Кіріспе

Геометриялық түрлендіру, сызықтарды сақтайтын, бірақ бұрыштарды және бастапқы нүктені сақтамайтын.

Евклид геометриясында аффиндік түрлендіру немесе аффинитет (латынша affinis, "қосылған" деген мағынада) — сызықтар мен параллелизмді сақтайтын, бірақ Евклидтік қашықтықтар мен бұрыштарды міндетті түрде сақтамайтын геометриялық түрлендіру. Көбірек айтқанда, аффиндік түрлендіру — аффиндік кеңістіктің (Евклид кеңістіктері — нақты аффиндік кеңістіктер) автоморфизмі, яғни аффиндік кеңістікті өзіне бейнелейтін және кез келген аффиндік ішкі кеңістіктердің өлшемдерін (яғни нүктелерді нүктелерге, сызықтарды сызықтарға, жазықтықтарды жазықтықтарға және т.б.) және параллель сызық сегменттерінің ұзындықтарының қатынастарын сақтайтын функция. Осыған сәйкес, параллель аффиндік ішкі кеңістіктер жиыны аффиндік түрлендіруден кейін де параллель болып қалады. Аффиндік түрлендіру тура сызықта жатқан нүктелер арасындағы қашықтықтардың қатынастарын сақтаса да, сызықтар арасындағы бұрыштарды немесе нүктелер арасындағы қашықтықты міндетті түрде сақтамайды. Егер X — аффиндік кеңістіктің нүктелер жиыны болса, онда X-тегі кез келген аффиндік түрлендіру X-тегі сызықтық түрлендіру мен X-тің жылжуының композициясы ретінде көрсетілуі мүмкін. Таза сызықтық түрлендіруден айырмашылығы, аффиндік түрлендіруге аффиндік кеңістіктің бастапқы нүктесін сақтау міндетті емес. Осылайша, кез келген сызықтық түрлендіру аффиндік, бірақ кез келген аффиндік түрлендіру сызықтық емес. Аффиндік түрлендірулердің мысалдары: жылжу, масштабтау, гомотетия, ұқсастық, көшу, бұру, иілу және олардың кез келген комбинациясы мен тізбегі. Аффиндік кеңістікті проективтік кеңістіктің шексіздіктегі гипержазықтығының толықтыруы ретінде қарастыра отырып, аффиндік түрлендірулер — проективтік кеңістіктің гипержазықтықты шексіздікте инвариант қалдыратын проективтік түрлендірулері, бұл гипержазықтықтың толықтыруымен шектеледі. Аффиндік түрлендірудің жалпылауы — бір өріс k бойынша екі (потенциалды түрде әртүрлі) аффиндік кеңістіктер арасындағы аффиндік бейнелеу (немесе аффиндік гомоморфизм немесе аффиндік сәйкестік). (X, V, k) және (Z, W, k) екі аффиндік кеңістік болсын, мұнда X және Z — нүктелер жиындары, ал V және W — k өрісі бойынша тиісті векторлық кеңістіктер. f: X → Z бейнелеуі аффиндік бейнелеу болады, егер mf: V → W сызықтық бейнелеуі болса, онда 1=mf(x − y) = f(x) − f(y) барлық x, y ∈ X үшін.

Өкілдік

Жоғарыда көрсетілгендей, аффиндік түрлендіру екі функцияның құрамынан тұрады: аударма және сызықтық түрлендіру. Қалыпты векторлық алгебра сызықтық түрлендірулерді бейнелеу үшін матрицалық көбейтуді, ал аудармаларды бейнелеу үшін векторлық қосуды пайдаланады. Формальды түрде, шекті өлшемді жағдайда, егер сызықтық түрлендіру керілі матрицамен көбейту арқылы, ал аударма вектордың қосылуы арқылы берілсе, векторға әсер ететін аффиндік түрлендіруді былай көрсетуге болады:

Топтар

Аффиналық түрлендіру кері айналатындықтан, оның матрицалық бейнелеуінде пайда болатын квадрат матрица да кері айналады. Кері түрлендірудің матрицалық бейнесі былай болады:

Аффиналық түрлендірулер (аффиналық кеңістіктің өзіне) аффиналық топты құрайды, оның ішіндегі жалпы сызықтық топтың дәрежесі кіші топ болып табылады және ол өзі дәрежедегі жалпы сызықтық топтың кіші тобы болып табылады. Сәйкестік түрлендірулер скалярлық еселік ортогональды матрица болатын кіші топты құрайды. Мысалы, егер аффиналық түрлендіру жазықтықта әрекет етсе және матрицаның детерминанты 1 немесе -1 болса, онда бұл түрлендіру ауданы сақтайтын бейнелеу болады. Мұндай түрлендірулер экви-аффиналық топ деп аталатын кіші топты құрайды. Екі тең аффиналық және сәйкестік түрлендірулер – Евклидтік қашықтығымен анықталған жазықтықтың изометриясы болып табылады. Бұл топтардың әрқайсысының құрамында бағытты сақтайтын немесе оң аффиналық түрлендірулердің кіші тобы бар: олардың детерминанты оң болады. Соңғы жағдайда, бұл 3D кеңістікте қатты түрлендірулер тобын (нақты айналымдар мен таза ауыстырулар) құрайды. Егер бір тұрақты нүкте болса, оны координаталардың басы деп алып, аффиналық түрлендіру сызықтық түрлендіруге дейін тобықтырылады. Бұл түрлендіруді жіктеуді және түсінуді жеңілдетуі мүмкін. Мысалы, түрлендіруді белгілі бір оське қатысты белгілі бір бұрышқа айналу ретінде сипаттау, оны ауыстыру мен айналудың комбинациясы ретінде сипаттауға қарағанда, түрлендірудің жалпы мінез-құлқы туралы нақтырақ түсінік береді. Дегенмен, бұл қолданылу мен контекстке байланысты.

Тарих

"Аффин" сөзі математикалық термин ретінде Эйлердің 1748 жылғы "Introductio in analysin infinitorum" еңбегінде қисықтарға жүргізілген жанамалармен байланысты анықталады. Феликс Клейн "аффиндік түрлендіру" терминін Мёбиус пен Гаусске жатқызады.

Афинді бүгілу

Аффиндік түрлендіру параллель түзулерді сақтайды. Дегенмен, созу және иіс түрлендірулер пішіндерді бұрмалайды, мысалы:

Бұл – бейне бұрмалануының мысалы. Алайда, аффиндік түрлендірулер қисық бетке проекциялауға немесе радиалды бұрмалауларға мүмкіндік бермейді.

Нақты сандар бойынша

Функциялар және және — нақты түзудің аффиндік түрлендірулері болып табылады.