Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топологиялық кеңістіктің түрі
Type of topological space
Топологияда дискретті кеңістік – топологиялық кеңістіктің немесе ұқсас құрылымның ерекше қарапайым мысалы, онда нүктелер үзіліссіз тізбек құрайды, яғни олар белгілі бір мағынада бір-бірінен оқшауланған. Дискретті топология – жиынға қолданылатын ең ұсақ топология. Кез келген кіші жиын дискретті топологияда ашық болып табылады, сондықтан әсіресе, кез келген бір элементтен тұратын кіші жиын дискретті топологияда ашық жиын болып табылады.
In topology, a discrete space is a particularly simple example of a topological space or similar structure, one in which the points form a discontinuous sequence, meaning they are isolated from each other in a certain sense. The discrete topology is the finest topology that can be given on a set. Every subset is open in the discrete topology so that in particular, every singleton subset is an open set in the discrete topology.
Мысалдар және қолдану
Дискретті құрылым көбінесе басқа табиғи топология, біртектілік немесе метрика болмайтын жиын үшін "стандартты құрылым" ретінде қолданылады; дискретті құрылымдар көбінесе нақты болжамдарды тексеру үшін "шекті" мысалдар ретінде пайдаланылуы мүмкін. Мысалы, кез келген топ дискретті топология берілгенде топологиялық топ ретінде қарастырылуы мүмкін, бұл топологиялық топтар туралы теоремалар барлық топтарға қолданылатынын білдіреді. Шындығында, талдаушылар алгебраиктер зерттейтін стандартты, топологиялық емес топтарды "дискретті топтар" деп атауы мүмкін. Кейбір жағдайларда, бұл тиімді қолданылуы мүмкін, мысалы, Понтрягин дуалдылығымен байланысты. 0 өлшемді манифольд (немесе дифференциалдық немесе аналитикалық манифольд) – дискретті және саналатын топологиялық кеңістік (саналмайтын дискретті кеңістік екінші рет саналатын емес). Сондықтан, кез келген дискретті саналатын топты 0 өлшемді Ли тобы ретінде қарастыруға болады. Натурал сандардың дискретті кеңістігінің санауға болатын шексіз көшірмелерінің көбейтіндісі иррационал сандар кеңістігіне гомеоморфты, гомеоморфизм үздік бөлшек кеңеюі арқылы беріледі. Дискретті кеңістіктің санауға болатын шексіз көшірмелерінің көбейтіндісі Кантор жиынына гомеоморфты; ал егер көбейтіндідегі көбейтінді біртектілігін қолдансақ, Кантор жиынына біртекті гомеоморфты. Мұндай гомеоморфизм сандардың үштік нотациясын қолдану арқылы беріледі. (Кантор кеңістігін қараңыз.) Жергілікті инъективті функцияның әрбір талшығы доменінің дискретті ішкі кеңістігі болуы керек. Математика негіздерінде, өнімдердің компакттылық қасиеттерін зерттеу, таңдау аксиомасының әлсіз түрі болып табылатын ультрафильтр леммасына (немесе эквивалентті, Бульдік жай идеал теоремасы) топологиялық тәсілдің орталық бөлігі болып табылады.
A discrete structure is often used as the "default structure" on a set that doesn't carry any other natural topology, uniformity, or metric; discrete structures can often be used as "extreme" examples to test particular suppositions. For example, any group can be considered as a topological group by giving it the discrete topology, implying that theorems about topological groups apply to all groups. Indeed, analysts may refer to the ordinary, non topological groups studied by algebraists as "discrete groups". In some cases, this can be usefully applied, for example in combination with Pontryagin duality. A 0 dimensional manifold (or differentiable or analytic manifold) is nothing but a discrete and countable topological space (an uncountable discrete space is not second countable). We can therefore view any discrete countable group as a 0 dimensional Lie group. A product of countably infinite copies of the discrete space of natural numbers is homeomorphic to the space of irrational numbers, with the homeomorphism given by the continued fraction expansion. A product of countably infinite copies of the discrete space is homeomorphic to the Cantor set; and in fact uniformly homeomorphic to the Cantor set if we use the product uniformity on the product. Such a homeomorphism is given by using ternary notation of numbers. (See Cantor space.) Every fiber of a locally injective function is necessarily a discrete subspace of its domain. In the foundations of mathematics, the study of compactness properties of products of is central to the topological approach to the ultrafilter lemma (equivalently, the Boolean prime ideal theorem), which is a weak form of the axiom of choice.
Қалыпты емес кеңістіктер
Кейбір жағдайларда дискретті топологияға қарама-қарсы тривиальды топология (немесе индискретті топология) болып табылады, ол ең аз мүмкін ашық жиынтықтарға ие (тек бос жиын және кеңістіктің өзі). Дискретті топология бастапқы немесе еркін болса, индискретті топология соңғы немесе коэркін болады: кез келген топологиялық кеңістіктен индискретті кеңістікке дейінгі функция үздіксіз болады, және т.б.
In some ways, the opposite of the discrete topology is the trivial topology (also called the indiscrete topology), which has the fewest possible open sets (just the empty set and the space itself). Where the discrete topology is initial or free, the indiscrete topology is final or cofree: every function from a topological space to an indiscrete space is continuous, etc.