Введение

Математическая игра Tangloids — математическая игра для двух игроков, созданная Питом Хейном для моделирования исчисления спиноров. Описание игры появилось в книге Мартина Гарднера «Новые математические забавы из «Научного американца»» 1996 года в разделе, посвященном математике плетения. Два плоских деревянных блока, каждый из которых проделан тремя небольшими отверстиями, соединены тремя параллельными нитями. Каждый игрок держит один из деревянных блоков. Первый игрок удерживает один блок неподвижно, а второй игрок вращает другой блок на два полных оборота. Плоскость вращения перпендикулярна нитям, когда они не запутаны. Теперь нити перекрещиваются. Затем первый игрок пытается распутать нити, не вращая ни один из блоков. Разрешены только перемещения (перемещение блоков без вращения). После этого игроки меняются ролями; побеждает тот, кто быстрее распутает нити. Попробуйте с одним оборотом. Нити, конечно, снова перекрещиваются, но их нельзя распутать, не вращая один из двух деревянных блоков. Балийский трюк с чашей, используемый в балийском танце со свечами, является другим примером той же математической идеи. Механизм предотвращения закручивания предназначен для избежания подобных ориентационных переплетений. Математическую интерпретацию этих идей можно найти в статье о кватернионах и пространственном вращении.

Математическая артикуляция

Эта игра призвана прояснить представление о том, что вращения в пространстве обладают свойствами, которые нельзя интуитивно объяснить, рассматривая лишь вращение одного жесткого тела в пространстве. Ротация векторов не охватывает всех свойств абстрактной модели вращений, задаваемой группой вращений. Свойство, иллюстрируемое в этой игре, в математике формально называется «двойным покрытием SO(3) группой SU(2)». Это абстрактное понятие можно схематично представить следующим образом. Вращения в трех измерениях можно выразить в виде матриц 3x3 – набора чисел, по одному для каждой из осей x, y, z. Если рассматривать произвольно малые вращения, то приходишь к выводу, что вращения образуют пространство: если каждое вращение рассматривать как точку, то всегда найдутся другие близлежащие точки, другие близлежащие вращения, отличающиеся лишь на малую величину. В небольших окрестностях эта совокупность близлежащих точек напоминает евклидово пространство. Фактически, она напоминает трехмерное евклидово пространство, поскольку существует три различных возможных направления для бесконечно малых вращений: x, y и z. Это корректно описывает структуру группы вращений в малых окрестностях. Однако для последовательностей больших вращений эта модель перестает работать: например, повернуть направо, а затем лечь – это не то же самое, что сначала лечь, а затем повернуть направо. Хотя группа вращений имеет структуру трехмерного пространства в малом масштабе, в большом масштабе это не так. Системы, которые ведут себя как евклидово пространство в малом масштабе, но могут иметь более сложную глобальную структуру, называются многообразиями. Известные примеры многообразий включают сферы: глобально они круглые, но локально ощущаются и выглядят плоскими, отсюда и идея «плоской Земли». Тщательное изучение группы вращений показывает, что она имеет структуру 3-сферы с отождествленными противоположными точками. Это означает, что для каждого вращения существует, на самом деле, две различные, противоположные точки на 3-сфере, описывающие это вращение. Это и иллюстрируют танглоиды. Иллюстрация весьма остроумна. Представьте себе выполнение вращения на 360 градусов по одному градусу за раз, в виде серии крошечных шагов. Эти шаги ведут вас по пути, по траектории на этом абстрактном многообразии, в этом абстрактном пространстве вращений. По завершении этого 360-градусного путешествия вы не возвращаетесь домой, а оказываетесь в точке, противоположной исходной. И вы застреваете там – вы не можете вернуться в исходную точку, пока не совершите еще одно, второе путешествие на 360 градусов. Структура этого абстрактного пространства, 3-сферы с отождествленными противоположными точками, довольно странная. Технически, это проективное пространство. Можно попытаться представить себе воздушный шар, из которого выпускают весь воздух, а затем склеивают противоположные точки. Если попытаться сделать это в реальности, вскоре обнаружится, что это невозможно сделать глобально. Локально, для любого небольшого участка, можно выполнить операцию переворачивания и склеивания, но глобально это сделать нельзя. (Имейте в виду, что воздушный шар – это 2-сфера, а не 3-сфера вращений.) Для дальнейшего упрощения можно начать с окружности и попытаться склеить противоположные точки – все равно получится неудачный беспорядок. Лучшее, что можно сделать, – это провести прямые линии через начало координат и затем, по определению, объявить, что противоположные точки совпадают. Это базовая конструкция любого проективного пространства. Так называемое «двойное покрытие» относится к идее, что это склеивание противоположных точек можно обратить. Это можно объяснить относительно просто, хотя для этого потребуется введение некоторой математической нотации. Первый шаг – упомянуть «алгебру Ли». Это векторное пространство, наделенное свойством умножения двух векторов. Это происходит потому, что малое вращение вокруг оси x, за которым следует малое вращение вокруг оси y, не эквивалентно изменению порядка этих двух вращений; они различны, и разница – это малое вращение вокруг оси z. Формально это неравенство можно записать как , помня о том, что x, y и z – это не числа, а бесконечно малые вращения. Они не коммутируют. Тогда можно спросить: «Что еще ведет себя так?» Ну, очевидно, что 3D-матрицы вращения ведут себя так, ведь в этом-то и заключается суть: они правильно, математически точно описывают вращения в трехмерном пространстве. Однако, как ни странно, существуют также матрицы 2x2, 4x4, 5x5, которые также обладают этим свойством. Тогда можно спросить: «Хорошо, какова форма их многообразий?» Для случая 2x2 алгебра Ли называется su(2), а многообразие – SU(2). И, что примечательно, многообразие SU(2) является 3-сферой (но без отождествления противоположных точек). Теперь можно немного поиграть с трюком. Возьмите вектор в обычном трехмерном пространстве (в нашем физическом пространстве) и примените к нему матрицу вращения. В результате получится повернутый вектор. Это результат применения обычного, «здравомыслящего» вращения. Но у нас также есть матрицы Паули – это комплексные матрицы 2x2, обладающие свойством алгебры Ли, а именно , и поэтому они моделируют поведение бесконечно малых вращений. Рассмотрим произведение. «Двойное покрытие» – это свойство, согласно которому существует не одна, а две матрицы 2x2 такие, что

Здесь обозначает обратную матрицу; то есть. Матрица является элементом SU(2), и поэтому для каждой матрицы в SO(3) существуют две соответствующие: и будут работать. Это две противоположные точки, а проекция сводится к тривиальному наблюдению, что. Игра с танглоидами призвана проиллюстрировать, что вращение на 360 градусов переводит из в. Это довольно точно: можно рассмотреть последовательность малых вращений и соответствующее движение ; результат меняет знак. С точки зрения углов вращения матрица будет содержать в себе , а соответствующая будет содержать в себе. Дальнейшее разъяснение требует фактической записи этих формул. Завершить описание можно несколькими общими замечаниями. Во-первых, алгебры Ли универсальны, и для каждой из них существует одна или несколько соответствующих групп Ли. В физике вращения нормальных трехмерных объектов, очевидно, описываются группой вращений, которая является группой Ли из матриц 3x3. Однако спиноры, частицы со спином 1/2, вращаются в соответствии с матрицами в SU(2). Матрицы 4x4 описывают вращение частиц со спином 3/2, а матрицы 5x5 – вращение частиц со спином 2 и так далее. Представления групп Ли и алгебр Ли описываются теорией представлений. Представление со спином 1/2 принадлежит фундаментальному представлению, а представление со спином 1 – сопряженному представлению. Понятие двойного покрытия, используемое здесь, является общим явлением, описываемым отображениями покрытий. Отображения покрытий, в свою очередь, являются частным случаем расслоений. Классификация отображений покрытий выполняется с помощью теории гомотопий; в данном случае формальное выражение двойного покрытия заключается в том, что фундаментальная группа равна , где покрывающая группа просто кодирует два эквивалентных вращения и выше. В этом смысле группа вращений открывает дверь, ключ к царству обширных областей высшей математики.