Введение
Математическая область изучения
В математике теория операторов — это изучение линейных операторов в функциональных пространствах, начиная с дифференциальных и интегральных операторов. Операторы могут быть представлены абстрактно через их свойства, такие как ограниченные линейные операторы или замкнутые операторы, и также рассматриваются нелинейные операторы. Это исследование, тесно связанное с топологией функциональных пространств, является разделом функционального анализа. Если множество операторов образует алгебру над полем, то оно называется операторной алгеброй. Изучение операторных алгебр входит в область теории операторов.
In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators. The operators may be presented abstractly by their characteristics, such as bounded linear operators or closed operators, and consideration may be given to nonlinear operators. The study, which depends heavily on the topology of function spaces, is a branch of functional analysis. If a collection of operators forms an algebra over a field, then it is an operator algebra. The description of operator algebras is part of operator theory.
Теория одного оператора
Теория одного оператора изучает свойства и классификацию операторов, рассматриваемых по отдельности. Например, классификация нормальных операторов по их спектрам относится к этой области.
Спектр операторов
Спектральная теорема — это одно из ряда утверждений о линейных операторах или матрицах. В широком смысле, спектральная теорема предоставляет условия, при которых оператор или матрица могут быть диагонализованы (то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе). Концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных пространствах, но требует определенных модификаций для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем случае, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут быть представлены в виде операторов умножения, являющихся максимально простыми. В более абстрактном изложении, спектральная теорема представляет собой утверждение о коммутативных C*-алгебрах. См. также спектральную теорию для исторического обзора. Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем случае, нормальные операторы в пространствах Гильберта. Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением, разложением по собственным значениям или собственным разложением, базового векторного пространства, на котором действует оператор.
Алгебры операторов
Теория операторных алгебр выдвигает на передний план алгебры операторов, такие как C*-алгебры.