Кіріспе
Ұзындығы немесе энергия шкалалары ортақ фактормен көбейтілсе өзгермейтін қасиеттер. Физика, математика және статистикада масштабтық инварианттылық – ұзындығы, энергиясы немесе басқа айнымалылардың шкалалары ортақ фактормен көбейтілгенде өзгермейтін объектілердің немесе заңдардың ерекшелігі, сондықтан ол жалпыламалықты көрсетеді. Бұл түрлендірудің техникалық атауы – дилатация (кейде кеңейту деп те аталады). Дилатациялар үлкен конформдық симметрияның бір бөлігін құрауы мүмкін. Математикада масштабтық инварианттылық көбінесе жеке функциялардың немесе қисықтардың инварианттығын білдіреді. Тығыз байланысты ұғым – өзіне ұқсастық, онда функция немесе қисық дилатациялардың дискретті жиынтығында инвариант болады. Кездейсоқ процестердің ықтималдық таралулары да осы масштабтық инварианттылықты немесе өзіне ұқсастықты көрсетуі мүмкін. Классикалық өріс теориясында масштабтық инварианттылық ең көп кездесетіні – дилатациялар кезіндегі теорияның толық инварианттылығы. Мұндай теориялар әдетте ерекше ұзындық шкаласы жоқ классикалық физикалық процестерді сипаттайды. Кванттық өріс теориясында масштабтық инварианттылық бөлшектер физикасы тұрғысынан қарастырылады. Масштабтық инвариантты теорияда бөлшектердің өзара әрекеттесу күші қатысатын бөлшектердің энергиясына тәуелді емес. Статистикалық механикада масштабтық инварианттылық фазалық өтулердің ерекшелігі болып табылады. Басты байқау – фазалық өту немесе сындық нүктеге жақын, ауытқулар барлық ұзындық шкалаларында пайда болады, сондықтан құбылысты сипаттау үшін нақты масштабтық инвариантты теорияны іздеу қажет. Мұндай теориялар – масштабтық инвариантты статистикалық өріс теориялары, және формальды жағынан масштабтық инвариантты кванттық өріс теорияларына өте ұқсас. Универсалдылық – бұл әртүрлі микроскопиялық жүйелердің фазалық өту кезінде бірдей мінез-құлықты көрсетуі мүмкін деген байқау. Осылайша, көптеген түрлі жүйелердегі фазалық өтулер бірнеше іргелі масштабтық инвариантты теориямен сипатталуы мүмкін. Жалпы алғанда, өлшемсіз шамалар масштабтық инвариантты болып табылады. Статистикадағы аналогтық ұғым – стандартталған моменттер, олар айнымалының масштабтық инвариантты статистикасы, ал стандартталмаған моменттер емес.
In physics, mathematics and statistics, scale invariance is a feature of objects or laws that do not change if scales of length, energy, or other variables, are multiplied by a common factor, and thus represent a universality. The technical term for this transformation is a dilatation (also known as dilation). Dilatations can form part of a larger conformal symmetry. In mathematics, scale invariance usually refers to an invariance of individual functions or curves. A closely related concept is self similarity, where a function or curve is invariant under a discrete subset of the dilations. It is also possible for the probability distributions of random processes to display this kind of scale invariance or self similarity. In classical field theory, scale invariance most commonly applies to the invariance of a whole theory under dilatations. Such theories typically describe classical physical processes with no characteristic length scale. In quantum field theory, scale invariance has an interpretation in terms of particle physics. In a scale invariant theory, the strength of particle interactions does not depend on the energy of the particles involved. In statistical mechanics, scale invariance is a feature of phase transitions. The key observation is that near a phase transition or critical point, fluctuations occur at all length scales, and thus one should look for an explicitly scale invariant theory to describe the phenomena. Such theories are scale invariant statistical field theories, and are formally very similar to scale invariant quantum field theories. Universality is the observation that widely different microscopic systems can display the same behaviour at a phase transition. Thus phase transitions in many different systems may be described by the same underlying scale invariant theory. In general, dimensionless quantities are scale invariant. The analogous concept in statistics are standardized moments, which are scale invariant statistics of a variable, while the unstandardized moments are not.
Жобалау геометриясы
Мономиалдың масштабтық инварианттылығы идеясы жоғары өлшемдерде гомогенді полиномиал идеясына және жалпы алғанда гомогенді функцияға кеңейтіледі. Гомогенді функциялар проективті кеңістіктің табиғи элементтері болып табылады, ал гомогенді полиномиалдар проективті геометрияда проективті сорттар ретінде зерттеледі. Проективті геометрия – математиканың өте бай саласы; ең абстрактілі түрінде, схемалардың геометриясында, ол жол теориясының әртүрлі салаларымен байланысты.
Фракталдар
Кейде фракталдар масштабталған инвариантты деп айтылады, бірақ дәлірек айтқанда, оларды өздігінен ұқсас деп айту керек. Фрактал әдетте λ мәндерінің дискретті жиынтығы үшін ғана өзіне тең болады, тіпті сонда да фракталды өзіне сәйкес келтіру үшін аударма және бұру қолданылуы мүмкін. Мысалы, Кох қисығы , үшін масштабталады, бірақ масштабтау тек n бүтін саны үшін ғана қолданылады. Сонымен қатар, Кох қисығы тек бастапқы нүктеде ғана емес, белгілі бір мағынада "әр жерде" масштабталады: қисық бойында оның кішкентай көшірмелерін табуға болады. Кейбір фракталдарда бір уақытта бірнеше масштабтау факторлары болуы мүмкін; мұндай масштабтау көп фракталды талдаумен зерттеледі. Периодтық сыртқы және ішкі сәулелер инвариантты қисықтар болып табылады.
Кванттық электродинамика
Масштабты инварианттық кванттық өріс теориясының (QFT) қарапайым мысалы – зарядталған бөлшектері жоқ квантталған электромагниттік өріс. Бұл теорияда іс жүзінде байланыс параметрлері жоқ (өйткені фотон массасыз және өзара әрекеттеспейді), сондықтан классикалық теория сияқты масштабты инварианттық сақталады. Дегенмен, табиғатта электромагниттік өріс зарядталған бөлшектермен, мысалы электрондармен байланысқан. Фотон мен зарядталған бөлшектердің өзара әрекеттесуін сипаттайтын QFT – кванттық электродинамика (QED), және бұл теория масштабты инвариант емес. Мұны QED-нің бета-функциясынан көруге болады. Ол электр зарядының (теориядағы байланыс параметрі) энергияның артуымен өсетінін көрсетеді. Сондықтан, зарядталған бөлшектері жоқ квантталған электромагниттік өріс масштабты инвариант болса, QED масштабты инвариант емес.
Массасыз скалярлық өріс теориясы
Еркін, массасыз кванттанған скалярлы өріс теориясының жұптастыру параметрлері жоқ. Сондықтан, классикалық нұсқасы сияқты, ол масштабты инвариант. Ренормализация тобының тілінде бұл теория Гаусс тұрақты нүктесі деп аталады. Дегенмен, классикалық массасыз φ4 теориясы D = 4-те масштабты инвариант болса да, квантталған нұсқасы масштабты инвариант емес. Мұны қосқыштық параметр g-нің бета-функциясынан көруге болады. Квантталған массасыз φ4 масштабты инвариант болмаса да, Гаусс тұрақты нүктесінен өзге масштабты инвариант квантталған скалярлық өріс теориялары бар. Мысалы, төмендегі Уилсон-Фишер тұрақты нүктесі.
Even though the quantized massless φ4 is not scale invariant, there do exist scale invariant quantized scalar field theories other than the Gaussian fixed point. One example is the Wilson–Fisher fixed point, below.
Конформальды өріс теориясы
Масштабты инвариантты КЭТ-тер (QFT) көбінесе толық конформдық симметрия бойынша инвариант болады, ал мұндай КЭТ-терді зерттеу конформдық өріс теориясы (CFT) деп аталады. CFT-дегі операторлар жақсы анықталған масштабтау өлшемдеріне ие, бұл жоғарыда талқыланған классикалық өрістің масштабтау өлшемі ∆-ға ұқсас. Дегенмен, CFT операторларының масштабтау өлшемдері әдетте сәйкес классикалық теориядағы өрістердің өлшемдерінен өзгеше болады. CFT-де пайда болатын қосымша үлестер аномальды масштабтау өлшемдері деп белгіленеді.
Өлшемі мен конформалық аномалиялар
Жоғарыдағы φ4 теориясының мысалы кванттық өріс теориясының жұптасу параметрлері, сәйкес классикалық өріс теориясы масштаб инвариантты (немесе конформды инвариантты) болса да, масштабқа тәуелді болатынын көрсетеді. Егер осылай болса, классикалық масштабтық (немесе конформдық) инварианттылық аномалды деп есептеледі. Масштабтық инварианттылығы кванттық эффектілермен бұзылған классикалық масштабтық өріс теориясы, теорияны perturbation теориясы арқылы зерттеу мүмкіндігі болғанда, ерте ғаламның шамамен экспоненциалдық кеңеюін, яғни ғарыштық инфляцияны түсіндіреді.
Фазалық ауысулар
Статистикалық механикада жүйе фазалық өтуге ұшырағанда, оның флуктуациялары масштабты инвариантты статистикалық өріс теориясымен сипатталады. Д кеңістік өлшемдеріндегі тепе-теңдік күйдегі (яғни уақытқа тәуелсіз) жүйе үшін сәйкес статистикалық өріс теориясы формальды түрде Д өлшемді КӨТ-қа (конформдық өріс теориясы) ұқсас. Мұндай мәселелердегі масштабтау өлшемдері әдетте сындық көрсеткіштер деп аталады, және принцип бойынша осы көрсеткіштерді тиісті КӨТ-де есептеуге болады.
Исинг моделі
Осы мақаладағы көптеген идеяларды байланыстыратын мысал – ферромагниттік заттардың қарапайым моделі – Исинг моделінің фазалық өтуі. Бұл статистикалық механика моделі, сонымен қатар конформдық өріс теориясы тұрғысынан да сипатталады. Жүйе D өлшемді периодтық тор құрайтын торлық түйіндер массивінен тұрады. Әрбір торлық түйінге магниттік момент немесе спин сәйкес келеді, және бұл спин +1 немесе -1 мәнін қабылдай алады. (Бұл күйлер сәйкесінше жоғары және төмен деп те аталады.) Маңызды жайт – Исинг моделінде спин-спин өзара әрекеттесуі бар, бұл екі жақын спиннің бір-біріне бағытталуын энергетикалық тұрғыдан тиімді етеді. Алайда, жылулық флуктуациялар спиндердің бағытталуына кездейсоқтық енгізеді. Белгілі бір сындық температурада, Tc, спонтанды магниттеу пайда болады делінеді. Бұл Tc төмен спин-спин өзара әрекеттесуі үстемдік ете бастайды және екі бағыттың бірінде спиндердің белгілі бір деңгейде бағытталуына әкеледі дегенді білдіреді. Осы сындық температурада есептеуге болатын физикалық шамалардың мысалы – арақашықтығы r болатын спиндер арасындағы корреляция. Ол мынадай жалпы мінез-құлыққа ие:
бірқатар нақты мән үшін , бұл сындық көрсеткіштің мысалы.
ШраммЛоэнер эволюциясы
Кейбір екі өлшемді КФТ-дегі аномальды өлшемдер, кездейсоқ қозғалыстардың әдеттегі фракталдық өлшемдерімен байланыстырылуы мүмкін, мұнда кездейсоқ қозғалыстар Шрамм-Лоунер эволюциясы (SLE) арқылы анықталады. Жоғарыда көрсілгендей, КФТ фазалық өтулердің физикасын сипаттайды, сондықтан кейбір фазалық өтулердің сындық көрсеткіштерін осы фракталдық өлшемдермен байланыстыруға болады. Мысалдарға 2D-критикалық Исинг моделі және одан да жалпы 2D-критикалық Поттс моделі жатады. Басқа 2D КФТ-ді SLE-мен байланыстыру – қазіргі таңдағы зерттеулердің маңызды бағыты.
Жалпыға бірдейлік
Универсалдылық деп аталатын құбылыс физикалық жүйелердің кең ауқымында кездеседі. Ол түрлі микроскопиялық физика фазалық өту кезінде бірдей масштабтау мінез-құлқына әкелуі мүмкін деген идеяны білдіреді. Универсалдылықтың канондық мысалы келесі екі жүйені қамтиды: жоғарыда сипатталған Изинг моделінің фазалық өтуі. Классикалық сұйықтықтардағы сұйықтан буға өту. Бұл екі жүйенің микроскопиялық физикасы толығымен өзгеше болғанымен, олардың критикалық көрсеткіштері бірдей болып шығады. Сонымен қатар, осы көрсеткіштерді бірдей статистикалық өріс теориясын қолдана отырып есептеуге болады. Басты байқау – фазалық өту немесе сындық нүктеде флуктуациялар барлық ұзындық масштабтарында пайда болады, сондықтан құбылысты сипаттау үшін масштабқа тәуелсіз статистикалық өріс теориясын іздеу қажет. Бір жағынан, универсалдылық – мұндай масштабқа тәуелсіз теориялардың салыстырмалы түрде аз екендігі туралы байқау. Бір масштабқа тәуелсіз теориямен сипатталатын әр түрлі микроскопиялық теориялар жиынтығы универсалдылық класы деп аталады. Универсалдылық класына жататын жүйелердің басқа мысалдары: құм үйінділеріндегі қар көшкіндері. Қар көшкінінің пайда болу ықтималдығы оның мөлшеріне пропорционал күш заңымен өседі және қар көшкіндері барлық мөлшерде кездеседі. Интернет желісіндегі ақаулардың жиілігі, олардың мөлшері мен ұзақтығына байланысты. Берілген мақаладағы сілтемелер санына байланысты барлық мақалалар арасындағы сілтемелер желісіндегі журналдық мақалаларға сілтеме жасау жиілігі. Болаттан тасқа дейін қағазға дейін материалдардағы жарықтар мен жыртықтардың пайда болуы мен таралуы. Жыртықтың бағытының өзгеруі немесе сынық бетінің тегіссіздігі өлшем масштабына пропорционал күш заңымен өседі. Жарықтар мен жыртықтарға ұқсайтын диэлектриктердің электрлік түзілуі. Бұзылған орта арқылы сұйықтықтардың сіңуі, мысалы, жарылған тау жыныстары арқылы мұнай немесе хроматографиядағыдай сүзгі қағаз арқылы судың өтуі. Күш заңы масштабтау ағын жылдамдығын жарықтардың таралуымен байланыстырады. Ерітіндіштегі молекулалардың диффузиясы және диффузиялық шектеулі агрегация құбылысы. Тербеліске ұшыраған агрегаттық қоспадағы әр түрлі мөлшердегі тау жыныстарының таралуы (тасқа гравитация әсер етеді). Басты байқау – осы әр түрлі жүйелердің барлығындағы мінез-құлық фазалық өтуге ұқсайды және оларды сипаттау үшін статистикалық механиканың тілі мен масштабқа тәуелсіз статистикалық өріс теориясын қолдануға болады.
The Ising model phase transition, described above. The liquid vapour transition in classical fluids. Even though the microscopic physics of these two systems is completely different, their critical exponents turn out to be the same. Moreover, one can calculate these exponents using the same statistical field theory. The key observation is that at a phase transition or critical point, fluctuations occur at all length scales, and thus one should look for a scale invariant statistical field theory to describe the phenomena. In a sense, universality is the observation that there are relatively few such scale invariant theories. The set of different microscopic theories described by the same scale invariant theory is known as a universality class. Other examples of systems which belong to a universality class are:
Avalanches in piles of sand. The likelihood of an avalanche is in power law proportion to the size of the avalanche, and avalanches are seen to occur at all size scales. The frequency of network outages on the Internet, as a function of size and duration. The frequency of citations of journal articles, considered in the network of all citations amongst all papers, as a function of the number of citations in a given paper. The formation and propagation of cracks and tears in materials ranging from steel to rock to paper. The variations of the direction of the tear, or the roughness of a fractured surface, are in power law proportion to the size scale. The electrical breakdown of dielectrics, which resemble cracks and tears. The percolation of fluids through disordered media, such as petroleum through fractured rock beds, or water through filter paper, such as in chromatography. Power law scaling connects the rate of flow to the distribution of fractures. The diffusion of molecules in solution, and the phenomenon of diffusion limited aggregation. The distribution of rocks of different sizes in an aggregate mixture that is being shaken (with gravity acting on the rocks). The key observation is that, for all of these different systems, the behaviour resembles a phase transition, and that the language of statistical mechanics and scale invariant statistical field theory may be applied to describe them.
Компьютерлік көру
Компьютерлік көру және биологиялық көруде масштабтау түрленулері перспективалық бейне проекциясының және әлемдегі физикалық мөлшері әртүрлі объектілердің болуынан туындайды. Осы салаларда масштабқа қатысты өзгермейтінлік – бұл бейне доменіндегі жергілікті масштаб өзгерген кезде өзгермей қалатын жергілікті бейне сипаттамаларын немесе бейне деректерінің визуальды өрнектерін білдіреді. Нормаланған туынды жауаптарының масштабтары бойынша жергілікті максимумдарды анықтау бейне деректерінен масштабқа қатысты өзгермейтінлікті алу үшін жалпы құрылымды ұсынады. Қолданылу мысалдарына дақтарды анықтау, бұрыштарды анықтау, қырларды анықтау және масштабқа қатысты өзгермейтін ерекшеліктерді түрлендіру арқылы объектілерді тану жатады.