Введение
Тип топологического пространства
В топологии дискретное пространство — это особенно простой пример топологического пространства или подобной структуры, в котором точки образуют прерванную последовательность, то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология — это самая мелкая топология, которую можно задать на множестве. Любое подмножество открыто в дискретной топологии, следовательно, в частности, любое одноэлементное подмножество является открытым множеством в дискретной топологии.
Примеры и применения
Дискретная структура часто используется как "структура по умолчанию" для множества, не обладающего какой-либо другой естественной топологией, однородностью или метрикой; дискретные структуры часто могут использоваться как "предельные" примеры для проверки конкретных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу, наделяя её дискретной топологией, что означает, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Фактически, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, "дискретными группами". В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина. 0-мерное многообразие (или дифференцируемое или аналитическое многообразие) – это ни что иное, как дискретное и счетное топологическое пространство (несчетное дискретное пространство не является второ-счетным). Следовательно, любую дискретную счетную группу можно рассматривать как 0-мерную группу Ли. Произведение счетно бесконечного числа копий дискретного пространства натуральных чисел гомеоморфно пространству иррациональных чисел, при этом гомеоморфизм задается разложением в цепные дроби. Произведение счетно бесконечного числа копий дискретного пространства гомеоморфно множеству Кантора; и, более того, равномерно гомеоморфно множеству Кантора, если использовать однородность произведения на этом произведении. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной системы счисления чисел. (См. пространство Кантора.) Каждое волокно локально инъективной функции обязательно является дискретным подпространством своей области определения. В основаниях математики изучение свойств компактности произведений играет центральную роль в топологическом подходе к лемме ультрафильтра (эквивалентно, теореме Булева об идеалах), которая является слабой формой аксиомы выбора.
Неразборчивые пространства
В некотором смысле, противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), которая содержит наименьшее возможное число открытых множеств – только пустое множество и само пространство. Если дискретная топология является начальной или свободной, то недискретная топология является конечной или ко-свободной: любая функция из топологического пространства в недискретное пространство является непрерывной и т.д.