Введение

Особенности, которые не изменяются при умножении масштабов длины или энергии на общий фактор.

В физике, математике и статистике, инвариантность масштаба – это свойство объектов или законов, которые не меняются, если масштабы длины, энергии или других переменных умножаются на общий фактор, и таким образом представляют собой универсальность. Техническим термином для этого преобразования является дилатация (также известная как растяжение). Дилатации могут быть частью более широкой конформной симметрии. В математике инвариантность масштаба обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых. Тесно связанным понятием является самоподобие, когда функция или кривая инвариантна относительно дискретного подмножества дилатаций. Также возможно, что распределения вероятностей случайных процессов демонстрируют этот тип инвариантности масштаба или самоподобия. В классической теории поля инвариантность масштаба чаще всего применяется к инвариантности всей теории при дилатациях. Такие теории обычно описывают классические физические процессы, не имеющие характерного масштаба длины. В квантовой теории поля инвариантность масштаба имеет интерпретацию в терминах физики частиц. В теории, инвариантной относительно масштаба, сила взаимодействия частиц не зависит от энергии участвующих частиц. В статистической механике инвариантность масштаба является свойством фазовых переходов. Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки флуктуации возникают во всех масштабах длины, и, следовательно, следует искать явно инвариантную относительно масштаба теорию для описания этих явлений. Такие теории являются статистическими полевыми теориями с инвариантностью масштаба и формально очень похожи на квантовые полевые теории с инвариантностью масштаба. Универсальность – это наблюдение, что широко различающиеся микроскопические системы могут проявлять одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны одной и той же базовой инвариантной теорией масштаба. В общем случае, безразмерные величины являются инвариантными относительно масштаба. Аналогичным понятием в статистике являются стандартизированные моменты, которые являются статистиками переменной, инвариантными относительно масштаба, в то время как нестандартизированные моменты – нет.

Проективная геометрия

Идея масшта́бной инвариа́нтности моно́ма обобща́ется в бо́лее высо́ких разме́рностях до иде́и одноро́дного полино́ма, а в более широком смысле – до одноро́дной фу́нкции. Одноро́дные фу́нкции есте́ственно существуют в проекти́вном простра́нстве, а одноро́дные полино́мы изуча́ются как проекти́вные многообра́зия в проекти́вной геометрии. Проекти́вная геометрия – о́собенно бога́тая о́бласть математи́ки; в свои́х наибо́лее абстра́ктных форма́х, геометрии схем, она име́ет свя́зи с разли́чными вопро́сами в тео́рии стру́н.

Фракталы

Иногда говорят, что фракталы инвариантны относительно масштаба, хотя точнее было бы сказать, что они самоподобны. Фрактал равен самому себе, как правило, лишь для дискретного набора значений λ, и даже в этом случае может потребоваться сдвиг и поворот, чтобы совместить фрактал с самим собой. Например, кривая Коха масштабируется с , но это масштабирование справедливо только для значений при целом числе n. Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но, в определенном смысле, "везде": миниатюрные копии самой себя можно найти вдоль всей кривой. Некоторые фракталы могут иметь несколько коэффициентов масштабирования, действующие одновременно; такое масштабирование изучается с помощью мультифрактального анализа. Периодические внешние и внутренние лучи являются инвариантными кривыми.

Квантовая электродинамика

Простым примером масштабно-инвариантной КФТ является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовы и не взаимодействуют), и поэтому она является масштабно-инвариантной, как и классическая теория. Однако в природе электромагнитное поле взаимодействует с заряженными частицами, такими как электроны. КФТ, описывающая взаимодействие фотонов и заряженных частиц, называется квантовой электродинамикой (КЭД), и эта теория не является масштабно-инвариантной. Мы можем увидеть это из бета-функции КЭД. Она показывает, что электрический заряд (который является параметром связи в этой теории) возрастает с увеличением энергии. Следовательно, хотя квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантным, КЭД – нет.

Теория безмассового скалярного поля

Свободная, безмассовая квантовая теория скалярного поля не имеет параметров связи. Поэтому, как и классический вариант, она инвариантна относительно масштаба. В терминах группы перенормировки эта теория известна как гауссовская фиксированная точка. Однако, хотя классическая безмассовая φ⁴-теория инвариантна относительно масштаба при D = 4, её квантованная версия этой инвариантностью не обладает. Это можно увидеть из бета-функции для параметра связи g.

Несмотря на то, что квантованная безмассовая φ⁴-теория не инвариантна относительно масштаба, существуют другие квантованные теории скалярного поля, инвариантные относительно масштаба, помимо гауссовской фиксированной точки. Одним из примеров является фиксированная точка Уилсона — Фишера, представленная ниже.

Конформная теория поля

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформной симметрии, и изучение таких КТП является конформной теорией поля (КТП). Операторы в КТП имеют чётко определённую размерность масштабирования, аналогичную размерности масштабирования ∆ классического поля, обсуждаемого выше. Однако размерности масштабирования операторов в КТП обычно отличаются от размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные вклады, возникающие в КТП, известны как аномальные размерности масштабирования.

Масштабные и конформные аномалии

Приведенный выше пример теории φ4 демонстрирует, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля является инвариантной относительно масштаба (или конформно инвариантной). Если это происходит, то классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальной. Классическая теория поля, инвариантная относительно масштаба, в которой эта инвариантность нарушается квантовыми эффектами, дает объяснение почти экспоненциальному расширению ранней Вселенной, известному как космическая инфляция, при условии, что теория может быть исследована в рамках теории возмущений.

Фазовые переходы

В статистической механике, при прохождении системой фазового перехода, её флуктуации описываются статистической теорией поля, инвариантной относительно масштаба. Для системы, находящейся в равновесии (то есть не зависящей от времени) в D пространственных измерениях, соответствующая статистическая теория поля формально аналогична D-мерной конформной теории поля (CFT). Размеры масштабирования в таких задачах обычно называют критическими показателями, и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующей CFT.

Модель Исинга

Примером, объединяющим многие идеи, представленные в этой статье, является фазовый переход модели Изинга – простой модели ферромагнитных веществ. Это модель статистической механики, которая также может быть описана в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, образующих периодическую решетку размерности D. С каждым узлом решетки связан магнитный момент, или спин, который может принимать значения +1 или −1. (Эти состояния также называют соответственно «вверх» и «вниз».) Важно отметить, что модель Изинга характеризуется спин-спиновым взаимодействием, благодаря которому энергетически выгодно, чтобы два соседних спина были ориентированы одинаково. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят случайность в ориентацию спинов. При некоторой критической температуре Tc возникает спонтанная намагниченность. Это означает, что при температурах ниже Tc спин-спиновое взаимодействие начинает преобладать, и наблюдается некоторое чистое выравнивание спинов в одном из двух направлений. Примером физических величин, которые можно рассчитать при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием r. Она имеет общий вид:

для некоторого конкретного значения , являющегося примером критического показателя.

Эволюция Шрамм-Лоэнер

Аномальные размеры в некоторых двухмерных конформных теориях поля (CFT) могут быть связаны с типичными фрактальными размерностями случайных блужданий, которые определяются посредством эволюции Шрамма-Лоэнера (SLE). Как мы видели выше, CFT описывают физику фазовых переходов, и, следовательно, можно соотнести критические показатели определенных фазовых переходов с этими фрактальными размерностями. Примеры включают в себя двумерную критическую модель Изинга и более общую двумерную критическую модель Поттса. Установление связи между другими двумерными CFT и SLE является активной областью исследований.

Универсальность

Феномен, известный как универсальность, наблюдается в большом разнообразии физических систем. Он выражает идею о том, что различная микроскопическая физика может приводить к одному и тому же масштабирующему поведению в точке фазового перехода. Канонический пример универсальности включает в себя следующие две системы: фазовый переход модели Изинга, описанный выше, и переход жидкость-пар в классических жидкостях. Несмотря на то, что микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, эти показатели можно рассчитать, используя одну и ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение заключается в том, что в точке фазового перехода или критической точке возникают флуктуации во всех масштабах, и, следовательно, для описания явлений следует искать статистическую теорию поля, инвариантную относительно масштаба. В некотором смысле универсальность – это наблюдение о том, что существует относительно немного таких масштабно-инвариантных теорий. Множество различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, известно как класс универсальности. Другие примеры систем, принадлежащих к классу универсальности: лавины в кучах песка, где вероятность лавины пропорциональна размеру лавины в соответствии со степенным законом, и лавины наблюдаются во всех масштабах; частота сбоев в работе сети Интернет в зависимости от размера и продолжительности; частота цитирования журнальных статей, рассматриваемая в сети всех цитирований между статьями, как функция числа цитирований данной статьи; формирование и распространение трещин и разрывов в материалах, от стали до камня и бумаги, где изменения направления разрыва или шероховатости поверхности разлома пропорциональны масштабу; электрический пробой диэлектриков, который напоминает образование трещин и разрывов; просачивание жидкостей через неупорядоченные среды, такие как нефть через трещиноватые горные породы или вода через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии, где степенное масштабирование связывает скорость потока с распределением трещин; диффузия молекул в растворе и феномен диффузионно-ограниченной агрегации; распределение камней разных размеров в смеси, которая встряхивается (под действием силы тяжести на камни). Ключевое наблюдение заключается в том, что поведение всех этих различных систем напоминает фазовый переход, и для их описания можно применить язык статистической механики и масштабно-инвариантной статистической теории поля.

Компьютерное зрение

В компьютерном зрении и биологическом зрении преобразования масштаба возникают вследствие перспективного отображения изображений и из-за объектов различного физического размера в реальном мире. В этих областях инвариантность к масштабу относится к локальным дескрипторам изображений или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются неизменными при изменении локального масштаба в пространстве изображения. Обнаружение локальных максимумов по масштабам нормализованных производных предоставляет общий подход к достижению инвариантности к масштабу из данных изображения. Примеры применения включают обнаружение пятен, углов, гребней и распознавание объектов с помощью преобразования масштабно-инвариантных признаков.