Введение

Размер возможно бесконечного множества – математическая концепция.

В математике кардинальное число, или просто кардинал, – это то, что обычно называют числом элементов множества. В случае конечного множества его кардинальное число, или кардинальность, является натуральным числом. Для работы со случаем бесконечных множеств введены бесконечные кардинальные числа, которые часто обозначаются еврейской буквой алеф (ℬ) с индексом, указывающим их ранг среди бесконечных кардиналов. Кардинальность определяется через биективные функции. Два множества имеют одинаковую кардинальность тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между элементами этих двух множеств. В случае конечных множеств это согласуется с интуитивным понятием количества элементов. В случае бесконечных множеств поведение более сложное. Фундаментальная теорема Георга Кантора показывает, что бесконечные множества могут иметь разные кардинальности, и в частности кардинальность множества действительных чисел больше кардинальности множества натуральных чисел. Также возможно, чтобы собственное подмножество бесконечного множества имело ту же кардинальность, что и исходное множество – что невозможно для собственных подмножеств конечных множеств. Существует трансфинитная последовательность кардинальных чисел:

Эта последовательность начинается с натуральных чисел, включая ноль (конечные кардиналы), за которыми следуют числа алеф. Числа алеф индексируются порядковыми числами. Если аксиома выбора верна, эта трансфинитная последовательность включает в себя каждое кардинальное число. Если аксиома выбора не верна (см.), существуют бесконечные кардиналы, которые не являются числами алеф. Кардинальность изучается как самостоятельная область теории множеств. Она также является инструментом, используемым в различных разделах математики, включая теорию моделей, комбинаторику, абстрактную алгебру и математический анализ. В теории категорий кардинальные числа образуют скелет категории множеств.

Формальное определение

Формально, исходя из аксиомы выбора, кардинальность множества X — наименьшее порядковое число α, такое, что между X и α существует биекция. Это определение известно как кардинальное соответствие фон Неймана. Если аксиома выбора не предполагается, то требуется другой подход. Самое старое определение кардинальности множества X (подразумевается у Кантора и явно сформулировано у Фреге и в Principia Mathematica) — это класс [X] всех множеств, равномощных X. Это не работает в ZFC или других связанных системах аксиоматической теории множеств, поскольку если X не пусто, то эта коллекция слишком велика, чтобы быть множеством. Фактически, для X ≠ ∅ существует инъекция из вселенной в [X], отображающая множество m в {m} × X, и, следовательно, по аксиоме ограничения размера, [X] является собственным классом. Однако это определение работает в теории типов и в New Foundations и связанных системах. Если же мы ограничим этот класс теми равномощными с X множествами, имеющими наименьший ранг, то оно будет работать (этот прием принадлежит Дане Скотту: он работает, поскольку коллекция объектов с любым заданным рангом является множеством). Соответствие фон Неймана подразумевает, что кардинальное число конечного множества является общим порядковым числом всех возможных упорядочений этого множества, а кардинальная и порядковая арифметика (сложение, умножение, возведение в степень, вычитание) дают одинаковые результаты для конечных чисел. Однако для бесконечных чисел они различаются. Например, в порядковой арифметике, а в кардинальной арифметике, хотя соответствие фон Неймана ставит. С другой стороны, прием Скотта подразумевает, что кардинальное число 0 равно , которое также является порядковым числом 1, что может вводить в заблуждение. Возможный компромисс (чтобы воспользоваться согласованностью в конечной арифметике, избегая при этом зависимости от аксиомы выбора и путаницы в бесконечной арифметике) заключается в применении соответствия фон Неймана к кардинальным числам конечных множеств (тем, которые можно хорошо упорядочить и не эквивалентны собственным подмножествам) и использовании приема Скотта для кардинальных чисел других множеств. Формально, порядок между кардинальными числами определяется следующим образом: |X| ≤ |Y| означает, что существует инъективное отображение из X в Y. Теорема Кантора — Бернштейна — Шредера утверждает, что если |X| ≤ |Y| и |Y| ≤ |X|, то |X| = |Y|. Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что для любых двух множеств X и Y либо |X| ≤ |Y|, либо |Y| ≤ |X|. Множество X называется Дедекиндово бесконечным, если существует собственное подмножество Y множества X, такое, что |X| = |Y|, и Дедекиндово конечным, если такого подмножества не существует. Конечные кардиналы — это натуральные числа, в том смысле, что множество X конечно тогда и только тогда, когда |X| = |n| = n для некоторого натурального числа n. Любое другое множество бесконечно. Предполагая аксиому выбора, можно доказать, что понятия Дедекинда соответствуют стандартным. Также можно доказать, что кардинал (алеф-нуль или алеф-0, где алеф — первая буква еврейского алфавита, обозначаемая ) множества натуральных чисел является наименьшим бесконечным кардиналом (то есть любое бесконечное множество имеет подмножество кардинальности ). Следующий по величине кардинал обозначается , и так далее. Для каждого порядкового числа α существует кардинальное число , и этот список исчерпывает все бесконечные кардинальные числа.

Кардинальная арифметика

Мы можем определить арифметические операции над кардинальными числами, которые обобщают обычные операции над натуральными числами. Можно показать, что для конечных кардиналов эти операции совпадают с обычными операциями для натуральных чисел. Более того, эти операции обладают многими свойствами, общими для обычной арифметики.

Кардинал-преемник

Если аксиома выбора верна, то каждый кардинал κ имеет преемник, обозначаемый κ+, где κ+ > κ и между κ и его преемником нет кардиналов. (Без аксиомы выбора, используя теорему Хартогса, можно показать, что для любого кардинального числа κ существует минимальный кардинал κ+ такой, что) Для конечных кардиналов преемником является просто κ + 1. Для бесконечных кардиналов кардинальный преемник отличается от порядкового преемника.

Вычитание

Принимая аксиому выбора и, учитывая бесконечный кардинал σ и кардинал μ, существует кардинал κ такой, что μ + κ = σ тогда и только тогда, когда μ ≤ σ. Этот кардинал будет единственным (и равным σ) тогда и только тогда, когда μ < σ.

Кардинальное умножение

Произведение кардиналов определяется через декартово произведение.

Гипотеза континуума

Гипотеза континуума (CH) утверждает, что не существует кардиналов, строго лежащих между ℵ₀ и ℵ₁. Последнее кардинальное число также часто обозначается как 𝕔; это кардинальность континуума (множества вещественных чисел). В этом случае, аналогично, обобщённая гипотеза континуума (GCH) утверждает, что для каждого бесконечного кардинала κ не существует кардиналов, строго лежащих между κ и 2^κ. И гипотеза континуума, и обобщённая гипотеза континуума были доказаны независимыми от обычных аксиом теории множеств, аксиом Цермело — Френкеля вместе с аксиомой выбора (ZFC). Действительно, теорема Истона показывает, что для регулярных кардиналов κ единственные ограничения, которые ZFC накладывает на кардинальность 2^κ, заключаются в том, что κ ≤ 2^κ, и что экспоненциальная функция не убывает.