Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық ұғым
Mathematical concept
Дерек мәнінің жуықтау қатесі – нақты мән мен оған жасалған жуықтау арасындағы айырмашылық. Бұл қате абсолюттік қате (айырмашылықтың сандық шамасы) немесе салыстырмалы қате (абсолюттік қате дерек мәніне бөлінген) түрінде берілуі мүмкін. Жуықтау қатесінің пайда болуына түрлі себептер ықпал етеді, соның ішінде есептеу машинасының дәлдігі немесе өлшеу қатесі (мысалы, қағаздың ұзындығы 4,53 см, бірақ сызғыш оны тек 0,1 см-ге дейін бағалауға мүмкіндік береді, сондықтан сіз оны 4,5 см деп өлшейсіз). Сандық талдаудың математикалық саласында алгоритмнің сандық тұрақтылығы алгоритмге берілген деректегі қателердің нәтижесінде шығыста қаншалықты үлкен қателер пайда болатынын көрсетеді; сандық тұрақты алгоритмдер дерек бұрмаланған жағдайда шығыста маңызды қателерге әкелмейді және керісінше.
The approximation error in a data value is the discrepancy between an exact value and some approximation to it. This error can be expressed as an absolute error (the numerical amount of the discrepancy) or as a relative error (the absolute error divided by the data value). An approximation error can occur for a variety of reasons, among them a computing machine precision or measurement error (e. g. the length of a piece of paper is 4.53 cm but the ruler only allows you to estimate it to the nearest 0.1 cm, so you measure it as 4.5 cm). In the mathematical field of numerical analysis, the numerical stability of an algorithm indicates the extent to which errors in the input of the algorithm will lead to large errors of the output; numerically stable algorithms do not yield a significant error in output when the input is malformed and vice versa.
Мысалдар
Мысалы, егер нақты мән 50 болса және жуықтау 49,9 болса, онда абсолюттік қате 0,1, ал салыстырмалы қате 0,1/50 = 0,002 = 0,2% құрайды. Практикалық мысал ретінде, 6 мл көлемдік ыдысты өлшегенде 5 мл көрсетілді. Нақты мәні 6 мл болғандықтан, бұл жағдайдағы қателік шамамен 16,7% болады. Салыстырмалы қате әртүрлі шамадағы сандардың жуықтауларын салыстыру үшін жиі қолданылады; мысалы, 3-ке жуықтап алынған 1000 санының қатесі, көп жағдайда, 3-ке жуықтап алынған 1 000 000 санының қатесінен әлдеқайда үлкен болады; бірінші жағдайда салыстырмалы қате 0,003-ке, ал екінші жағдайда 0,000003-ке тең. Салыстырмалы қателіктердің екі ерекшелігін ескеру қажет. Біріншіден, нақты мән нөлге тең болғанда салыстырмалы қате анықталмайды, өйткені ол бөлшектің бөлімінде болады (төменде қараңыз). Екіншіден, салыстырмалы қате тек қатынас шкаласында (яғни, нақты нөлдік мәні бар шкала) өлшенгенде ғана мағыналы, әйтпесе ол өлшем бірліктеріне тәуелді болады. Мысалы, Цельсия шкаласында өлшенген температурадағы абсолюттік қате 1 °C болса және нақты мәні 2 °C болса, салыстырмалы қате 0,5 құрайды. Ал дәл сол жуықтау Кельвин шкаласында жасалса, 275,15 K = 2 °C нақты мәні үшін 1 K абсолюттік қате 3,63 салыстырмалы қате береді.
As an example, if the exact value is 50 and the approximation is 49.9, then the absolute error is 0.1 and the relative error is 0.1/50 = 0.002 = 0.2%. As a practical example, when measuring a 6 mL beaker, the value read was 5 mL. The correct reading being 6 mL, this means the percent error in that particular situation is, rounded, 16.7%. The relative error is often used to compare approximations of numbers of widely differing size; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 is, in most applications, much worse than approximating the number 1,000,000 with an absolute error of 3; in the first case the relative error is 0.003 while in the second it is only 0.000003. There are two features of relative error that should be kept in mind. First, relative error is undefined when the true value is zero as it appears in the denominator (see below). Second, relative error only makes sense when measured on a ratio scale, (i. e. a scale which has a true meaningful zero), otherwise it is sensitive to the measurement units. For example, when an absolute error in a temperature measurement given in Celsius scale is 1 °C, and the true value is 2 °C, the relative error is 0.5. But if the exact same approximation is made with the Kelvin scale, a 1 K absolute error with the same true value of 275.15 K = 2 °C gives a relative error of 3.63.
Салыстыру
Салыстырмалы қателер туралы айғақтар тұрақты қосылғанда өзгереді, бірақ тұрақтыға көбейтілгенде өзгермейді. Абсолютті қателер үшін керісінше: олар тұрақтыға көбейтілгенде өзгереді, бірақ тұрақты қосылғанда өзгермейді.
Statements about relative errors are sensitive to addition of constants, but not to multiplication by constants. For absolute errors, the opposite is true: are sensitive to multiplication by constants, but not to addition of constants.
Нақты сандарды полиномиалдық уақытпен шамалау
Біз нақты мән v-нің кірістен алынған абсолютті қатемен полиномдық есептелуі мүмкін дейміз, егер әрбір ε>0 рационалды саны үшін v-ге ε абсолютті қатесімен жуықтайтын рационалды санды кірістің мөлшерімен және ε кодтау мөлшерімен (бұл O(log(1/ε)) шамасында болады) полиномдық уақытта есептеуге болады. Сол сияқты, v салыстырмалы қатемен полиномдық есептелуі мүмкін, егер әрбір η>0 рационалды саны үшін v-ге η салыстырмалы қатесімен жуықтайтын рационалды санды кірістің мөлшерімен және η кодтау мөлшерімен полиномдық уақытта есептеуге болады. Егер v салыстырмалы қатемен полиномдық есептелетін болса (REL деп аталатын алгоритм арқылы), онда ол абсолютті қатемен де полиномдық есептелетін болады. Дәлел. ε>0 қажетті абсолютті қателік болсын. Біріншіден, η=1/2 салыстырмалы қатесі бар REL-ді пайдаланыңыз; |v - r1| ≤ |v|/2, демек |v| ≤ 2|r1| болатын r1 рационалды санын табыңыз. Егер r1=0 болса, онда v=0 және есеп аяқталды. REL полиномдық болғандықтан, r1 кодтау ұзындығы кіріске қатысты полиномдық болады. Енді, салыстырмалы қатесі η=ε/(2|r1|) болатын REL-ді қайтадан іске қосыңыз. Бұл |v - r2| ≤ ε|v| / (2|r1|) ≤ ε теңдеуін қанағаттандыратын r2 рационалды санын береді, яғни ол қажетті ε абсолютті қателігіне ие.
We say that a real value v is polynomially computable with absolute error from an input if, for every rational number ε>0, it is possible to compute a rational number vapprox that approximates v with absolute error ε, in time polynomial in the size of the input and the encoding size of ε (which is O(log(1/ε)). Analogously, v is polynomially computable with relative error if, for every rational number η>0, it is possible to compute a rational number vapprox that approximates v with relative error η, in time polynomial in the size of the input and the encoding size of η. If v is polynomially computable with relative error (by some algorithm called REL), then it is also polynomially computable with absolute error. Proof. Let ε>0 be the desired absolute error. First, use REL with relative error η=1/2; find a rational number r1 such that |v r1| ≤ |v|/2, and hence |v| ≤ 2 |r1|. If r1=0, then v=0 and we are done. Since REL is polynomial, the encoding length of r1 is polynomial in the input. Now, run REL again with relative error η=ε/(2 |r1|). This yields a rational number r2 that satisfies |v r2| ≤ ε|v| / (2r1) ≤ ε, so it has absolute error ε as wished.
Жалпылау
Анықтамаларды жағдайды кеңейтуге болады, егер және - n өлшемді векторлар болса, абсолюттік шаманы n-нормаға алмастыру арқылы.
The definitions can be extended to the case when and are n dimensional vectors, by replacing the absolute value with an n norm.