Кіріспе
Математикада векторлық субкеңістік. F5 шекті өрісі бойынша екі өлшемді векторлық кеңістіктегі бір өлшемді субкеңістіктер. Жасыл шеңберлермен белгіленген (0, 0) нүктесі барлық алты 1-өлшемді субкеңістіктің ішінде жатыр, ал қалған 24 нүкте әрқайсысы тек бір субкеңістікке ғана жатады; бұл қасиет кез келген өріс және барлық өлшемдер үшін 1-өлшемді субкеңістіктерге тән. F52 (яғни 5 × 5 квадрат) жақсы көріну үшін төрт рет бейнеленген. Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, сызықтық субкеңістік немесе векторлық субкеңістік – бұл үлкен векторлық кеңістіктің ішкі жиыны болып табылатын векторлық кеңістік. Сызықтық субкеңістіктерді контекст оларды басқа субкеңістіктерден ажыратуға мүмкіндік берген жағдайда, әдетте жай ғана субкеңістік деп атайды.
One dimensional subspaces in the two dimensional vector space over the finite field F5. The origin (0, 0), marked with green circles, belongs to any of six 1 subspaces, while each of 24 remaining points belongs to exactly one; a property which holds for 1 subspaces over any field and in all dimensions. All F52 (i. e. a 5 × 5 square) is pictured four times for a better visualization
In mathematics, and more specifically in linear algebra, a linear subspace or vector subspace is a vector space that is a subset of some larger vector space. A linear subspace is usually simply called a subspace when the context serves to distinguish it from other types of subspaces.
Анықтама
Егер V – K өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болса және W – V-дің ішкі жиыны болса, онда W, V-тің сызықтық ішкі кеңістігі болады, егер V-тің амалдары бойынша W, K өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болса. Балама ретінде, бос емес ішкі жиын W, V-тің сызықтық ішкі кеңістігі болады, егер w1, w2 – W элементтері болса және α, β – K элементтері болса, онда αw1 + βw2, W-ге тиесілі болады.
Нәтижесінде, барлық векторлық кеңістіктер кем дегенде екі (мүмкін, әртүрлі) сызықтық ішкі кеңістікпен жабдықталған: тек нөлдік вектордан тұратын нөлдік векторлық кеңістік және векторлық кеңістіктің өзі. Бұлар векторлық кеңістіктің тривиальды ішкі кеңістіктері деп аталады.
IV мысал
Бұрынғыдай бірдей өріс пен векторлық кеңістікті сақтап, енді барлық дифференциалданатын функциялар жиыны Diff(R) қарастырыңыз. Бұрынғыға ұқсас аргумент бұл да субкеңістік екенін көрсетеді. Мұндай тақырыптарды кеңейтетін мысалдар функционалдық анализде жиі кездеседі.
Кіші кеңістік қасиеттері
Векторлық кеңістіктердің анықтамасынан, субкеңістіктердің бос емес екендігі және олардың қосындылары мен скалярлық көбейтулерге қатысты жабық екендігі шығады. Балама ретінде, субкеңістіктерді сызықтық комбинацияларға қатысты жабық болу қасиеті арқылы сипаттауға болады. Яғни, бос емес жиын W, егер және тек қана W-дің шекті санындағы элементтерінің кез келген сызықтық комбинациясы W-ге тиесілі болса, субкеңістік болып табылады. Эквивалентті анықтама, екі элементтің сызықтық комбинацияларын қарастыру да эквивалентті екенін көрсетеді. Топологиялық векторлық кеңістікте X, W субкеңістігі топологиялық жағынан жабық болуы міндетті емес, бірақ шекті өлшемді субкеңістік әрқашан жабық болады. Бұл, шекті кодименсиялы (яғни, шекті сандағы үздіксіз сызықтық функционалдармен анықталатын) субкеңістіктер үшін де дұрыс.
The equivalent definition states that it is also equivalent to consider linear combinations of two elements at a time. In a topological vector space X, a subspace W need not be topologically closed, but a finite dimensional subspace is always closed. The same is true for subspaces of finite codimension (i. e., subspaces determined by a finite number of continuous linear functionals).
Сипаттамалар
Субкеңістіктердің сипаттамаларына сызықтық теңдеулердің гомогендік жүйесінің шешімдер жиынтығы, сызықтық параметрлік теңдеулер жүйесімен сипатталған Евклид кеңістігінің кіші жиынтығы, векторлар жиынтығының қамтиы, және матрицаның нөлдік кеңістігі, бағандық кеңістігі және қатар кеңістігі жатады. Геометриялық тұрғыдан (әсіресе нақты сандар өрісінде және оның ішкі өрістерінде) субкеңістік – n кеңістіктегі бастапқы нүктеден өтетін жазықтық. 1-өлшемді субкеңістіктің табиғи сипаттамасы – бір нөлдік емес вектордың v-ның барлық мүмкін скалярлық мәндерге скалярлық көбейтілуі. Егер бір векторды екінші вектордан скалярлық көбейту арқылы алуға болса, ғана екі вектормен анықталған 1-өлшемді субкеңістіктер тең болады: Бұл идея жоғары өлшемдерде сызықтық қамтиы арқылы жалпыланады, бірақ k векторлар жиынымен анықталған k-өлшемді кеңістіктердің теңдігі үшін критерийлер оңай емес. Сызықтық функционалдар (әдетте сызықтық теңдеулер түрінде жүзеге асырылады) арқылы екілік сипаттама ұсынылады. Бір нөлдік емес сызықтық функционал F өзінің ядролық субкеңістігін F = 0, кодименсиясы 1 деп анықтайды. Екі сызықтық функционалмен анықталған кодименсиясы 1-ге тең субкеңістіктер, егер және тек қана бір функционалды екіншісінен скалярлық көбейту арқылы алуға болса, тең болады (қос кеңістікте): Бұл жоғары кодименсиялар үшін теңдеулер жүйесімен жалпыланады. Келесі екі тарау осы соңғы сипаттаманы егжей-тегжейлі түсіндіреді, ал қалған төрт тарау сызықтық қамтиы идеясын одан әрі сипаттайды.
This idea is generalized for higher dimensions with linear span, but criteria for equality of k spaces specified by sets of k vectors are not so simple. A dual description is provided with linear functionals (usually implemented as linear equations). One non zero linear functional F specifies its kernel subspace F = 0 of codimension 1. Subspaces of codimension 1 specified by two linear functionals are equal, if and only if one functional can be obtained from another with scalar multiplication (in the dual space):
It is generalized for higher codimensions with a system of equations. The following two subsections will present this latter description in details, and the remaining four subsections further describe the idea of linear span.
Қосылу
Жинақ теориялық кіріктіру бинарлық қатынасы кез келген өлшемді барлық ішкі кеңістіктер жиынында ішінара реттілік белгілейді. Ішкі кеңістік кіші өлшемді ішкі кеңістікке кіре алмайды. Егер U өлшемі k-ға тең болса, k – шекті сан, және U, W ішкі кеңістігіне кіріктірілсе, онда W өлшемі k-ға тең болады, егер және тек қана U мен W бірдей болса.
Ішкі кеңістіктердің торлары
Қиылысу және қосу операциялары барлық кіші кеңістіктер жиынын шектелген модульдік торға айналдырады, онда {0} кіші кеңістігі – ең кіші элемент, қосу операциясы үшін сәйкестік элемент, ал толық кеңістік V – ең үлкен элемент, қиылысу операциясы үшін сәйкестік элемент болып табылады.
Ортогональды қосымшалар
Егер ішкі көбейтінді кеңістігі болса және оның ішкі жиыны болса, онда оның ортогональды толықтыруы, деп белгіленетін, қайтадан ішкі кеңістік болып табылады. Егер кеңістік шекті өлшемді болса және ішкі кеңістік болса, онда және кеңістіктердің өлшемдері толықтыратын қатынасты қанағаттандырады. Сонымен қатар, ешбір вектор өзіне ортогональ бола алмайды, сондықтан және кеңістіктердің тікелей қосындысы болып табылады. Ортогональды толықтыруды екі рет қолдану бастапқы ішкі кеңістікті береді: кез келген ішкі кеңістік үшін. Бұл операцияны жобау ретінде қарастырғанда, ішкі кеңістіктердің торларын (шекті немесе шексіз) ортокомплементті торға айналдырады (бірақ таратушы торға емес). Басқа билинейлік формалары бар кеңістіктерде осы нәтижелердің кейбіреуі сақталады, бірақ барлығы емес. Мысалы, псевдоевклидтік және симплектік векторлық кеңістіктерде ортогональды толықтырулар бар. Дегенмен, бұл кеңістіктерде өзіне ортогональ болатын нөлдік векторлар болуы мүмкін, сондықтан мұндай ішкі кеңістіктер табылады. Осының салдарынан, бұл операция ішкі кеңістіктердің торын Буль алгебрасына (немесе Хейтинг алгебрасына) айналдырмайды.
This operation, understood as negation , makes the lattice of subspaces a (possibly infinite) orthocomplemented lattice (although not a distributive lattice). In spaces with other bilinear forms, some but not all of these results still hold. In pseudo Euclidean spaces and symplectic vector spaces, for example, orthogonal complements exist. However, these spaces may have null vectors that are orthogonal to themselves, and consequently there exist subspaces such that As a result, this operation does not turn the lattice of subspaces into a Boolean algebra (nor a Heyting algebra).
Алгоритмдер
Көптеген субкеңістіктерді өңдеу алгоритмдері жолдарды түрлендіруді қамтиды. Бұл матрицаға элементарлық жол операцияларын қолдану процесі болып табылады, осылайша ол жол эшелондық түріне немесе толық жол эшелондық түріне жетеді. Жолдарды түрлендірудің келесі маңызды қасиеттері бар: түрлендірілген матрицаның бастапқы матрицамен бірдей нөлдік кеңістігі болады. Жолдарды түрлендіру жол векторларының жазылым кеңістігін өзгертпейді, яғни түрлендірілген матрицаның бастапқы матрицамен бірдей жол кеңістігі болады. Жолдарды түрлендіру бағана векторларының сызықтық тәуелділігіне әсер етпейді.
The reduced matrix has the same null space as the original. Row reduction does not change the span of the row vectors, i. e. the reduced matrix has the same row space as the original. Row reduction does not affect the linear dependence of the column vectors.
Жол аралығы үшін негіз
Кіріс: А m × n матрицасы.
Шығыс: A матрицасының жол кеңістігінің негізі.
A матрицасын қатарлы эшалон түріне келтіру үшін элементарлық қатар операцияларын қолданыңыз. Эшалон түріндегі нөлден өзге қатарлар A матрицасының жол кеңістігінің негізін құрайды. Жол кеңістігі туралы мақаланы қараңыз. Егер A матрицасын толыққанды қатарлы эшалон түріне келтірсек, онда жол кеңістігі үшін алынған негіз бірегей болады. Бұл екі жол кеңістігінің теңдігін тексеруге арналған алгоритмді ұсынады, сондай-ақ, осы арқылы Kn кеңістігінің екі кіші кеңістігінің теңдігін де тексеруге болады.
Вектордың координаттары
Кіріс: S субкеңістігінің {b1, b2, ..., bk} негізі және v ∈ S векторы.
Шығыс: v = t1b1 + t2b2 + ... + tkbk теңдігін қанағаттандыратын t1, t2, ..., tk сандары.
Output Numbers t1, t2, , tk such that 1= v = t1b1 + ··· + tkbk
Create an augmented matrix A whose columns are b1, ,bk , with the last column being v.
Use elementary row operations to put A into reduced row echelon form. Express the final column of the reduced echelon form as a linear combination of the first k columns. The coefficients used are the desired numbers t1, t2, , tk. (These should be precisely the first k entries in the final column of the reduced echelon form.) If the final column of the reduced row echelon form contains a pivot, then the input vector v does not lie in S.
b1, b2, ..., bk бағандарынан және соңғы бағаны v-дан тұратын кеңейтілген матрица A құрыңыз.
A матрицасын қысқартылған жол эшалондық түріне келтіру үшін элементарлық жол операцияларын қолданыңыз. Қысқартылған жол эшалондық түрінің соңғы бағанын алғашқы k бағандардың сызықтық комбинациясы түрінде жазыңыз. Осы сызықтық комбинацияның коэффициенттері ізделінетін t1, t2, ..., tk сандары болады. (Бұл сандар қысқартылған жол эшалондық түрінің соңғы бағанындағы алғашқы k элементке тең болуы керек.) Егер қысқартылған жол эшалондық түрінің соңғы бағанында басқалаушы элемент (pivot) болса, онда кіріс векторы v, S субкеңістігіне жатпайды.
Output Numbers t1, t2, , tk such that 1= v = t1b1 + ··· + tkbk
Create an augmented matrix A whose columns are b1, ,bk , with the last column being v.
Use elementary row operations to put A into reduced row echelon form. Express the final column of the reduced echelon form as a linear combination of the first k columns. The coefficients used are the desired numbers t1, t2, , tk. (These should be precisely the first k entries in the final column of the reduced echelon form.) If the final column of the reduced row echelon form contains a pivot, then the input vector v does not lie in S.
Екі кіші кеңістіктің қосындысы мен қиылысуының негізі
V кеңістігінің екі U және W ішкі кеңістігі берілгенде, олардың қосындысы мен қиылысының базисін Зассенхаус алгоритмі арқылы есептеуге болады.