Калаби-Яу манифольдтарының айналық симметриясы

Кіріспе

Физика мен геометрияда: Калаби–Яу түркілiгiнiң жұптары арасындағы болжамды қатынас. Алгебралық геометрия мен теориялық физикада айналы симметрия – Калаби–Яу түркілiгi деп аталатын геометриялық объектiлер арасындағы қатынас. Бұл термин екі Калаби–Яу көптүлігі геометриялық тұрғыдан өте әртүрлі көрінетін, бірақ, соған қарамастан, струн теориясының қосымша өлшемдері ретінде қолданылған кезде эквиваленттi екенін көрсетеді. Айналы симметрияның алғашқы жағдайларын физиктер ашты. Математиктер бұл қатынасқа 1990 жылы Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин және Линда Паркс оны геометриялық сұрақтардың шешімдерінің санын санауға қатысты математиканың санау геометриясы саласында құрал ретінде қолдануға болатынын көрсеткенде қызығушылық танытты. Канделас және оның әріптестері айналы симметрияны Калаби–Яу көптүлігінде рационалды қисықтарды санау үшін қолдануға болатынын көрсетті, осылайша ұзақ жылдар бойы шешілмей келген мәселені шешті. Айналы симметрияға бастапқы көзқарас математикалық тұрғыдан толыққанды түсінілмеген физикалық идеяларға негізделген болса да, оның кейбір математикалық болжамдары қатаң түрде дәлелденді. Бүгінгі таңда айналы симметрия таза математикадағы маңызды зерттеу тақырыбы болып табылады, және математиктер физиктердің интуициясына негізделген қатынасты математикалық тұрғыдан түсіну үшін жұмыс істеп жатыр. Айналы симметрия сонымен қатар струн теориясында есептеулер жасаудың негізгі құралы болып табылады, және ол кванттық өріс теориясының кейбір аспектілерін түсіну үшін қолданылды, бұл физиктер элементар бөлшектерді сипаттау үшін пайдаланатын формализм. Айналы симметрияға қатысты маңызды тәсілдерге Максим Концевичтің гомологиялық айналы симметрия бағдарламасы және Эндрю Стромингер, Шинг Тунг Яу және Эрик Заслоудың SYZ болжамы жатады.

Сызықтар мен тығыздастыру

Физикада, ісбағар теориясы – бұл теориялық негіз, онда бөлшектер физикасының нүкте тәрізді бөлшектері ісбағарлар деп аталатын бірөлшемді объектілермен алмастырылады. Бұл ісбағарлар қарапайым жіптің кішкентай кескіштері немесе иілген бөліктері сияқты көрінеді. Ісбағар теориясы ісбағарлардың кеңістікте қалай таралатынын және бір-бірімен қалай өзара әрекеттесетінін сипаттайды. Ісбағар масштабынан үлкен қашықтықтарда, ісбағардың массасы, заряды және басқа да қасиеттері оның тербеліс күйіне байланысты, ол қарапайым бөлшек сияқты көрінеді. Ісбағарлардың бөлінуі мен қайта бірігуі бөлшектердің шығарылуы мен жұтылуына сәйкес келеді, бұл бөлшектер арасындағы өзара әрекеттесуді тудырады. Ісбағар теориясы сипаттайтын әлем мен күнделікті өмір арасында ерекше айырмашылықтар бар. Күнделікті өмірде кеңістіктің үш таныс өлшемі бар (жоғары/төмен, сол/оң және алға/артқа), сондай-ақ уақыттың бір өлшемі бар (кейінірек/бұрын). Осылайша, қазіргі физика тілінде, кеңістік-уақыт төртөлшемді дейміз. Ісбағар теориясының ерекше ерекшеліктерінің бірі – математикалық тұрақтылығы үшін кеңістікте қосымша өлшемдерді қажет етуі. Суперсимметрия деп аталатын теориялық идеяны қамтитын суперісбағар теориясында, күнделікті тәжірибеден таныс төрт өлшемге қоса, кеңістікте алты қосымша өлшем бар. Ісбағар теориясындағы қазіргі зерттеулердің мақсаты – жоғары энергиялық физика эксперименттерінде байқалатын бөлшектерді көрсететін модельдерді жасау. Мұндай модельдің бақылаулармен сәйкес болуы үшін, оның кеңістігі тиісті қашықтықтарда төртөлшемді болуы керек, сондықтан қосымша өлшемдерді кіші масштабтармен шектеудің жолдарын іздеу қажет. Физиканың шындыққа негізделген модельдерінде бұл жиырылу деп аталатын процесте жүзеге асырылады, онда қосымша өлшемдер шеңберлер құру үшін өздеріне "жабылады" деп есептеледі. Бұл иілген өлшемдер өте кішкентай болған кезде, кеңістік-уақыттың төмен өлшемді теориясы пайда болады. Бұған стандартты аналогия ретінде бақша шланғысын қарастыруға болады. Егер шланға жеткілікті қашықтықтан қарасақ, оның тек бір өлшемі бар сияқты көрінеді: оның ұзындығы. Алайда, шланға жақындағанда, оның екінші өлшемі, яғни оның шеңбері бар екенін байқаймыз. Осылайша, шланның бетінде қозғалатын құмырсқа екі өлшемде қозғалады.

In physics, string theory is a theoretical framework in which the point like particles of particle physics are replaced by one dimensional objects called strings. These strings look like small segments or loops of ordinary string. String theory describes how strings propagate through space and interact with each other. On distance scales larger than the string scale, a string will look just like an ordinary particle, with its mass, charge, and other properties determined by the vibrational state of the string. Splitting and recombination of strings correspond to particle emission and absorption, giving rise to the interactions between particles. There are notable differences between the world described by string theory and the everyday world. In everyday life, there are three familiar dimensions of space (up/down, left/right, and forward/backward), and there is one dimension of time (later/earlier). Thus, in the language of modern physics, one says that spacetime is four dimensional. One of the peculiar features of string theory is that it requires extra dimensions of spacetime for its mathematical consistency. In superstring theory, the version of the theory that incorporates a theoretical idea called supersymmetry, there are six extra dimensions of spacetime in addition to the four that are familiar from everyday experience. One of the goals of current research in string theory is to develop models in which the strings represent particles observed in high energy physics experiments. For such a model to be consistent with observations, its spacetime must be four dimensional at the relevant distance scales, so one must look for ways to restrict the extra dimensions to smaller scales. In most realistic models of physics based on string theory, this is accomplished by a process called compactification, in which the extra dimensions are assumed to "close up" on themselves to form circles. In the limit where these curled up dimensions become very small, one obtains a theory in which spacetime has effectively a lower number of dimensions. A standard analogy for this is to consider a multidimensional object such as a garden hose. If the hose is viewed from a sufficient distance, it appears to have only one dimension, its length. However, as one approaches the hose, one discovers that it contains a second dimension, its circumference. Thus, an ant crawling on the surface of the hose would move in two dimensions.

CalabiYau коллекторлары

Компактификация кеңістік-уақытты тиімді түрде төрт өлшемді модельдер құру үшін қолданылуы мүмкін. Дегенмен, қосымша өлшемдерді компактификациялаудың барлық әдістері табиғатты сипаттауға қажетті қасиеттері бар модельді тудырмайды. Бөлшектер физикасының жарамды моделінде, компактификацияланған қосымша өлшемдер Калаби-Яу коллекторы сияқты болуы керек. Калаби-Яу коллекторлары физикаға қосымша өлшемдерді компактификациялау тәсілі ретінде енгеннен кейін, көптеген физиктер осы коллекторларды зерттеуге кірісті. 1980 жылдардың соңында Ланс Диксон, Вольфганг Лерше, Кумрун Вафа және Ник Уорнер, мұндай жолмен жол теориясын компактификациялау кезінде, сәйкес Калаби-Яу коллекторын бірегей түрде қайта құру мүмкін емес екенін анықтады. Керісінше, IIA және IIB типтері деп аталатын екі түрлі жол теориясын, бірдей физикалық нәтижелерге әкелетін мүлдем әртүрлі Калаби-Яу коллекторларында компактификациялауға болады. Мұндай жағдайда коллекторлар айна коллекторлары деп аталады, ал екі физикалық теория арасындағы қатынас айна симметриясы деп аталады. Айна симметриясы қатынасы – физиктер физикалық дуалдық деп атауының нақты мысалы. Жалпы алғанда, физикалық дуалдық термині екі көріне әртүрлі физикалық теорияның күтпеген тәсілмен эквивалентті болып шығатын жағдайды білдіреді. Егер бір теорияны екіншісіне ұқсас етіп түрлендіруге болады, онда олар осы түрлендіру кезінде дуалды деп есептеледі. Басқаша айтқанда, екі теория бір құбылыстың математикалық түрде әртүрлі сипаттамалары болып табылады. Мұндай дуалдықтар қазіргі физикада, әсіресе жол теориясында маңызды рөл атқарады. Жол теориясының Калаби-Яу компактификациясы табиғатты дұрыс сипаттай ма, жоқ па, екі жол теориясы арасындағы айна дуалдығының болуы маңызды математикалық салдарларға ие. Жол теориясында қолданылатын Калаби-Яу коллекторлары таза математикада қызығушылық тудырады, ал айна симметриясы математиктерге геометриялық сұрақтарға берілген жауаптардың санын санаумен айналысатын алгебралық геометрияның санау саласындағы мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Санау геометриясының классикалық мәселі – жоғарыда суреттелгендей Калаби-Яу коллекторындағы рационалды қисықтардың санын санау. Айна симметриясын қолдану арқылы математиктер бұл мәселені айна Калаби-Яу үшін эквивалентті мәселеге ауыстырды, оны шешу оңайырақ болып шықты. Физикада айна симметриясы физикалық негіздемелермен негізделген. Дегенмен, математиктер әдетте физикалық интуицияға жүгінуді қажет етпейтін қатаң дәлелдерді талап етеді. Математикалық тұрғыдан алғанда, жоғарыда сипатталған айна симметриясының нұсқасы әлі де болжам болып табылады, бірақ Эдвард Виттен енгізген жол теориясының жеңілдетілген нұсқасы – топологиялық жол теориясы аясында айна симметриясының тағы бір нұсқасы математиктермен қатаң түрде дәлелденді. Топологиялық жол теориясы аясында айна симметриясы А және В модельдері деп аталатын екі теорияның эквивалентті екенін, олардың арасында дуалдық байланыс бар екенін көрсетеді. Бүгінде айна симметриясы математикадағы белсенді зерттеу саласы болып табылады, ал математиктер физиктердің интуициясына негізделген айна симметриясының толық математикалық түсінігін дамытуға жұмыс істеп жатыр.

Compactification can be used to construct models in which spacetime is effectively four dimensional. However, not every way of compactifying the extra dimensions produces a model with the right properties to describe nature. In a viable model of particle physics, the compact extra dimensions must be shaped like a Calabi–Yau manifold. After Calabi–Yau manifolds had entered physics as a way to compactify extra dimensions, many physicists began studying these manifolds. In the late 1980s, Lance Dixon, Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa, and Nick Warner noticed that given such a compactification of string theory, it is not possible to reconstruct uniquely a corresponding Calabi–Yau manifold. Instead, two different versions of string theory called type IIA string theory and type IIB can be compactified on completely different Calabi–Yau manifolds giving rise to the same physics. In this situation, the manifolds are called mirror manifolds, and the relationship between the two physical theories is called mirror symmetry. The mirror symmetry relationship is a particular example of what physicists call a physical duality. In general, the term physical duality refers to a situation where two seemingly different physical theories turn out to be equivalent in a nontrivial way. If one theory can be transformed so it looks just like another theory, the two are said to be dual under that transformation. Put differently, the two theories are mathematically different descriptions of the same phenomena. Such dualities play an important role in modern physics, especially in string theory. Regardless of whether Calabi–Yau compactifications of string theory provide a correct description of nature, the existence of the mirror duality between different string theories has significant mathematical consequences. The Calabi–Yau manifolds used in string theory are of interest in pure mathematics, and mirror symmetry allows mathematicians to solve problems in enumerative algebraic geometry, a branch of mathematics concerned with counting the numbers of solutions to geometric questions. A classical problem of enumerative geometry is to enumerate the rational curves on a Calabi–Yau manifold such as the one illustrated above. By applying mirror symmetry, mathematicians have translated this problem into an equivalent problem for the mirror Calabi–Yau, which turns out to be easier to solve. In physics, mirror symmetry is justified on physical grounds. However, mathematicians generally require rigorous proofs that do not require an appeal to physical intuition. From a mathematical point of view, the version of mirror symmetry described above is still only a conjecture, but there is another version of mirror symmetry in the context of topological string theory, a simplified version of string theory introduced by Edward Witten, which has been rigorously proven by mathematicians. In the context of topological string theory, mirror symmetry states that two theories called the A model and B model are equivalent in the sense that there is a duality relating them. Today mirror symmetry is an active area of research in mathematics, and mathematicians are working to develop a more complete mathematical understanding of mirror symmetry based on physicists' intuition.

Тарих

Айналы симметрия идеясы 1980-ші жылдардың ортасына дейін, радиусы шеңберде таралатын жіптің, тиісті бірліктерде радиусы басқа шеңберде таралатын жіпке физикалық жағынан эквивалентті екендігі байқалды. Бұл құбылыс қазір T-дуализм деп аталады және айналы симметриямен тығыз байланысты деп түсініледі. 1985 жылғы мақалада Филип Канделас, Гэри Хоровиц, Эндрю Стромингер және Эдвард Виттен, Калаби-Яу көптүрлілігінде сап теориясын тығыздау арқылы, бөлшектер физикасының стандартты моделіне ұқсас теория алатынын көрсетті, ол сонымен қатар суперсимметрия деп аталатын идеяны тұрақты түрде қамтиды. Осы дамудан кейін көптеген физиктер Калаби-Яу тығыздалуын зерттей бастады, сым теориясына негізделген бөлшектер физикасының нақты модельдерін құрастыруға үміттенеді. Cumrun Vafa және басқалар мұндай физикалық модельді ескере отырып, сәйкес Калаби-Яу көптүрлілігін бірегей түрде қайта құру мүмкін емес екенін байқады. Оның орнына, бірдей физиканы тудыратын екі Калаби-Яу көптүрлілігі бар. Калаби-Яу көптүрлілігі мен Гепнер модельдері деп аталатын белгілі бір конформдық өріс теориялары арасындағы байланысты зерттей отырып, Брайан Грин мен Ронен Плесер айналы қатынастың маңызды мысалдарын тапты. Бұл қатынастың қосымша дәлелі Филип Канделас, Моника Линкер және Рольф Шиммригктің жұмысынан алынған. Олар көптеген Калаби-Яу коллекторларын компьютер арқылы зерттеп, олардың айналы жұптар болып келетінін анықтады. 1990 жылы физиктер Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин және Линда Паркс айналы симметрияны ондаған жылдар бойы немесе одан да көп уақыт бойы шешімін таба алмаған геометриядағы мәселелерді шешу үшін қолдануға болатынын көрсеткенде, математиктер айналы симметрияға қызығушылық танытты. Бұл нәтижелер математиктерге 1991 жылы мамыр айында Берклидегі Математикалық ғылымдар зерттеу институтында (MSRI) өткен конференцияда ұсынылды. Конференция барысында Канделастың рационалды қисықтарды санау үшін есептеген сандарының бірі, Норвегиялық математиктер Гейр Эллингсруд пен Стейн Арилд Стромменің айқын түрде қатаң әдістерді пайдаланып алған санына сәйкес келмейтіндігі байқалды. Конференцияда көптеген математиктер Канделастың еңбегінде қателік бар деп ойлады, өйткені ол қатаң математикалық аргументтерге негізделмеген. Алайда, олардың шешімін тексергеннен кейін, Эллингсруд пен Стрём компьютерлік кодтағы қателікті анықтады және кодты түзегеннен кейін, Канделас пен оның әріптестерімен келісетін жауап алды. 1990 жылы Эдвард Виттен топологиялық сап теориясын енгізді. Топологиялық сап теориясы туралы бұл мәлімдеме математикалық әдебиетте айналы симметрияның анықтамасы ретінде қабылданады. 1994 жылы Халықаралық математиктер конгресінде сөйлеген сөзінде математик Максим Концевич топологиялық сап теориясындағы айналы симметрияның физикалық идеясына негізделген жаңа математикалық болжам ұсынды. Гомологиялық айналы симметриясы деп аталатын бұл болжам айналы симметрияны екі математикалық құрылымның теңдігі ретінде ресмилендіреді: Калаби-Яу көптүрлілігіндегі когерентті қаптардың туынды санаты және оның айнасының Фукая санаты. Сондай-ақ 1995 жылы Концевич Канделастың нәтижелерін талдады, ол квинтикалық үштікке рационалды қисықтарды санау мәселесіне жалпы формула берді және ол осы нәтижелерді нақты математикалық болжам ретінде қайта тұжырымдады. 1996 жылы Александр Гивентал Концевичтің бұл болжамын дәлелдейтінін мәлімдеген мақала жариялады. Бастапқыда көптеген математиктер бұл мақаланы түсіну қиын деп тапты, сондықтан оның дұрыстығына күмән болды. Кейіннен Бонг Лиан, Кефенг Лю және Шинг Тунг Яу бірқатар мақалаларда тәуелсіз дәлелдеме жариялады. Бірінші дәлелді кім жариялағаны туралы дау-дамайлар болғанымен, бұл мақалалар қазір физиктердің айналы симметрияны пайдалану арқылы бастапқыда алынған нәтижелердің математикалық дәлелін ұсыну ретінде қарастырылады. 2000 жылы Кентаро Хори мен Камрун Вафа T-дуализмге негізделген айналы симметрияның тағы бір физикалық дәлелін ұсынды. Сонымен қатар, негізгі сұрақтар әлі де шешілмей отыр. Мысалы, математиктер әлі күнге дейін айналы Калаби-Яу жұптарының үлгілерін қалай құрастыруға болатынын түсінбейді, бірақ бұл мәселені түсінуде алға жылжу бар.

The idea of mirror symmetry can be traced back to the mid 1980s when it was noticed that a string propagating on a circle of radius is physically equivalent to a string propagating on a circle of radius in appropriate units. This phenomenon is now known as T duality and is understood to be closely related to mirror symmetry. In a paper from 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, and Edward Witten showed that by compactifying string theory on a Calabi–Yau manifold, one obtains a theory roughly similar to the standard model of particle physics that also consistently incorporates an idea called supersymmetry. Following this development, many physicists began studying Calabi–Yau compactifications, hoping to construct realistic models of particle physics based on string theory. Cumrun Vafa and others noticed that given such a physical model, it is not possible to reconstruct uniquely a corresponding Calabi–Yau manifold. Instead, there are two Calabi–Yau manifolds that give rise to the same physics. By studying the relationship between Calabi–Yau manifolds and certain conformal field theories called Gepner models, Brian Greene and Ronen Plesser found nontrivial examples of the mirror relationship. Further evidence for this relationship came from the work of Philip Candelas, Monika Lynker, and Rolf Schimmrigk, who surveyed a large number of Calabi–Yau manifolds by computer and found that they came in mirror pairs. Mathematicians became interested in mirror symmetry around 1990 when physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parkes showed that mirror symmetry could be used to solve problems in enumerative geometry that had resisted solution for decades or more. These results were presented to mathematicians at a conference at the Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) in Berkeley, California in May 1991. During this conference, it was noticed that one of the numbers Candelas had computed for the counting of rational curves disagreed with the number obtained by Norwegian mathematicians Geir Ellingsrud and Stein Arild Strømme using ostensibly more rigorous techniques. Many mathematicians at the conference assumed that Candelas's work contained a mistake since it was not based on rigorous mathematical arguments. However, after examining their solution, Ellingsrud and Strømme discovered an error in their computer code and, upon fixing the code, they got an answer that agreed with the one obtained by Candelas and his collaborators. In 1990, Edward Witten introduced topological string theory, This statement about topological string theory is usually taken as the definition of mirror symmetry in the mathematical literature. In an address at the International Congress of Mathematicians in 1994, mathematician Maxim Kontsevich presented a new mathematical conjecture based on the physical idea of mirror symmetry in topological string theory. Known as homological mirror symmetry, this conjecture formalizes mirror symmetry as an equivalence of two mathematical structures: the derived category of coherent sheaves on a Calabi–Yau manifold and the Fukaya category of its mirror. Also around 1995, Kontsevich analyzed the results of Candelas, which gave a general formula for the problem of counting rational curves on a quintic threefold, and he reformulated these results as a precise mathematical conjecture. In 1996, Alexander Givental posted a paper that claimed to prove this conjecture of Kontsevich. Initially, many mathematicians found this paper hard to understand, so there were doubts about its correctness. Subsequently, Bong Lian, Kefeng Liu, and Shing Tung Yau published an independent proof in a series of papers. Despite controversy over who had published the first proof, these papers are now collectively seen as providing a mathematical proof of the results originally obtained by physicists using mirror symmetry. In 2000, Kentaro Hori and Cumrun Vafa gave another physical proof of mirror symmetry based on T duality. At the same time, basic questions continue to vex. For example, mathematicians still lack an understanding of how to construct examples of mirror Calabi–Yau pairs though there has been progress in understanding this issue.

Санақ геометриясы

Айналы симметрияның көптеген маңызды математикалық қолданбалары математиканың санама геометриясы деп аталатын саласына жатады. Санама геометриясында геометриялық сұрақтардың шешімдерінің санын есептеуге қызығушылық танытылады, әдетте алгебралық геометрияның әдістерін қолданады. Санама геометриясының ең алғашқы мәселелерінің бірі ежелгі грек математигі Аполлонийдің б.з.д. 200 жылы қойған мәселесі болды. Ол жазықтықтағы үш шеңберге қанша шеңбердің жанасатын екенін сұрады. Жалпы, Аполлоний мәселесінің шешімі сегіз осындай шеңбердің болуында. Математикадағы санаулық мәселелер көбінесе алгебралық сорттар деп аталатын геометриялық нысандар класына қатысты, олар полиномиалдардың мәнін жоғалтуымен анықталады. Мысалы, Клебш кубигі (суретті қараңыз) төрт айнымалыда үшінші дәрежелі белгілі бір полиномиалды пайдалана отырып анықталады. XIX ғасырдағы математиктер Артур Кейли мен Джордж Салмонның белгілі бір нәтижесі бойынша, мұндай бетке толықтай орналасқан 27 түзу сызық бар. Бұл мәселені жалпылағанда, жоғарыда көрсетілген бесінші дәрежелі полиномиалмен анықталатын, мысалы, бесінші Calabi–Yau көптікке қанша сызық салуға болатынын сұрауға болады. Бұл мәселені XIX ғасырдағы неміс математигі Герман Шуберт шешті, ол дәл осындай 2875 сызық бар екенін анықтады. 1986 жылы геометр Шелдон Кац екінші дәрежелі көпмүшелермен анықталатын және толығымен квинтикте жатқан шеңберлер сияқты қисықтардың саны 609 250 екенін дәлелдеді. Бұл сала 1991 жылы мамыр айында физиктер Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин және Линда Паркс айна симметриясы квинтикалық Calabi–Yau-дағы үшінші дәрежелі қисықтардың санын санауға пайдаланылатынын көрсеткенде жанданды. Канделас және оның әріптестері осы алты өлшемді Calabi–Yau көптіктеріне дәл 317,206,375 үшінші дәрежелі қисықтар кіре алатынын анықтады. Бұл жұмыста қолданылатын әдістер физикалық интуицияға негізделгенімен, математиктер айна симметриясының кейбір болжамдарын қатаң түрде дәлелдеді. Атап айтқанда, айна симметриясының санамалық болжамдары қазір қатаң түрде дәлелденді. Айна симметрияны қолдану арқылы теоретиктер А моделіндегі қиын есептеулерді Б моделіндегі эквивалентті, бірақ техникалық жағынан оңайырақ есептеулерге аудара алады. Бұл есептеулер содан кейін әртүрлі физикалық процестердің ықтималдығын анықтау үшін қолданылады. Айна симметрияны басқа да дуалдықтармен біріктіріп, бір теориядағы есептеулерді басқа теориядағы эквивалентті есептеулерге аудару үшін қолдануға болады. Есептеулерді әр түрлі теорияларға аутсорсинг арқылы теоретиктер дуалдықтарды қолданбай есептеуге болмайтын шамаларды есептей алады. Сызық теориясынан тыс, айна симметриясы кванттық өріс теориясының аспектілерін түсіну үшін қолданылады, физиктер элементар бөлшектерді сипаттау үшін қолданатын формализм. Мысалы, өлшегіш теориялары - бөлшектер физикасының стандартты моделі мен теориялық физиканың басқа бөліктерінде пайда болатын жоғары симметриялық физикалық теориялар класы. Стандартты модельдің құрамына кірмейтін, бірақ теориялық себептер бойынша маңызды кейбір өлшегіш теориялар бір ғана фонға таралған тізбектерден туындайды. Мұндай теориялар үшін айна симметриясы пайдалы есептеу құралы болып табылады. Шын мәнінде, айна симметриясы Нейтан Зайберг пен Эдвард Виттен зерттеген төрт кеңістіктегі маңызды өлшегіш теориясында есептеулер жүргізу үшін пайдаланылуы мүмкін және ол Дональдсон инварианттары аясында математикада танымал. Сондай-ақ, айна симметриясының жалпылануы бар, ол 3D айна симметриясы деп аталады, ол кванттық өріс теориясының жұптарын үш кеңістіктік-уақыт өлшемде байланыстырады.

Many of the important mathematical applications of mirror symmetry belong to the branch of mathematics called enumerative geometry. In enumerative geometry, one is interested in counting the number of solutions to geometric questions, typically using the techniques of algebraic geometry. One of the earliest problems of enumerative geometry was posed around the year 200 BCE by the ancient Greek mathematician Apollonius, who asked how many circles in the plane are tangent to three given circles. In general, the solution to the problem of Apollonius is that there are eight such circles. Enumerative problems in mathematics often concern a class of geometric objects called algebraic varieties which are defined by the vanishing of polynomials. For example, the Clebsch cubic (see the illustration) is defined using a certain polynomial of degree three in four variables. A celebrated result of nineteenth century mathematicians Arthur Cayley and George Salmon states that there are exactly 27 straight lines that lie entirely on such a surface. Generalizing this problem, one can ask how many lines can be drawn on a quintic Calabi–Yau manifold, such as the one illustrated above, which is defined by a polynomial of degree five. This problem was solved by the nineteenth century German mathematician Hermann Schubert, who found that there are exactly 2,875 such lines. In 1986, geometer Sheldon Katz proved that the number of curves, such as circles, that are defined by polynomials of degree two and lie entirely in the quintic is 609,250. The field was reinvigorated in May 1991 when physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parkes showed that mirror symmetry could be used to count the number of degree three curves on a quintic Calabi–Yau. Candelas and his collaborators found that these six dimensional Calabi–Yau manifolds can contain exactly 317,206,375 curves of degree three. Although the methods used in this work were based on physical intuition, mathematicians have gone on to prove rigorously some of the predictions of mirror symmetry. In particular, the enumerative predictions of mirror symmetry have now been rigorously proven. By applying mirror symmetry, theorists can translate difficult calculations in the A model into equivalent but technically easier calculations in the B model. These calculations are then used to determine the probabilities of various physical processes in string theory. Mirror symmetry can be combined with other dualities to translate calculations in one theory into equivalent calculations in a different theory. By outsourcing calculations to different theories in this way, theorists can calculate quantities that are impossible to calculate without the use of dualities. Outside of string theory, mirror symmetry is used to understand aspects of quantum field theory, the formalism that physicists use to describe elementary particles. For example, gauge theories are a class of highly symmetric physical theories appearing in the standard model of particle physics and other parts of theoretical physics. Some gauge theories which are not part of the standard model, but which are nevertheless important for theoretical reasons, arise from strings propagating on a nearly singular background. For such theories, mirror symmetry is a useful computational tool. Indeed, mirror symmetry can be used to perform calculations in an important gauge theory in four spacetime dimensions that was studied by Nathan Seiberg and Edward Witten and is also familiar in mathematics in the context of Donaldson invariants. There is also a generalization of mirror symmetry called 3D mirror symmetry which relates pairs of quantum field theories in three spacetime dimensions.

Гомологиялық айна симметриясы

Сызық теориясында және физикадағы байланысты теорияларда бран – нүктелік бөлшектің ұғымын жоғары өлшемдерге жалпылайтын физикалық объект. Мысалы, нүктелік бөлшекті нөлдік өлшемді бран ретінде қарастыруға болады, ал жіпті бір өлшемді бран ретінде қарастыруға болады. Сонымен қатар, жоғары өлшемді бранды қарастыруға болады. "Бран" сөзі екі өлшемді бранды білдіретін "мембрана" сөзінен шыққан. Сызық теориясында жіп ашық (екі ұшы бар кесінді) немесе жабық (жабық цикл) болуы мүмкін. D-бран – ашық жіптерді қарастырғанда пайда болатын маңызды бран класы. Ашық жіп кеңістікте тарағанда, оның ұштары D-бранда орналасуы керек. D-бранның "D" әрпі оның қанағаттандыратын шартты, Дирихле шекаралық шартты білдіреді. Математикалық тұрғыдан алғанда, бранды категория түсінігі арқылы сипаттауға болады. Бұл нысандардан және кез келген екі нысан жұбы үшін олардың арасындағы морфизмдер жиынтығынан тұратын математикалық құрылым. Көптеген мысалдарда нысандар математикалық құрылымдар (мысалы, жиынтықтар, векторлық кеңістіктер немесе топологиялық кеңістіктер) болып табылады, ал морфизмдер – осы құрылымдар арасындағы функциялар. Сондай-ақ, нысандары D-брандар және екі бран арасындағы морфизмдер олардың арасында созылған ашық жіптердің күйлері болатын категорияларды қарастыруға болады. Топологиялық жіп теориясының B моделінде D-брандар – Калаби-Яу кеңістігінің күрделі субманолифтері, сонымен қатар жіптердің ұштарындағы зарядтардың болуынан туындайтын қосымша деректермен бірге. A моделінде D-брандарды қайтадан Калаби-Яу кеңістігінің субманолифтері ретінде қарастыруға болады. Шамамен айтқанда, олар математиктердің арнайы Лагранж субманолифтері деп атаған нәрселер. Осы брандарды нысандар ретінде қамтитын категория Фукая категориясы деп аталады. Фукая категориясы классикалық физиканы зерттеуден туындаған математика саласы – симплектикалық геометрияны пайдалана отырып құрастырылады. Симплектикалық геометрия симплектикалық формамен жабдықталған кеңістіктерді зерттейді, бұл екі өлшемді мысалдарда ауданды есептеуге қолданылатын математикалық құрал. Бұл теңдік топологиялық жіп теориясындағы айналы симметрияның нақты математикалық формулировкасын береді. Бұдан өзге, ол геометрияның екі саласы – күрделі және симплектикалық геометрия арасында күтпеген байланыс құрады.

In string theory and related theories in physics, a brane is a physical object that generalizes the notion of a point particle to higher dimensions. For example, a point particle can be viewed as a brane of dimension zero, while a string can be viewed as a brane of dimension one. It is also possible to consider higher dimensional branes. The word brane comes from the word "membrane" which refers to a two dimensional brane. In string theory, a string may be open (forming a segment with two endpoints) or closed (forming a closed loop). D branes are an important class of branes that arise when one considers open strings. As an open string propagates through spacetime, its endpoints are required to lie on a D brane. The letter "D" in D brane refers to a condition that it satisfies, the Dirichlet boundary condition. Mathematically, branes can be described using the notion of a category. This is a mathematical structure consisting of objects, and for any pair of objects, a set of morphisms between them. In most examples, the objects are mathematical structures (such as sets, vector spaces, or topological spaces) and the morphisms are functions between these structures. One can also consider categories where the objects are D branes and the morphisms between two branes and are states of open strings stretched between and
In the B model of topological string theory, the D branes are complex submanifolds of a Calabi–Yau together with additional data that arise physically from having charges at the endpoints of strings. In the A model, the D branes can again be viewed as submanifolds of a Calabi–Yau manifold. Roughly speaking, they are what mathematicians call special Lagrangian submanifolds. The category having these branes as its objects is called the Fukaya category. On the other hand, the Fukaya category is constructed using symplectic geometry, a branch of mathematics that arose from studies of classical physics. Symplectic geometry studies spaces equipped with a symplectic form, a mathematical tool that can be used to compute area in two dimensional examples. This equivalence provides a precise mathematical formulation of mirror symmetry in topological string theory. In addition, it provides an unexpected bridge between two branches of geometry, namely complex and symplectic geometry.

Стромингердің Яу Заслоу жорамал

Айналы симметрияны түсінудің тағы бір тәсілін 1996 жылы Эндрю Стромингер, Шинг Тунг Яу және Эрик Заслоу ұсынды. Калаби–Яу көпқырлылығының ең қарапайым мысалы – екі өлшемді тор немесе пончик пішіні. Осы беттегі тесіктен бір рет өтетін шеңберді қарастырайық. Мысал ретінде суреттегі қызыл шеңберді алайық. Торда осындай шеңберлер шексіз көп; шын мәнінде, бүкіл бет – мұндай шеңберлердің жиынтығы. Торды бөлетін шексіз көп шеңберлердің әрқайсысы осы қосымша шеңберден (суреттегі қызғылт шеңбер) өтетіндей етіп, қосымша шеңберді таңдауға болады. Бұл қосымша шеңбер бөлу шеңберлерін параметризациялайды, яғни олардың арасында сәйкестік бар. Алайда, бұл қосымша кеңістік тек тізім емес, ол сонымен қатар осы шеңберлердің торда қалай орналасқанын анықтайды. Бұл қосымша кеңістік SYZ болжамында маңызды рөл атқарады. Калаби–Яу көпқырлылығын қарапайым бөліктерге бөлгеннен кейін, айналы симметрияны интуитивті геометриялық тұрғыдан түсінуге болады. Мысалы, жоғарыда сипатталған торды қарастырайық. Осы торды физикалық теорияның «кеңістік-уақыты» деп елестетейік. Бұл теорияның негізгі объектілері – кванттық механика ережелеріне сәйкес кеңістікте таралатын жіптер болады. Жіптік теорияның негізгі дуалдықтарының бірі – T-дуалдығы, ол радиусы бар шеңбер бойымен таралатын жіп, радиусы бар шеңбер бойымен таралатын жіпке тең дейді, яғни бір сипаттамадағы барлық байқалатын шамалар дуалды сипаттамадағы шамалармен сәйкестендіріледі. Мысалы, жіп шеңбер бойымен таралатын кезде импульсқа ие болады және бір немесе бірнеше рет оралуы мүмкін. Жіптің шеңберді орап өту саны – оралу саны деп аталады. Егер жіптің бір сипаттамасында импульсы және оралу саны болса, онда ол дуалды сипаттамада импульсы және оралу санына ие болады. T-дуалдығын шеңберлерден K3 бетінің ыдырауында пайда болатын екі өлшемді торларға немесе алты өлшемді Калаби–Яу көпқырлылығының ыдырауында пайда болатын үш өлшемді торларға дейін кеңейтуге болады. Жалпы, SYZ болжамы айналы симметрия осы торларға T-дуалдығын бір мезгілде қолданумен тең дейді. Әр жағдайда кеңістік осы торлардың Калаби–Яу көпқырлылығына қалай жиналатынын сипаттайтын жоба болып табылады.

Another approach to understanding mirror symmetry was suggested by Andrew Strominger, Shing Tung Yau, and Eric Zaslow in 1996. The simplest example of a Calabi–Yau manifold is a two dimensional torus or donut shape. Consider a circle on this surface that goes once through the hole of the donut. An example is the red circle in the figure. There are infinitely many circles like it on a torus; in fact, the entire surface is a union of such circles. One can choose an auxiliary circle (the pink circle in the figure) such that each of the infinitely many circles decomposing the torus passes through a point of This auxiliary circle is said to parametrize the circles of the decomposition, meaning there is a correspondence between them and points of The circle is more than just a list, however, because it also determines how these circles are arranged on the torus. This auxiliary space plays an important role in the SYZ conjecture. Once the Calabi–Yau manifold has been decomposed into simpler parts, mirror symmetry can be understood in an intuitive geometric way. As an example, consider the torus described above. Imagine that this torus represents the "spacetime" for a physical theory. The fundamental objects of this theory will be strings propagating through the spacetime according to the rules of quantum mechanics. One of the basic dualities of string theory is T duality, which states that a string propagating around a circle of radius is equivalent to a string propagating around a circle of radius in the sense that all observable quantities in one description are identified with quantities in the dual description. For example, a string has momentum as it propagates around a circle, and it can also wind around the circle one or more times. The number of times the string winds around a circle is called the winding number. If a string has momentum and winding number in one description, it will have momentum and winding number in the dual description. T duality can be extended from circles to the two dimensional tori appearing in the decomposition of a K3 surface or to the three dimensional tori appearing in the decomposition of a six dimensional Calabi–Yau manifold. In general, the SYZ conjecture states that mirror symmetry is equivalent to the simultaneous application of T duality to these tori. In each case, the space provides a kind of blueprint that describes how these tori are assembled into a Calabi–Yau manifold.