Введение

В физике, демпфирование Ландау, названное в честь его первооткрывателя, советского физика Льва Давидовича Ландау (1908–68), — это эффект затухания (экспоненциального уменьшения со временем) продольных пространственно-заряженных волн в плазме или аналогичной среде. Это явление предотвращает развитие неустойчивости и создает область стабильности в пространстве параметров. Позже Дональд Линден-Белл предположил, что аналогичный процесс происходит в галактической динамике, где газ электронов, взаимодействующий посредством электростатических сил, заменяется «газом звезд», взаимодействующим посредством гравитационных сил. Демпфирование Ландау можно точно моделировать в численных симуляциях, таких как метод частиц в ячейках. Экспериментальное подтверждение его существования было получено Мальмбергом и Уортоном в 1964 году, спустя почти два десятилетия после предсказания Ландау в 1946 году.

Волновое-частичное взаимодействие

Ослабление Ландау происходит из-за обмена энергией между электромагнитной волной с фазовой скоростью и частицами в плазме со скоростью, приблизительно равной , которые могут сильно взаимодействовать с волной. Частицы, скорость которых немного меньше , будут ускоряться электрическим полем волны, чтобы двигаться с фазовой скоростью волны, в то время как частицы со скоростью немного больше замедляются, отдавая энергию волне: частицы стремятся синхронизироваться с волной. Это доказано экспериментально с помощью бегущей волновой трубки. В идеальной магнитогидродинамической (МГД) плазме скорости частиц часто описываются приближенно распределением Максвелла. Если наклон этой функции отрицательный, число частиц со скоростями, немного меньшими фазовой скорости волны, больше, чем число частиц со скоростями, немного большими. Следовательно, больше частиц получает энергию от волны, чем теряет ее, что приводит к затуханию волны. Однако, если наклон функции положительный, число частиц со скоростями, немного меньшими фазовой скорости волны, меньше, чем число частиц со скоростями, немного большими. Следовательно, больше частиц теряет энергию в пользу волны, чем получает от нее, что приводит к увеличению энергии волны. В этом случае затухание Ландау сменяется усилением Ландау.

Физическая интерпретация

Математическая теория демпфирования Ландау достаточно сложна. Однако, в случае волн с конечной амплитудой, существует простое физическое объяснение. Поскольку демпфирование Ландау происходит для волн с произвольно малыми амплитудами, это указывает на то, что наиболее активные частицы, участвующие в этом демпфировании, далеко не заперты. Это естественно, так как удержание частиц в ловушке подразумевает расходящиеся масштабы времени для таких волн (в частности, для амплитуды волны).

Проблема Коши для возмутительных решений

Строгая математическая теория основана на решении задачи Коши для уравнения эволюции (в данном случае, частного дифференциального уравнения Власова — Пуассона) и доказательстве оценок для решения. Первоначально, после работ Ландау, была разработана достаточно полная линеаризованная математическая теория. Преодоление линеаризации и работа с нелинейностью долгое время оставались сложной проблемой в математической теории демпфирования Ландау. Ранее одним из математических результатов на нелинейном уровне было доказательство существования класса экспоненциально затухающих решений уравнения Власова — Пуассона на окружности, полученное с использованием метода рассеяния (недавно этот результат был расширен). Однако эти результаты не дают информации о том, какие начальные данные могут приводить к таким затухающим решениям. В статье, опубликованной французскими математиками Седриком Виллани и Клементом Мухо, проблема выбора начальных данных решена, и демпфирование Ландау впервые математически обосновано для нелинейного уравнения Власова. Доказано, что решения, начинающиеся в некоторой окрестности (в аналитической или гевреевской топологии) линейно стабильного однородного стационарного решения, орбитально стабильны на протяжении всего времени и глобально затухают во времени. Феномен демпфирования переинтерпретируется как передача регулярности как функции от и , а не как обмен энергией. Крупномасштабные вариации переходят в вариации все меньшего и меньшего масштаба в фазовом пространстве, что соответствует сдвигу спектра Фурье как функции от . Этот сдвиг, хорошо известный в линейной теории, оказывается справедливым и в нелинейном случае.

Теория возмущения в N-телевой системе

Описание механической системы N тел, изначально считавшееся невозможным, позволяет строго рассчитать демпфирование Ландау, используя второй закон Ньютона и ряды Фурье. Для этого вывода не требуется ни уравнение Власова, ни преобразование Лапласа. Расчет обмена энергией (точнее, импульсом) между волной и электронами выполняется аналогичным образом. Этот расчет делает интуитивно понятной интерпретацию демпфирования Ландау как синхронизацию почти резонансных частиц, проходящих вблизи волны.