Кіріспе

(кешенді Хилберт кеңістігінде) үздіксіз сызықты оператор. Математикада, әсіресе функционалдық анализде, кешенді Хилберт кеңістігі H-дегі нормальды оператор — бұл N : H → H үздіксіз сызықты оператор, ол өзінің эрмиттік түйіндесі N* -мен коммутациялайды, яғни: NN* = N*N.

Нормальды операторлар маңызды, себебі спектрлік теорема оларға қатысты қолданылады. Нормальды операторлар класы жақсы зерттелген. Нормальды операторлардың мысалдары:

* бірлік операторлар: N* = N−1
* эрмиттік операторлар (яғни, өзіне-өзі қосымша операторлар): N* = N
* қисайған эрмиттік операторлар: N* = −N
* оң операторлар: N = MM* кейбір M үшін (сонда N өзіне-өзі қосымша болады). Нормальды матрица — Хилберт кеңістігі Cn-дегі нормальды оператордың матрицалық түрі.

Қасиеттері

Нормаль операторлар спектрлік теоремамен сипатталады. Компактты нормаль оператор (әсіресе, шекті өлшемді ішкі өнім кеңістігіндегі нормаль оператор) унитарлық түрде диагональдастырылады. шектеулі оператор болсын. Келесі шарттар эквивалентті: нормальды. нормальды. барлық үшін ( пайдалану ). операторының өзіне-қосымша және өзіне-қарсы қосымша бөліктері коммутациялайды. Яғни, егер операторы түрде жазылса, мұндағы және болса, онда .

Егер нормаль оператор болса, онда және бірдей ядроға және бірдей диапазонға ие. Салдарынан, диапазоны тығыз болса және тек қана инъективті болса ғана. Басқаша айтқанда, нормаль оператордың ядросы оның диапазонының ортогональды толықтырғышы болып табылады. Осыдан келіп, операторының ядросы кез келген үшін операторының ядросымен сәйкес келеді. Кез келген нормаль оператордың обобщенген өзіндік мәні нақты өзіндік мән болып табылады. нормаль оператордың өзіндік мәні болып табылады, егер және тек қана оның комплекстік қосымшасы оператордың өзіндік мәні болса. Нормаль оператордың әртүрлі өзіндік мәндерге сәйкес келетін өзіндік векторлары ортогоналды, және нормаль оператор өзінің әрбір өзіндік кеңістігінің ортогональды толықтырғышын тұрақтандырады. Бұл әдеттегі спектрлік теореманы білдіреді: шекті өлшемді кеңістіктегі кез келген нормаль оператор унитарлық оператормен диагональдастырылады. Сондай-ақ, проекциялық өлшемдермен берілген спектрлік теореманың шексіз өлшемді нұсқасы бар. Нормаль оператордың қалдық спектрі бос. Алайда, шектеулі нормаль операторлар үшін тұрақты подкеңістіктің ортогональды толықтырғышы тұрақты болмауы мүмкін. Осыдан келіп, Гильберт кеңістігін, әдетте, нормаль оператордың өзіндік векторларымен жабуға болмайды. Мысалы, үстінде әрекет ететін екі жақты ығысуды (немесе екі жақты ығысуды) қарастырайық, ол нормальды, бірақ өзіндік мәндері жоқ. Харди кеңістігінде әрекет ететін ығысудың инвариантты подкеңістіктері Берлинг теоремасымен сипатталады.