Введение
В математике векторное подпространство. Одномерные подпространства в двухмерном векторном пространстве над конечным полем F5. Начало координат (0, 0), обозначенное зелеными кружками, принадлежит каждому из шести одномерных подпространств, в то время как каждая из 24 оставшихся точек принадлежит ровно одному; свойство, которое справедливо для одномерных подпространств над любым полем и во всех размерностях. Все F52 (то есть квадрат 5 × 5) изображено четыре раза для лучшей наглядности. В математике, и в частности в линейной алгебре, линейное подпространство или векторное подпространство – это векторное пространство, являющееся подмножеством некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно называют просто подпространством, когда контекст позволяет отличить его от других типов подпространств.
One dimensional subspaces in the two dimensional vector space over the finite field F5. The origin (0, 0), marked with green circles, belongs to any of six 1 subspaces, while each of 24 remaining points belongs to exactly one; a property which holds for 1 subspaces over any field and in all dimensions. All F52 (i. e. a 5 × 5 square) is pictured four times for a better visualization
In mathematics, and more specifically in linear algebra, a linear subspace or vector subspace is a vector space that is a subset of some larger vector space. A linear subspace is usually simply called a subspace when the context serves to distinguish it from other types of subspaces.
Определение
Если V – векторное пространство над полем K, и W – подмножество V, то W является линейным подпространством V, если при операциях, заданных в V, W само является векторным пространством над K. Эквивалентно, непустое подмножество W является линейным подпространством V, если для любых элементов w1, w2 из W и любых элементов α, β из K, элемент αw1 + βw2 также принадлежит W.
Следовательно, каждое векторное пространство содержит как минимум два (возможно, различных) линейных подпространства: нулевое пространство, состоящее только из нулевого вектора, и само векторное пространство. Они называются тривиальными подпространствами.
Пример IV
Сохраняем то же поле и векторное пространство, что и ранее, но теперь рассмотрим множество Diff(ℝ) всех дифференцируемых функций. Аналогичный аргумент показывает, что это также является подпространством. Примеры, развивающие эти темы, часто встречаются в функциональном анализе.
Свойства подпространств
Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты, и замкнуты относительно сложения и умножения на скаляр. Эквивалентно, подпространства можно характеризовать свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть, непустое множество W является подпространством тогда и только тогда, когда любая линейная комбинация конечного числа элементов из W также принадлежит W.
The equivalent definition states that it is also equivalent to consider linear combinations of two elements at a time. In a topological vector space X, a subspace W need not be topologically closed, but a finite dimensional subspace is always closed. The same is true for subspaces of finite codimension (i. e., subspaces determined by a finite number of continuous linear functionals).
Эквивалентное определение утверждает, что достаточно рассматривать линейные комбинации двух элементов за раз. В топологическом векторном пространстве X подпространство W не обязательно является топологически замкнутым, но конечномерное подпространство всегда замкнуто. То же самое верно для подпространств конечной коразмерности (то есть подпространств, определяемых конечным числом непрерывных линейных функционалов).
The equivalent definition states that it is also equivalent to consider linear combinations of two elements at a time. In a topological vector space X, a subspace W need not be topologically closed, but a finite dimensional subspace is always closed. The same is true for subspaces of finite codimension (i. e., subspaces determined by a finite number of continuous linear functionals).
Описание
Описание подпространств включает в себя множество решений однородной системы линейных уравнений, подмножество евклидова пространства, описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений, линейную оболочку набора векторов, а также нулевое пространство, пространство столбцов и пространство строк матрицы. Геометрически (особенно над полем вещественных чисел и его подполями) подпространство представляет собой плоскость в n-мерном пространстве, проходящую через начало координат. Естественным описанием одномерного подпространства является скалярное умножение одного ненулевого вектора v на все возможные скалярные значения. Одномерные подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор можно получить из другого умножением на скаляр: эта идея обобщается на более высокие размерности с помощью линейной оболочки, но критерии равенства k-мерных подпространств, заданных наборами из k векторов, не так просты. Двойственное описание дается с помощью линейных функционалов (обычно реализуемых в виде линейных уравнений). Один ненулевой линейный функционал F определяет свое ядро – подпространство, на котором F = 0, коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1, заданные двумя линейными функционалами, равны тогда и только тогда, когда один функционал можно получить из другого умножением на скаляр (в двойственном пространстве): это обобщается на более высокие коразмерности с помощью системы уравнений. В следующих двух подразделах это последнее описание будет представлено подробно, а в оставшихся четырех подразделах будет более детально рассмотрена идея линейной оболочки.
This idea is generalized for higher dimensions with linear span, but criteria for equality of k spaces specified by sets of k vectors are not so simple. A dual description is provided with linear functionals (usually implemented as linear equations). One non zero linear functional F specifies its kernel subspace F = 0 of codimension 1. Subspaces of codimension 1 specified by two linear functionals are equal, if and only if one functional can be obtained from another with scalar multiplication (in the dual space):
It is generalized for higher codimensions with a system of equations. The following two subsections will present this latter description in details, and the remaining four subsections further describe the idea of linear span.
Включение
Теоретическое отношение включения множеств определяет частичный порядок на множестве всех подпространств (любой размерности). Подпространство не может быть включено в подпространство меньшей размерности. Если dim U = k, где k – конечное число, и U ⊂ W, то dim W = k тогда и только тогда, когда U = W.
Сетка подпространств
Операции пересечения и суммы образуют ограниченную модульную решетку из множества всех подпространств, где подпространство {0}, являющееся наименьшим элементом, служит нейтральным элементом для операции суммы, а всё пространство V, являющееся наибольшим элементом, служит нейтральным элементом для операции пересечения.
Ортогональные дополнения
Если V – пространство с внутренним произведением и U – подмножество V, то ортогональное дополнение U, обозначаемое U⊥, снова является подпространством. Если V конечномерно и U – подпространство, то размерности U и U⊥ удовлетворяют соотношению дополнения: dim(U) + dim(U⊥) = dim(V). Кроме того, никакой вектор не ортогонален самому себе, поэтому V = U ⊕ U⊥, и U = U⊥⊥. Двойное применение ортогонального дополнения возвращает исходное подпространство: U⊥⊥ = U для каждого подпространства U. Эта операция, понимаемая как отрицание, делает решетку подпространств (возможно, бесконечной) ортокомплементированной решеткой (хотя и не распределительной решеткой). В пространствах с другими билинейными формами некоторые, но не все эти результаты все еще справедливы. В псевдоевклидовых пространствах и симплектических векторных пространствах, например, существуют ортогональные дополнения. Однако, эти пространства могут содержать нулевые векторы, ортогональные самим себе, и, следовательно, существуют подпространства U такие, что U⊥ ∩ U ≠ {0}. В результате, эта операция не превращает решетку подпространств в булеву алгебру (ни в алгебру Хейтинга).
This operation, understood as negation , makes the lattice of subspaces a (possibly infinite) orthocomplemented lattice (although not a distributive lattice). In spaces with other bilinear forms, some but not all of these results still hold. In pseudo Euclidean spaces and symplectic vector spaces, for example, orthogonal complements exist. However, these spaces may have null vectors that are orthogonal to themselves, and consequently there exist subspaces such that As a result, this operation does not turn the lattice of subspaces into a Boolean algebra (nor a Heyting algebra).
Алгоритмы
Большинство алгоритмов для работы с подпространствами включают приведение строк. Это процесс применения элементарных преобразований строк к матрице, пока она не примет форму ступенчатой матрицы или приведённой ступенчатой матрицы. Приведение строк обладает следующими важными свойствами: приведённая матрица имеет то же ядро, что и исходная. Приведение строк не изменяет линейную оболочку векторов строк, то есть приведённая матрица имеет то же пространство строк, что и исходная. Приведение строк не влияет на линейную зависимость векторов столбцов.
The reduced matrix has the same null space as the original. Row reduction does not change the span of the row vectors, i. e. the reduced matrix has the same row space as the original. Row reduction does not affect the linear dependence of the column vectors.
Основание для пространства в строке
Ввод — матрица A размера m × n. Вывод — базис для пространства строк матрицы A. Используйте элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу A к ступенчатому виду. Ненулевые строки ступенчатого вида образуют базис для пространства строк A. См. статью о пространстве строк для примера. Если вместо этого привести матрицу A к приведённому ступенчатому виду, то полученный базис для пространства строк будет единственным. Это даёт алгоритм для проверки равенства двух пространств строк и, как следствие, равенства двух подпространств в Kn.
Координаты для вектора
Ввод: Базис {b1, b2, ..., bk} для подпространства S из Kn и вектор v ∈ S.
Вывод: Числа t1, t2, ..., tk такие, что v = t1b1 + t2b2 + ... + tkbk.
Создайте расширенную матрицу A, столбцами которой являются b1, b2, ..., bk, а последний столбец – вектор v.
Используйте элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу A к приведённому ступенчатому виду. Выразите последний столбец приведённого ступенчатого вида как линейную комбинацию первых k столбцов. Коэффициенты, используемые в этой линейной комбинации, и будут искомыми числами t1, t2, ..., tk. (Это должны быть именно первые k элементов в последнем столбце приведённого ступенчатого вида.) Если последний столбец приведённой ступенчатой формы содержит ведущий элемент, то входной вектор v не принадлежит подпространству S.
Output Numbers t1, t2, , tk such that 1= v = t1b1 + ··· + tkbk
Create an augmented matrix A whose columns are b1, ,bk , with the last column being v.
Use elementary row operations to put A into reduced row echelon form. Express the final column of the reduced echelon form as a linear combination of the first k columns. The coefficients used are the desired numbers t1, t2, , tk. (These should be precisely the first k entries in the final column of the reduced echelon form.) If the final column of the reduced row echelon form contains a pivot, then the input vector v does not lie in S.
Основа для суммы и пересечения двух подпространств
При заданных двух подпространствах U и W векторного пространства V, основание суммы и пересечения можно вычислить с помощью алгоритма Зассенхауза.