Зеркальная симметрия: связь между многообразиями Калаби-Яу в физике и геометрии

Введение

В физике и геометрии: предполагаемая связь между парами многообразий Калаби–Яу.

В алгебраической геометрии и теоретической физике зеркальная симметрия – это соотношение между геометрическими объектами, называемыми многообразиями Калаби–Яу. Этот термин относится к ситуации, когда два многообразия Калаби–Яу выглядят геометрически очень разными, но тем не менее оказываются эквивалентными при использовании в качестве дополнительных измерений в теории струн. Первые случаи зеркальной симметрии были обнаружены физиками. Математики проявили интерес к этому соотношению около 1990 года, когда Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что его можно использовать как инструмент в энумеративной геометрии – области математики, занимающейся подсчетом числа решений геометрических задач. Канделас и его коллеги продемонстрировали, что зеркальная симметрия может быть использована для подсчета рациональных кривых на многообразии Калаби–Яу, тем самым решив давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии основывался на физических идеях, которые не были сформулированы математически строго, некоторые из её математических предсказаний впоследствии были доказаны. Сегодня зеркальная симметрия является важной темой исследований в чистой математике, и математики работают над разработкой математического понимания этого соотношения, опираясь на интуицию физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн и используется для понимания аспектов квантовой теории поля – формализма, применяемого физиками для описания элементарных частиц. К основным подходам к зеркальной симметрии относятся гомологическая программа зеркальной симметрии Максима Концевича и гипотеза SYZ Эндрю Стромингера, Шин Тун Яу и Эрика Заслоу.

Струнные и компактификационные

В физике теория струн – это теоретическая основа, в которой точечные частицы физики частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струнами. Эти струны выглядят как небольшие сегменты или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На расстояниях, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, с массой, зарядом и другими свойствами, определяемыми состоянием её колебаний. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, что и обуславливает взаимодействия между ними. Существуют заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и привычным нам миром. В повседневной жизни мы воспринимаем три пространственных измерения (вверх/вниз, влево/вправо и вперед/назад) и одно временное измерение (раньше/позже). Таким образом, на языке современной физики, говорят, что пространство-время четырехмерно. Одной из особенностей теории струн является то, что для её математической непротиворечивости требуются дополнительные измерения пространства-времени. В теории суперструн, варианте теории, включающем теоретическую концепцию, называемую суперсимметрией, существует шесть дополнительных пространственных измерений в дополнение к четырем, знакомым из повседневного опыта. Одной из целей современных исследований в области теории струн является разработка моделей, в которых струны представляют собой частицы, наблюдаемые в экспериментах по физике высоких энергий. Для соответствия наблюдениям, пространство-время такой модели должно быть четырехмерным на соответствующих масштабах расстояний, поэтому необходимо искать способы ограничения дополнительных измерений до меньших масштабов. В большинстве реалистичных физических моделей, основанных на теории струн, это достигается посредством процесса, называемого компактификацией, в котором предполагается, что дополнительные измерения "сворачиваются" в окружности. В пределе, когда эти свернутые измерения становятся очень малыми, получается теория, в которой пространство-время эффективно имеет меньшее число измерений. Классическая аналогия для этого – рассмотреть многомерный объект, например, садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, он кажется одномерным – его длиной. Однако, приближаясь к шлангу, можно обнаружить, что он имеет и второе измерение – окружность. Таким образом, муравей, ползущий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.

In physics, string theory is a theoretical framework in which the point like particles of particle physics are replaced by one dimensional objects called strings. These strings look like small segments or loops of ordinary string. String theory describes how strings propagate through space and interact with each other. On distance scales larger than the string scale, a string will look just like an ordinary particle, with its mass, charge, and other properties determined by the vibrational state of the string. Splitting and recombination of strings correspond to particle emission and absorption, giving rise to the interactions between particles. There are notable differences between the world described by string theory and the everyday world. In everyday life, there are three familiar dimensions of space (up/down, left/right, and forward/backward), and there is one dimension of time (later/earlier). Thus, in the language of modern physics, one says that spacetime is four dimensional. One of the peculiar features of string theory is that it requires extra dimensions of spacetime for its mathematical consistency. In superstring theory, the version of the theory that incorporates a theoretical idea called supersymmetry, there are six extra dimensions of spacetime in addition to the four that are familiar from everyday experience. One of the goals of current research in string theory is to develop models in which the strings represent particles observed in high energy physics experiments. For such a model to be consistent with observations, its spacetime must be four dimensional at the relevant distance scales, so one must look for ways to restrict the extra dimensions to smaller scales. In most realistic models of physics based on string theory, this is accomplished by a process called compactification, in which the extra dimensions are assumed to "close up" on themselves to form circles. In the limit where these curled up dimensions become very small, one obtains a theory in which spacetime has effectively a lower number of dimensions. A standard analogy for this is to consider a multidimensional object such as a garden hose. If the hose is viewed from a sufficient distance, it appears to have only one dimension, its length. However, as one approaches the hose, one discovers that it contains a second dimension, its circumference. Thus, an ant crawling on the surface of the hose would move in two dimensions.

Коллекторы CalabiYau

Компактификация может быть использована для построения моделей, в которых пространство-время эффективно четырехмерно. Однако не каждый способ компактификации дополнительных измерений приводит к модели с подходящими свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби-Яу. После того как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали их изучать. В конце 1980-х годов Лэнс Диксон, Вольфганг Лерхе, Камрун Вафа и Ник Уорнер заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби-Яу. Вместо этого две различные версии теории струн, называемые теорией струн типа IIA и типа IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби-Яу, приводя к одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными, а связь между двумя физическими теориями – зеркальной симметрией. Зеркальная симметрия является конкретным примером того, что физики называют физической двойственностью. В общем случае, термин физическая двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, различные физические теории оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если одну теорию можно преобразовать так, чтобы она выглядела как другая, то эти две теории называются двойственными относительно этого преобразования. Иными словами, две теории представляют собой математически различные описания одного и того же явления. Такие двойственности играют важную роль в современной физике, особенно в теории струн. Независимо от того, дают ли компактификации Калаби-Яу теории струн корректное описание природы, существование зеркальной двойственности между различными теориями струн имеет значительные математические последствия. Многообразия Калаби-Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики, а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи в энумеративной алгебраической геометрии – области математики, занимающейся подсчетом числа решений геометрических задач. Классической задачей энумеративной геометрии является перечисление рациональных кривых на многообразии Калаби-Яу, таком как показано выше. Применяя зеркальную симметрию, математики преобразуют эту задачу в эквивалентную задачу для зеркального многообразия Калаби-Яу, которая оказывается более простой для решения. В физике зеркальная симметрия обосновывается физическими соображениями. Однако математики обычно требуют строгих доказательств, не требующих обращения к физической интуиции. С математической точки зрения, описанная выше версия зеркальной симметрии пока остается лишь гипотезой, но существует и другая версия зеркальной симметрии в контексте топологической теории струн – упрощенной версии теории струн, введенной Эдвардом Виттеном, которая была строго доказана математиками. В контексте топологической теории струн зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые A-моделью и B-моделью, эквивалентны в том смысле, что существует двойственность, связывающая их. Сегодня зеркальная симметрия является активной областью исследований в математике, и математики работают над разработкой более полного математического понимания зеркальной симметрии, основанного на интуиции физиков.

Compactification can be used to construct models in which spacetime is effectively four dimensional. However, not every way of compactifying the extra dimensions produces a model with the right properties to describe nature. In a viable model of particle physics, the compact extra dimensions must be shaped like a Calabi–Yau manifold. After Calabi–Yau manifolds had entered physics as a way to compactify extra dimensions, many physicists began studying these manifolds. In the late 1980s, Lance Dixon, Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa, and Nick Warner noticed that given such a compactification of string theory, it is not possible to reconstruct uniquely a corresponding Calabi–Yau manifold. Instead, two different versions of string theory called type IIA string theory and type IIB can be compactified on completely different Calabi–Yau manifolds giving rise to the same physics. In this situation, the manifolds are called mirror manifolds, and the relationship between the two physical theories is called mirror symmetry. The mirror symmetry relationship is a particular example of what physicists call a physical duality. In general, the term physical duality refers to a situation where two seemingly different physical theories turn out to be equivalent in a nontrivial way. If one theory can be transformed so it looks just like another theory, the two are said to be dual under that transformation. Put differently, the two theories are mathematically different descriptions of the same phenomena. Such dualities play an important role in modern physics, especially in string theory. Regardless of whether Calabi–Yau compactifications of string theory provide a correct description of nature, the existence of the mirror duality between different string theories has significant mathematical consequences. The Calabi–Yau manifolds used in string theory are of interest in pure mathematics, and mirror symmetry allows mathematicians to solve problems in enumerative algebraic geometry, a branch of mathematics concerned with counting the numbers of solutions to geometric questions. A classical problem of enumerative geometry is to enumerate the rational curves on a Calabi–Yau manifold such as the one illustrated above. By applying mirror symmetry, mathematicians have translated this problem into an equivalent problem for the mirror Calabi–Yau, which turns out to be easier to solve. In physics, mirror symmetry is justified on physical grounds. However, mathematicians generally require rigorous proofs that do not require an appeal to physical intuition. From a mathematical point of view, the version of mirror symmetry described above is still only a conjecture, but there is another version of mirror symmetry in the context of topological string theory, a simplified version of string theory introduced by Edward Witten, which has been rigorously proven by mathematicians. In the context of topological string theory, mirror symmetry states that two theories called the A model and B model are equivalent in the sense that there is a duality relating them. Today mirror symmetry is an active area of research in mathematics, and mathematicians are working to develop a more complete mathematical understanding of mirror symmetry based on physicists' intuition.

История

Идея зеркальной симметрии может быть прослежена до середины 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по кругу радиуса *r*, физически эквивалентна струне, распространяющейся по кругу радиуса 1/*r* в соответствующих единицах. Это явление теперь известно как T-дуальность и, как считается, тесно связано с зеркальной симметрией. В статье 1985 года Филипп Канделас, Гэри Хоровиц, Эндрю Стромингер и Эдвард Виттен показали, что путем компактификации теории струн на многообразии Калаби–Яу получается теория, примерно похожая на стандартную модель физики частиц, которая также последовательно включает в себя идею, называемую суперсимметрией. После этого развития многие физики начали изучать компактификации Калаби–Яу, надеясь построить реалистичные модели физики частиц на основе теории струн. Камрун Вафа и другие заметили, что при наличии такой физической модели невозможно однозначно реконструировать соответствующее многообразие Калаби–Яу. Вместо этого существуют два многообразия Калаби–Яу, которые порождают одну и ту же физику. Изучая взаимосвязь между многообразиями Калаби–Яу и некоторыми конформными теориями поля, называемыми моделями Гепнера, Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркального соответствия. Дальнейшие свидетельства этой связи пришли из работы Филиппа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммрика, которые исследовали большое количество многообразий Калаби–Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они образуют зеркальные пары. Математики заинтересовались зеркальной симметрией около 1990 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для решения задач энумеративной геометрии, которые десятилетиями оставались нерешенными. Эти результаты были представлены математикам на конференции в Математическом научно-исследовательском институте (MSRI) в Беркли, Калифорния, в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, вычисленных Канделасом для подсчета рациональных кривых, не совпадало с числом, полученным норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Стайном Арильдом Стромме, с использованием, казалось бы, более строгих методов. Многие математики на конференции предположили, что в работе Канделаса содержится ошибка, поскольку она не основывалась на строгих математических аргументах. Однако, изучив их решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили результат, совпадающий с результатом, полученным Канделасом и его коллегами. В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн. Это утверждение о топологической теории струн обычно принимается за определение зеркальной симметрии в математической литературе. В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1994 году математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Известная как гомологическая зеркальная симметрия, эта гипотеза формализует зеркальную симметрию как эквивалентность двух математических структур: производной категории когерентных пучков на многообразии Калаби–Яу и категории Фукая его зеркала. Также около 1995 года Концевич проанализировал результаты Канделаса, которые дали общую формулу для задачи подсчета рациональных кривых на квинтике, и переформулировал эти результаты в виде точной математической гипотезы. В 1996 году Александр Гивентал опубликовал статью, в которой утверждал, что доказал эту гипотезу Концевича. Поначалу многие математики сочли эту статью трудной для понимания, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лиан, Кефэн Лю и Шинг Тун Яу опубликовали независимое доказательство в серии статей. Несмотря на споры о том, кто опубликовал первое доказательство, эти статьи теперь рассматриваются как математическое доказательство результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии. В 2000 году Кентаро Хори и Камрун Вафа дали еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности. В то же время основные вопросы остаются нерешенными. Например, математикам до сих пор не хватает понимания того, как строить примеры зеркальных пар Калаби–Яу, хотя в понимании этого вопроса был достигнут прогресс.

The idea of mirror symmetry can be traced back to the mid 1980s when it was noticed that a string propagating on a circle of radius is physically equivalent to a string propagating on a circle of radius in appropriate units. This phenomenon is now known as T duality and is understood to be closely related to mirror symmetry. In a paper from 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, and Edward Witten showed that by compactifying string theory on a Calabi–Yau manifold, one obtains a theory roughly similar to the standard model of particle physics that also consistently incorporates an idea called supersymmetry. Following this development, many physicists began studying Calabi–Yau compactifications, hoping to construct realistic models of particle physics based on string theory. Cumrun Vafa and others noticed that given such a physical model, it is not possible to reconstruct uniquely a corresponding Calabi–Yau manifold. Instead, there are two Calabi–Yau manifolds that give rise to the same physics. By studying the relationship between Calabi–Yau manifolds and certain conformal field theories called Gepner models, Brian Greene and Ronen Plesser found nontrivial examples of the mirror relationship. Further evidence for this relationship came from the work of Philip Candelas, Monika Lynker, and Rolf Schimmrigk, who surveyed a large number of Calabi–Yau manifolds by computer and found that they came in mirror pairs. Mathematicians became interested in mirror symmetry around 1990 when physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parkes showed that mirror symmetry could be used to solve problems in enumerative geometry that had resisted solution for decades or more. These results were presented to mathematicians at a conference at the Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) in Berkeley, California in May 1991. During this conference, it was noticed that one of the numbers Candelas had computed for the counting of rational curves disagreed with the number obtained by Norwegian mathematicians Geir Ellingsrud and Stein Arild Strømme using ostensibly more rigorous techniques. Many mathematicians at the conference assumed that Candelas's work contained a mistake since it was not based on rigorous mathematical arguments. However, after examining their solution, Ellingsrud and Strømme discovered an error in their computer code and, upon fixing the code, they got an answer that agreed with the one obtained by Candelas and his collaborators. In 1990, Edward Witten introduced topological string theory, This statement about topological string theory is usually taken as the definition of mirror symmetry in the mathematical literature. In an address at the International Congress of Mathematicians in 1994, mathematician Maxim Kontsevich presented a new mathematical conjecture based on the physical idea of mirror symmetry in topological string theory. Known as homological mirror symmetry, this conjecture formalizes mirror symmetry as an equivalence of two mathematical structures: the derived category of coherent sheaves on a Calabi–Yau manifold and the Fukaya category of its mirror. Also around 1995, Kontsevich analyzed the results of Candelas, which gave a general formula for the problem of counting rational curves on a quintic threefold, and he reformulated these results as a precise mathematical conjecture. In 1996, Alexander Givental posted a paper that claimed to prove this conjecture of Kontsevich. Initially, many mathematicians found this paper hard to understand, so there were doubts about its correctness. Subsequently, Bong Lian, Kefeng Liu, and Shing Tung Yau published an independent proof in a series of papers. Despite controversy over who had published the first proof, these papers are now collectively seen as providing a mathematical proof of the results originally obtained by physicists using mirror symmetry. In 2000, Kentaro Hori and Cumrun Vafa gave another physical proof of mirror symmetry based on T duality. At the same time, basic questions continue to vex. For example, mathematicians still lack an understanding of how to construct examples of mirror Calabi–Yau pairs though there has been progress in understanding this issue.

Численная геометрия

Многие из важных математических приложений зеркальной симметрии относятся к ветви математики, называемой перечислительной геометрией. В перечислительной геометрии интересует подсчет числа решений геометрических задач, обычно с использованием методов алгебраической геометрии. Одна из самых ранних задач перечислительной геометрии была поставлена около 200 года до н.э. древнегреческим математиком Аполлонием, который спросил, сколько окружностей на плоскости касаются трех заданных окружностей. В общем случае, решение проблемы Аполлония заключается в том, что существует восемь таких окружностей. Перечислительные задачи в математике часто касаются класса геометрических объектов, называемых алгебраическими многообразиями, которые определяются условием обращения многочленов в ноль. Например, кубика Клебша (см. иллюстрацию) определяется с помощью определенного многочлена третьей степени в четырех переменных. Известный результат математиков девятнадцатого века Артура Кейли и Джорджа Салмона гласит, что на такой поверхности лежит ровно 27 прямых линий. Обобщая эту задачу, можно спросить, сколько прямых линий можно провести на пятимерном многообразии Калаби–Яу, таком как показано на иллюстрации выше, которое определяется многочленом пятой степени. Эту задачу решил немецкий математик девятнадцатого века Герман Шуберт, который обнаружил, что существует ровно 2875 таких линий. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что число кривых, таких как окружности, которые определены многочленами второй степени и полностью лежат в квинтике, равно 609 250. Эта область исследований получила новый импульс в мае 1991 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета числа кривых третьей степени на пятимерном многообразии Калаби–Яу. Канделас и его коллеги обнаружили, что эти шестимерные многообразия Калаби–Яу могут содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени. Хотя методы, использованные в этой работе, основывались на физической интуиции, математики впоследствии строго доказали некоторые предсказания зеркальной симметрии. В частности, перечислительные предсказания зеркальной симметрии теперь строго доказаны. Применяя зеркальную симметрию, теоретики могут перевести сложные вычисления в модели А в эквивалентные, но технически более простые вычисления в модели B. Эти вычисления затем используются для определения вероятностей различных физических процессов в теории струн. Зеркальную симметрию можно комбинировать с другими дуальностями для перевода вычислений из одной теории в эквивалентные вычисления в другой теории. Перенося вычисления в различные теории таким образом, теоретики могут вычислять величины, которые невозможно вычислить без использования дуальностей. Помимо теории струн, зеркальная симметрия используется для понимания аспектов квантовой теории поля, формализма, который физики используют для описания элементарных частиц. Например, калибровочные теории — это класс высокосимметричных физических теорий, которые встречаются в Стандартной модели физики частиц и других областях теоретической физики. Некоторые калибровочные теории, которые не входят в Стандартную модель, но тем не менее важны по теоретическим причинам, возникают из струн, распространяющихся на почти сингулярном фоне. Для таких теорий зеркальная симметрия является полезным вычислительным инструментом. Действительно, зеркальную симметрию можно использовать для выполнения вычислений в важной калибровочной теории в четырех пространственно-временных измерениях, которая была изучена Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном и также известна в математике в контексте инвариантов Дональдсона. Существует также обобщение зеркальной симметрии, называемое 3D зеркальной симметрией, которое связывает пары квантовых теорий поля в трех пространственно-временных измерениях.

Many of the important mathematical applications of mirror symmetry belong to the branch of mathematics called enumerative geometry. In enumerative geometry, one is interested in counting the number of solutions to geometric questions, typically using the techniques of algebraic geometry. One of the earliest problems of enumerative geometry was posed around the year 200 BCE by the ancient Greek mathematician Apollonius, who asked how many circles in the plane are tangent to three given circles. In general, the solution to the problem of Apollonius is that there are eight such circles. Enumerative problems in mathematics often concern a class of geometric objects called algebraic varieties which are defined by the vanishing of polynomials. For example, the Clebsch cubic (see the illustration) is defined using a certain polynomial of degree three in four variables. A celebrated result of nineteenth century mathematicians Arthur Cayley and George Salmon states that there are exactly 27 straight lines that lie entirely on such a surface. Generalizing this problem, one can ask how many lines can be drawn on a quintic Calabi–Yau manifold, such as the one illustrated above, which is defined by a polynomial of degree five. This problem was solved by the nineteenth century German mathematician Hermann Schubert, who found that there are exactly 2,875 such lines. In 1986, geometer Sheldon Katz proved that the number of curves, such as circles, that are defined by polynomials of degree two and lie entirely in the quintic is 609,250. The field was reinvigorated in May 1991 when physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parkes showed that mirror symmetry could be used to count the number of degree three curves on a quintic Calabi–Yau. Candelas and his collaborators found that these six dimensional Calabi–Yau manifolds can contain exactly 317,206,375 curves of degree three. Although the methods used in this work were based on physical intuition, mathematicians have gone on to prove rigorously some of the predictions of mirror symmetry. In particular, the enumerative predictions of mirror symmetry have now been rigorously proven. By applying mirror symmetry, theorists can translate difficult calculations in the A model into equivalent but technically easier calculations in the B model. These calculations are then used to determine the probabilities of various physical processes in string theory. Mirror symmetry can be combined with other dualities to translate calculations in one theory into equivalent calculations in a different theory. By outsourcing calculations to different theories in this way, theorists can calculate quantities that are impossible to calculate without the use of dualities. Outside of string theory, mirror symmetry is used to understand aspects of quantum field theory, the formalism that physicists use to describe elementary particles. For example, gauge theories are a class of highly symmetric physical theories appearing in the standard model of particle physics and other parts of theoretical physics. Some gauge theories which are not part of the standard model, but which are nevertheless important for theoretical reasons, arise from strings propagating on a nearly singular background. For such theories, mirror symmetry is a useful computational tool. Indeed, mirror symmetry can be used to perform calculations in an important gauge theory in four spacetime dimensions that was studied by Nathan Seiberg and Edward Witten and is also familiar in mathematics in the context of Donaldson invariants. There is also a generalization of mirror symmetry called 3D mirror symmetry which relates pairs of quantum field theories in three spacetime dimensions.

Гомологическая зеркальная симметрия

В теории струн и связанных с ней теориях физики, брань — это физический объект, обобщающий понятие точечной частицы на более высокие размерности. Например, точечную частицу можно рассматривать как брань размерности ноль, а струну — как брань размерности один. Также можно рассматривать брани более высоких размерностей. Слово «брана» происходит от слова «мембрана», обозначающего брань размерности два. В теории струн струна может быть открытой (образуя сегмент с двумя конечными точками) или замкнутой (образуя замкнутый цикл). D-браны — важный класс браней, возникающий при рассмотрении открытых струн. При распространении открытой струны в пространстве-времени её конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к условию, которое она удовлетворяет, — граничному условию Дирихле. Математически брани можно описать с помощью понятия категории. Это математическая структура, состоящая из объектов и, для любой пары объектов, множества морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты представляют собой математические структуры (например, множества, векторные пространства или топологические пространства), а морфизмы — функции между этими структурами. Можно также рассматривать категории, в которых объекты — это D-браны, а морфизмами между двумя бранами и являются состояния открытых струн, натянутых между и .

In string theory and related theories in physics, a brane is a physical object that generalizes the notion of a point particle to higher dimensions. For example, a point particle can be viewed as a brane of dimension zero, while a string can be viewed as a brane of dimension one. It is also possible to consider higher dimensional branes. The word brane comes from the word "membrane" which refers to a two dimensional brane. In string theory, a string may be open (forming a segment with two endpoints) or closed (forming a closed loop). D branes are an important class of branes that arise when one considers open strings. As an open string propagates through spacetime, its endpoints are required to lie on a D brane. The letter "D" in D brane refers to a condition that it satisfies, the Dirichlet boundary condition. Mathematically, branes can be described using the notion of a category. This is a mathematical structure consisting of objects, and for any pair of objects, a set of morphisms between them. In most examples, the objects are mathematical structures (such as sets, vector spaces, or topological spaces) and the morphisms are functions between these structures. One can also consider categories where the objects are D branes and the morphisms between two branes and are states of open strings stretched between and
In the B model of topological string theory, the D branes are complex submanifolds of a Calabi–Yau together with additional data that arise physically from having charges at the endpoints of strings. In the A model, the D branes can again be viewed as submanifolds of a Calabi–Yau manifold. Roughly speaking, they are what mathematicians call special Lagrangian submanifolds. The category having these branes as its objects is called the Fukaya category. On the other hand, the Fukaya category is constructed using symplectic geometry, a branch of mathematics that arose from studies of classical physics. Symplectic geometry studies spaces equipped with a symplectic form, a mathematical tool that can be used to compute area in two dimensional examples. This equivalence provides a precise mathematical formulation of mirror symmetry in topological string theory. In addition, it provides an unexpected bridge between two branches of geometry, namely complex and symplectic geometry.

В B-модели топологической теории струн D-браны являются комплексными подмногообразиями многообразия Калаби — Яу вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из наличия зарядов в конечных точках струн. В A-модели D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби — Яу. Грубо говоря, это то, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями. Категория, в которой эти браны являются объектами, называется категорией Фукая. С другой стороны, категория Фукая строится с использованием симплектической геометрии — ветви математики, возникшей из исследований классической физики. Симплектическая геометрия изучает пространства, оснащенные симплектической формой, — математический инструмент, который можно использовать для вычисления площади в двухмерных примерах. Эта эквивалентность обеспечивает точную математическую формулировку зеркальной симметрии в топологической теории струн. Кроме того, она создает неожиданный мост между двумя областями геометрии, а именно комплексной и симплектической геометрией.

Стромингер Яу Заслоу

Другой подход к пониманию зеркальной симметрии был предложен Эндрю Стромингером, Шинг Тунг Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. Самый простой пример многообразия Калаби-Яу — это двумерный тор или форма пончика. Рассмотрим окружность на этой поверхности, которая проходит один раз через отверстие пончика. Примером является красный круг на рисунке. На торе существует бесконечно много подобных окружностей; фактически, вся поверхность является объединением таких окружностей. Можно выбрать вспомогательную окружность (розовый круг на рисунке) так, чтобы каждая из бесконечного числа окружностей, составляющих разложение тора, проходила через точку этой окружности. Говорят, что эта вспомогательная окружность параметризует окружности разложения, то есть существует соответствие между ними и точками этой окружности. Однако эта вспомогательная окружность — это не просто список, поскольку она также определяет, как эти окружности расположены на торе. Это вспомогательное пространство играет важную роль в гипотезе SYZ. Как только многообразие Калаби-Яу было разложено на более простые части, зеркальную симметрию можно понять интуитивно геометрическим способом. В качестве примера рассмотрим описанный выше тор. Представьте, что этот тор представляет собой «пространство-время» для физической теории. Основными объектами этой теории будут струны, распространяющиеся в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики. Одной из основных двойственностей теории струн является T-дуальность, которая утверждает, что струна, распространяющаяся вокруг окружности радиуса *r*, эквивалентна струне, распространяющейся вокруг окружности радиуса 1/*r*, в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойственном описании. Например, струна имеет импульс при распространении вокруг окружности, и она также может обматываться вокруг окружности один или несколько раз. Количество раз, которое струна обматывается вокруг окружности, называется числом обмоток. Если струна имеет импульс *p* и число обмоток *w* в одном описании, то в двойственном описании она будет иметь импульс *w* и число обмоток *p*. T-дуальность можно расширить с окружностей на двумерные торы, возникающие при разложении поверхности K3, или на трехмерные торы, возникающие при разложении шестимерного многообразия Калаби-Яу. В общем, гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим торам. В каждом случае пространство *X* предоставляет своего рода чертеж, описывающий, как эти торы собираются в многообразие Калаби-Яу.

Another approach to understanding mirror symmetry was suggested by Andrew Strominger, Shing Tung Yau, and Eric Zaslow in 1996. The simplest example of a Calabi–Yau manifold is a two dimensional torus or donut shape. Consider a circle on this surface that goes once through the hole of the donut. An example is the red circle in the figure. There are infinitely many circles like it on a torus; in fact, the entire surface is a union of such circles. One can choose an auxiliary circle (the pink circle in the figure) such that each of the infinitely many circles decomposing the torus passes through a point of This auxiliary circle is said to parametrize the circles of the decomposition, meaning there is a correspondence between them and points of The circle is more than just a list, however, because it also determines how these circles are arranged on the torus. This auxiliary space plays an important role in the SYZ conjecture. Once the Calabi–Yau manifold has been decomposed into simpler parts, mirror symmetry can be understood in an intuitive geometric way. As an example, consider the torus described above. Imagine that this torus represents the "spacetime" for a physical theory. The fundamental objects of this theory will be strings propagating through the spacetime according to the rules of quantum mechanics. One of the basic dualities of string theory is T duality, which states that a string propagating around a circle of radius is equivalent to a string propagating around a circle of radius in the sense that all observable quantities in one description are identified with quantities in the dual description. For example, a string has momentum as it propagates around a circle, and it can also wind around the circle one or more times. The number of times the string winds around a circle is called the winding number. If a string has momentum and winding number in one description, it will have momentum and winding number in the dual description. T duality can be extended from circles to the two dimensional tori appearing in the decomposition of a K3 surface or to the three dimensional tori appearing in the decomposition of a six dimensional Calabi–Yau manifold. In general, the SYZ conjecture states that mirror symmetry is equivalent to the simultaneous application of T duality to these tori. In each case, the space provides a kind of blueprint that describes how these tori are assembled into a Calabi–Yau manifold.