Ландаудың демпфирлеуі: Плазма және галактика динамикасындағы толқын энергиясының жұтылуы
Landau damping
Ландаудың демпфирлеуі: плазмадағы толқындардың өшуі, галактика динамикасы, және бұл құбылыстың физикадағы маңызды ролі. Эксперименттік дәлелдері де бар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Физикада Ландау демпингі, оның ашқан адамы, совет физигі Лев Давидович Ландаудың (1908–68) есімімен аталады. Бұл плазмада немесе осыған ұқсас ортадағы бойлық кеңістік заряд толқындарының демпингі (уақытқа байланысты экспоненциалдық азаю) әсері. Бұл құбылыс тұрақсыздық пайда болуына кедергі келтіреді және параметрлер кеңістігінде тұрақтылық аймағын құрайды. Кейін Дональд Линден Белл галактикалық динамикада ұқсас құбылыс орын алатынын көрсетті, онда электростатикалық күштермен әрекеттесетін электрондар газы, гравитациялық күштермен әрекеттесетін "жұлдыздар газымен" алмастырылады. Ландау демпингін, мысалы, бөлшектік-торлы симуляция сияқты сандық симуляцияларда дәл басқаруға болады. Оның бар екендігі 1964 жылы Малмберг пен Уортон тәжірибелік жолмен дәлелдеді, бұл Ландаудың 1946 жылы жасаған болжамынан шамамен екі он жылдай кейін болды.
In physics, Landau damping, named after its discoverer, Soviet physicist Lev Davidovich Landau (1908–68), is the effect of damping (exponential decrease as a function of time) of longitudinal space charge waves in plasma or a similar environment. This phenomenon prevents an instability from developing, and creates a region of stability in the parameter space. It was later argued by Donald Lynden Bell that a similar phenomenon was occurring in galactic dynamics, where the gas of electrons interacting by electrostatic forces is replaced by a "gas of stars" interacting by gravitational forces. Landau damping can be manipulated exactly in numerical simulations such as particle in cell simulation. It was proved to exist experimentally by Malmberg and Wharton in 1964, almost two decades after its prediction by Landau in 1946.
Толқын-бөлшектік өзара әсерлері
Ландау шамалығы (демпфирование) фазалық жылдамдығы *v<sub>p</sub>* болатын электромагниттік толқын мен плазмадағы шамамен *v<sub>p</sub>* жылдамдыққа ие бөлшектер арасындағы энергия алмасу нәтижесінде пайда болады, олар толқынмен күшті өзара әрекеттесе алады. *v<sub>p</sub>* жылдамдығынан сәл кем жылдамдықпен қозғалатын бөлшектер толқынның электр өрісі арқылы үдеп, толқынның фазалық жылдамдығымен қозғала бастайды, ал *v<sub>p</sub>* жылдамдығынан сәл артық жылдамдықпен қозғалатын бөлшектер толқынға энергиясын жоғалтып, тежеледі – бөлшектер толқынмен синхронды болуға бейім. Бұл жылжымалы толқын түтігі арқылы эксперименталды түрде дәлелденген. Идеалдық магнитогидродинамикалық (МГД) плазмада бөлшектердің жылдамдықтары көбінесе Максвелл тарату функциясы ретінде қарастырылады. Егер функцияның еңісі теріс болса, толқын фазалық жылдамдығынан сәл кем жылдамдықпен қозғалатын бөлшектердің саны, толқын фазалық жылдамдығынан сәл артық жылдамдықпен қозғалатын бөлшектердің санынан көп болады. Осылайша, толқыннан энергия жоғалтатын бөлшектерге қарағанда, толқыннан энергия алатын бөлшектер көп, бұл толқынның демпфирленуіне (тұншығуына) әкеледі. Егер функцияның еңісі оң болса, толқын фазалық жылдамдығынан сәл кем жылдамдықпен қозғалатын бөлшектердің саны, толқын фазалық жылдамдығынан сәл артық жылдамдықпен қозғалатын бөлшектердің санынан кем болады. Осылайша, толқыннан энергия алатын бөлшектерге қарағанда, толқынға энергиясын жоғалтатын бөлшектер көп, бұл толқын энергиясының өсуіне әкеледі. Онда Ландау демпфирленуі Ландау өсуімен алмастырылады.
Landau damping occurs because of the energy exchange between an electromagnetic wave with phase velocity and particles in the plasma with velocity approximately equal to , which can interact strongly with the wave. Those particles having velocities slightly less than will be accelerated by the electric field of the wave to move with the wave phase velocity, while those particles with velocities slightly greater than will be decelerated losing energy to the wave: particles tend to synchronize with the wave. This is proved experimentally with a traveling wave tube. In an ideal magnetohydrodynamic (MHD) plasma the particle velocities are often taken to be approximately a Maxwellian distribution function. If the slope of the function is negative, the number of particles with velocities slightly less than the wave phase velocity is greater than the number of particles with velocities slightly greater. Hence, there are more particles gaining energy from the wave than losing to the wave, which leads to wave damping. If, however, the slope of the function is positive, the number of particles with velocities slightly less than the wave phase velocity is smaller than the number of particles with velocities slightly greater. Hence, there are more particles losing energy to the wave than gaining from the wave, which leads to a resultant increase in the wave energy. Then Landau damping is substituted with Landau growth.
Физикалық түсіндіру
Ландаудың тұншықтыруының математикалық теориясы біршама күрделі. Дегенмен, шекті амплитудасы бар толқындар үшін қарапайым физикалық түсіндірме бар. Ландаудың тұншықтыруы кез келгендей шағын амплитудасы бар толқындар үшін де пайда болатындықтан, бұл тұншықтыруға ең белсенді қатысатын бөлшектердің тұтқындалмағанын көрсетеді. Бұл заңды, себебі тұтқындау мұндай толқындар үшін (әсіресе толқын амплитудасы үшін) уақыттың әртүрлі масштабтарын қамтиды.
The mathematical theory of Landau damping is somewhat involved However, in the case of waves with finite amplitude, there is a simple physical interpretation Since Landau damping occurs for waves with arbitrarily small amplitudes, this shows the most active particles in this damping are far from being trapped. This is natural, since trapping involves diverging time scales for such waves (specifically for a wave amplitude ).
Тоқыратушы шешімдер үшін Коши проблемасы
Математикалық теория эволюциялық теңдеудің Коши проблемасын шешуге (мұнда Vlasov–Poisson теңдеуінің дербес дифференциалы) және шешімге қатысты бағалауларды дәлелдеуге негізделген. Ландаудан бері толыққанды сызықтық математикалық теория жасалған. Сызықтық теңдеуден асып, сызықтық емеспен жұмыс істеу Ландау демппингінің математикалық теориясында ұзақ жылдар бойы шешілмей келген мәселе. Бұрынғы математикалық нәтижелердің бірі – Власов–Пойсон теңдеуінің сызықтық емес деңгейде экспоненциалды түрде демппингтелген шешімдер класының болуы. Бұл нәтиже шашырату әдісі арқылы дәлелденген (бұл нәтиже жақында кеңейтілді). Дегенмен, бұл нәтижелер қандай бастапқы деректер мұндай демппингтелген шешімдерге алып келуі мүмкін екендігі туралы ештеңе айтпайды. Француз математиктері Седрик Виллани мен Клемент Мухо жариялаған мақалада бастапқы деректер мәселесі шешілді және сызықтық емес Власов теңдеуі үшін Ландау демппингі алғаш рет математикалық тұрғыдан орнатылды. Сызықтық тұрақты біртекті стационарлы шешімдердің белгілі бір маңайында (аналитикалық немесе Геври топологиясы үшін) басталатын шешімдер барлық уақытта (орбиталық) тұрақты және уақыт бойынша жаһандық демппингке ұшырайды. Демппинг құбылысы энергия алмасудың орнына реттелудің ауысуы ретінде қайта қарастырылады, функция ретінде және , сәйкесінше. Ірі масштабты өзгерістер жылдамдық кеңістігінде кішірек және кішірек масштабты өзгерістерге айналады, бұл функция ретінде Фурье спектрінің ауытқуына сәйкес келеді. Бұл ауытқу сызықтық теорияда жақсы белгілі, сызықтық емес жағдайда да сақталады екені дәлелденді.
The rigorous mathematical theory is based on solving the Cauchy problem for the evolution equation (here the partial differential Vlasov–Poisson equation) and proving estimates on the solution. First a rather complete linearized mathematical theory has been developed since Landau. Going beyond the linearized equation and dealing with the nonlinearity has been a longstanding problem in the mathematical theory of Landau damping. Previously one mathematical result at the non linear level was the existence of a class of exponentially damped solutions of the Vlasov–Poisson equation in a circle which had been proved in by means of a scattering technique (this result has been recently extended in). However these existence results do not say anything about which initial data could lead to such damped solutions. In a paper published by French mathematicians Cédric Villani and Clément Mouhot, the initial data issue is solved and Landau damping is mathematically established for the first time for the non linear Vlasov equation. It is proved that solutions starting in some neighborhood (for the analytic or Gevrey topology) of a linearly stable homogeneous stationary solution are (orbitally) stable for all times and are damped globally in time. The damping phenomenon is reinterpreted in terms of transfer of regularity of as a function of and , respectively, rather than exchanges of energy. Large scale variations pass into variations of smaller and smaller scale in velocity space, corresponding to a shift of the Fourier spectrum of as a function of This shift, well known in linear theory, proves to hold in the non linear case.
N-денелік кадрдағы тозу теориясы
Бастапқыда мүмкін емес деп есептелген механикалық N денелердің сипаттамасы Ньютонның екінші қозғалыс заңы мен Фурье қатарларын қолдана отырып, Ландау демплеуін нақты есептеуге мүмкіндік береді. Бұл туынды үшін Власов теңдеуі де, Лаплас түрлендірулері де қажет емес. Толқынның электрондармен энергия (дәлірек айтқанда, импульс) алмасуын есептеу де осылай жүзеге асырылады. Бұл есептеу Ландау демплеуін дерлік резонанстық өтетін бөлшектердің синхронизациясы ретінде түсінуді жеңілдетеді.
The mechanical N body description, originally deemed impossible, enables a rigorous calculation of Landau damping using Newton’s second law of motion and Fourier series. Neither the Vlasov equation nor Laplace transforms are required for this derivation. The calculation of the energy (more precisely momentum) exchange of the wave with electrons is done similarly. This calculation makes intuitive the interpretation of Landau damping as the synchronization of almost resonant passing particles.