Кіріспе
Математикалық зерттеу саласы. Математикада операторлар теориясы – дифференциалдық және интегралдық операторлардан басталатын функциялық кеңістіктердегі сызықтық операторларды зерттеу пәні. Операторлар өздерінің қасиеттері, мысалы, шектелген сызықтық операторлар немесе жабық операторлар арқылы абстрактілі түрде бейнеленуі мүмкін, сондай-ақ сызықтық емес операторлар да қарастырылуы мүмкін. Функционалдық кеңістіктердің топологиясына үлкен тәуелділікте болатын бұл зерттеу функционалдық анализдің бір саласы болып табылады. Егер операторлар жиыны бір өріс үстінде алгебра құраса, онда ол операторлық алгебра деп аталады. Операторлық алгебраларды сипаттау операторлар теориясының маңызды бөлігін құрайды.
In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators. The operators may be presented abstractly by their characteristics, such as bounded linear operators or closed operators, and consideration may be given to nonlinear operators. The study, which depends heavily on the topology of function spaces, is a branch of functional analysis. If a collection of operators forms an algebra over a field, then it is an operator algebra. The description of operator algebras is part of operator theory.
Бір оператор теориясы
Жеке операторлар теориясы операторлардың қасиеттерін және жіктелуін, оларды біреуден біреуі қарастыра отырып зерттейді. Мысалы, спектрлері бойынша қалыпты операторларды жіктеу осы санатқа жатады.
Операторлардың спектрі
Спектрлік теорема – сызықтық операторлар немесе матрицалар туралы бірнеше нәтижелердің кез келгені. Жалпы алғанда, спектрлік теорема операторды немесе матрицаны диагональдастыруға болатын шарттарды көрсетеді (яғни, белгілі бір базисте диагональдық матрица түрінде ұсынылатын). Диагонализация тұжырымы шекті өлшемді кеңістіктердегі операторлар үшін салыстырмалы түрде түсінікті, бірақ шексіз өлшемді кеңістіктердегі операторлар үшін кейбір түзетулер қажет. Әдетте, спектрлік теорема көбейту операторлары арқылы модельдеуге болатын сызықтық операторлар класын анықтайды, олар мүмкіндігінше қарапайым. Көбірек абстрактілі тілмен айтқанда, спектрлік теорема коммутативті C* алгебралары туралы мәлімдеме болып табылады. Тарихи тұрғыдан қарау үшін спектрлік теорияға жүгініңіз. Спектрлік теорема қолданылатын операторлардың мысалдары – Гильберт кеңістіктеріндегі өзін-өзі қосатын операторлар немесе жалпы алғанда, нормаль операторлар. Спектрлік теорема сонымен қатар оператортың әрекет ететін негізгі векторлық кеңістіктің канондық ыдырауын қамтамасыз етеді, ол спектрлік ыдырау, өзіндік мәндер ыдырауы немесе эйгеныдырау деп аталады.
Операторлық алгебралар
Операторлық алгебралар теориясы C* алгебралары сияқты операторлар алгебрасын маңызды орынға қояды.