Кіріспе

Рет теориясындағы жиынтықтардың мөлшері

Математикада, әсіресе рет теориясында, жартылай реттелген жиын A-ның кофиналдығы cf(A) – A жиынының кофиналды жиынтықтарының кардиналдықтарының ең кішісі. Кофиналдылықтың бұл анықтамасы таңдау аксиомасына негізделген, себебі ол әрбір бос емес кардиналдық сандар жиынтығының ең кіші мүшесі бар екендігін пайдаланады. Жартылай реттелген жиын A-ның кофиналдығын ең аз ординал x ретінде де анықтауға болады, яғни x-тен A-ға кофиналды кескінмен функция бар. Бұл екінші анықтама таңдау аксиомасы болмаса да түсінікті. Егер таңдау аксиомасы қабылданатын болса, бұл мақаланың қалған бөлігіндегідей, екі анықтама да эквивалентті. Кофиналдылық бағытталған жиын үшін де осылай анықталуы мүмкін және ол желідегі ізбектілік ұғымын жалпылау үшін қолданылады.

Мысалдар

Ең үлкен элементі бар ішінара реттелген жиынның кофиналдылығы 1-ге тең, себебі тек ең үлкен элементтен тұратын жиын кофиналды (және ол басқа барлық кофиналды кіші жиынның құрамында болуы керек). Атап айтқанда, кез келген нөлден өзгеше шекті ординалдың, немесе тіпті кез келген шекті бағытталған жиынның кофиналдылығы 1-ге тең, себебі мұндай жиындарда ең үлкен элемент болады. Ішінара реттелген жиынның әрбір кофиналды кіші жиыны сол жиынның барлық максималды элементтерін қамтуы тиіс. Осылайша, шекті ішінара реттелген жиынның кофиналдылығы оның максималды элементтерінің санына тең. Атап айтқанда, |X| өлшемді жиын болсын және |X| элементінен аспайтын элементтер жиынтығын қарастырайық. Бұл кіріктіру бойынша ішінара реттелген, ал |X| элементі бар кіші жиындар максималды. Осылайша, осы ішінара реттелген жиынның кофиналдылығы – |X| элементтен |k| элементті таңдаудың жолдары. Натурал сандардың кіші жиыны натурал сандар жиынында кофиналды болады, егер және тек қана ол шексіз болса, демек, натурал сандар жиынының кофиналдылығы ℵ₀-ге тең. Осылайша, ℵ₀ – реттегіш кардинал. Нақты сандардың әдеттегі ретімен кофиналдылығы ℵ₀-ге тең, себебі ℵ₀ нақты сандар жиынында кофиналды. Нақты сандардың кардиналдығына изоморфты емес реттің әдеттегі ретіндегі кофиналдылығы, оның кофиналдылығы қатаң түрде үлкен. Бұл кофиналдылықтың ретке тәуелді екенін көрсетеді; бір жиынның әртүрлі реттері әртүрлі кофиналдылыққа ие болуы мүмкін.

Қасиеттері

Егер толық реттелген кофиналдық қосалқы жиынды қабылдаса, онда біз жақсы реттелген және кез келген қосалқы жиында кофинал болатын қосалқы жиынды таба аламыз. -ның кез келген қосалқы жиыны да жақсы реттелген болады. -ның минималды кардиналдылығы бар (яғни, олардың кардиналдылығы -ның кофиналдылығы) екі кофиналдық қосалқы жиынтық реттік изоморфты болуы міндетті емес (мысалы, егер және -ның қосалқы жиынтықтары ретінде қарастырылса, екеуі де -ның кофиналдылығының саналатын кардиналдылығына ие болса да, реттік изоморфты болмайды). Бірақ, минималды реттік типті кофиналдық қосалқы жиынтықтар реттік изоморфты болады.

Ординалдар мен басқа да жақсы реттелген жиынтықтардың кофиналдығы

Ординалдың кофиналдылығы – бұл -ның кофиналды жиынтығының рет түріне тең болатын ең кішкентай ординал. Ординалдар жиынының немесе кез келген басқа жақсы реттелген жиынтықтың кофиналдылығы – сол жиынтықтың рет түрінің кофиналдылығымен анықталады. Осылайша, шекті ординал үшін индекстік қатаң өсу тізбегі бар, оның лимиті болады. Мысалы, кофиналдылығы -қа тең, себебі (мұнда натурал сандар бойынша өтеді) тізбегі -ке ұмтылады, бірақ жалпы алғанда, кез келген саналатын шекті ординалдың кофиналдылығы -ға тең. Санауға болмайтын шекті ординал сияқты кофиналдылығына ие болуы мүмкін, немесе санауға болмайтын кофиналдылыққа ие болуы мүмкін. 0-дың кофиналдылығы 0-ге тең. Кез келген ізбасар ординалдың кофиналдылығы 1-ге тең. Кез келген нөлден өзгеше шекті ординалдың кофиналдылығы – шексіз тұрақты кардинал.

Тұрақты және дара сандар

Қалыпты реттік сан – өзінің кофиналдығына тең реттік сан. Ерекше реттік сан – тұрақты емес кез келген реттік сан. Кез келген қалыпты реттік сан – кардиналдың бастапқы реттік саны. Қалыпты реттік сандардың кез келген лиміті бастапқы реттік сандардың лиміті болып табылады, сондықтан ол да бастапқы, бірақ міндетті түрде қалыпты болуы қажет емес. Таңдау аксиомасын қабылдасақ, әрбір үшін қалыпты болады. Бұл жағдайда, және реттік сандары қалыпты, ал және бастапқы реттік сандары қалыпты емес. Кез келген реттік санның кофиналдығы – қалыпты реттік сан, яғни, кофиналдылықтың кофиналдылығы – реттік санның өзінің кофиналдығымен бірдей. Осылайша, кофиналдылық операциясы өзгермейді (идемпотентті).