G-ден жиынтықтар санатына бағытталған функтор, ал топтық өкілдік – G-ден векторлық кеңістіктер санатына бағытталған функтор. G жиынтықтары арасындағы морфизм – бұл топтық әрекет функторлары арасындағы табиғи түрлендіру. Осыған ұқсас, группоидтың әрекеті – группоидтан жиынтықтар санатына немесе басқа санатқа бағытталған функтор. Топологиялық кеңістіктегі топологиялық топтардың үздіксіз әрекеттерінен басқа, Ли тобының тегіс түрлендіргіштердегі тегіс әрекеттерін, алгебралық топтардың алгебралық түрлердегі реттелген әрекеттерін және топтық схемалардың схемаларға қатысты әрекеттерін де жиі қарастырады. Бұлардың барлығы – өз санатындағы объектілерге әсер ететін топтық объектілердің мысалдары.