Кіріспе
Топологиялық күрделі векторлық кеңістік – математиканың бір саласы. Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, C* алгебрасы (кейде "C жұлдызы" деп айтылады) – Банах алгебрасы, оған қосылған қасиеттерді қанағаттандыратын инволюция қосылады. Атап айтқанда, екі қосымша қасиеттері бар күрделі гильберт кеңістігіндегі үздіксіз сызықтық операторлардың күрделі алгебрасы А: А – операторлардың нормалық топологиясындағы топологиялық жағынан жабық жиын. А операторлардың қосымшаларын алу операциясы бойынша жабылады. Гильберт кеңістігіне жатпайтын C* алгебралардың тағы бір маңызды класына Х-те шексізге дейін жоғалатын, Х жергілікті компактты Хаусдорф кеңістігі болып табылатын, Х-те күрделі мәнді үздіксіз функциялар алгебрасы кіреді. C* алгебралар алғашқыда физикалық байқалатын шамалардың алгебраларын модельдеу үшін кванттық механикада қолданылуы үшін қарастырылды. Бұл зерттеулер желісі Вернер Гейзенбергтің матрицалық механикасымен және 1933 жылы Паскуаль Джорданмен математикалық тұрғыдан дамыған түрде басталды. Кейін Джон фон Нейман осы алгебралардың жалпы негізін құруға тырысты, ол операторлар сақиналары туралы бірқатар мақалаларда аяқталды. Бұл мақалаларда C* алгебраларының арнайы класы қарастырылды, олар қазір фон Нейман алгебралары деп аталады. 1943 жылы Израиль Гельфанд пен Марк Наймарктың жұмысы Гильберт кеңістігіндегі операторларға сілтеме жасамайтын C* алгебраларының абстрактілік сипаттамасын берді. C* алгебралары қазіргі кезде жергілікті компактты топтардың біртұтас бейнелеулер теориясында маңызды құрал болып табылады, сондай-ақ кванттық механиканың алгебралық тұжырымдамаларында қолданылады. Зерттеудің тағы бір белсенді саласы – жіктелуді алу немесе жіктелудің мүмкіндігін анықтау бағдарламасы, ажыратылатын қарапайым ядролық C* алгебралары үшін.
an area of mathematics
In mathematics, specifically in functional analysis, a C∗ algebra (pronounced "C star") is a Banach algebra together with an involution satisfying the properties of the adjoint. A particular case is that of a complex algebra A of continuous linear operators on a complex Hilbert space with two additional properties:
A is a topologically closed set in the norm topology of operators. A is closed under the operation of taking adjoints of operators. Another important class of non Hilbert C* algebras includes the algebra of complex valued continuous functions on X that vanish at infinity, where X is a locally compact Hausdorff space. C* algebras were first considered primarily for their use in quantum mechanics to model algebras of physical observables. This line of research began with Werner Heisenberg's matrix mechanics and in a more mathematically developed form with Pascual Jordan around 1933. Subsequently, John von Neumann attempted to establish a general framework for these algebras, which culminated in a series of papers on rings of operators. These papers considered a special class of C* algebras that are now known as von Neumann algebras. Around 1943, the work of Israel Gelfand and Mark Naimark yielded an abstract characterisation of C* algebras making no reference to operators on a Hilbert space. C* algebras are now an important tool in the theory of unitary representations of locally compact groups, and are also used in algebraic formulations of quantum mechanics. Another active area of research is the program to obtain classification, or to determine the extent of which classification is possible, for separable simple nuclear C* algebras.
Тарих: В*-алгебралар мен С*-алгебралар
B* алгебрасы термині 1946 жылы C. E. Rickart-пен енгізілді, ол берілген B* алгебрасындағы барлық x үшін келесі шартты қанағаттандыратын Банах * алгебраларын сипаттауға арналған: (B* шарты). Бұл шарт * инволюцияның изометриялық екенін автоматты түрде білдіреді, яғни, демек, және осылайша, B* алгебрасы сонымен қатар C* алгебрасы болып табылады. Керісінше, C* шарты B* шартын білдіреді. Бұл тривиальды емес және шартты пайдаланбастан дәлелделуі мүмкін. Осы себептерге байланысты, B* алгебрасы термині қазіргі терминологияда көбінесе қолданылмайды және "C* алгебрасы" терминімен алмастырылды. C* алгебрасы термині 1947 жылы И. Э. Сегалмен B(H) нормасы жабық субальгебраларын, атап айтқанда, белгілі бір Хилберт кеңістігіндегі шектелген операторлар кеңістігін сипаттау үшін енгізілді. "C" әрпі "жабық" дегенді білдіреді. Сегал өз мақаласында C* алгебрасын "Хилберт кеңістігіндегі шектелген операторлардың біркелкі жабық, өзін-өзі қосатын алгебрасы" деп анықтайды.
for all x in the given B* algebra. (B* condition)
This condition automatically implies that the * involution is isometric, that is, Hence, , and therefore, a B* algebra is also a C* algebra. Conversely, the C* condition implies the B* condition. This is nontrivial, and can be proved without using the condition For these reasons, the term B* algebra is rarely used in current terminology, and has been replaced by the term 'C* algebra'. The term C* algebra was introduced by I. E. Segal in 1947 to describe norm closed subalgebras of B(H), namely, the space of bounded operators on some Hilbert space H. 'C' stood for 'closed'. In his paper Segal defines a C* algebra as a "uniformly closed, self adjoint algebra of bounded operators on a Hilbert space".
C*-алгебраның құрылымы
C* алгебралары техникалық тұрғыдан қолайлы көптеген қасиеттерге ие. Осы қасиеттердің кейбіреулерін үздіксіз функционалдық есептеуді пайдаланып немесе коммутативтік C* алгебраларына келтіру арқылы дәлелдеуге болады. Соңғы жағдайда, олардың құрылымы Гельфанд изоморфизмі арқылы толық анықталады.
Өзін-өзі жалғастыратын элементтер
Өзін-өзі қосатын элементтер — нысанның элементтері C* алгебрасы А нысанның жабық дөңгелек конусын құрайды. Бұл конус нысан элементтерімен сәйкес келеді. Бұл конустың элементтері теріс емес (немесе кейде оң деп аталады, бірақ бұл терминология элементтері үшін қолданылуымен қақтығысады) C* алгебрасының өздігінен қосатын элементтерінің жиынтығы A табиғи түрде ішінара реттелген векторлық кеңістік құрылымына ие; реттеу әдетте деп белгіленеді. Бұл реттеуде, өздігінен қосатын элемент егер және тек қана спектрі теріс емес болса, егер және тек қана кейбір үшін екі өздігінен қосатын элемент және A егер қанағаттандырады. Бұл ішінара реттелген кіші кеңістік C* алгебрасында оң сызықтық функционалды анықтауға мүмкіндік береді, ол өз кезегінде C* алгебрасының күйлерін анықтау үшін қолданылады, ал олар GNS құрылымын қолдана отырып C* алгебрасының спектрін құруға пайдаланылуы мүмкін.
The set of self adjoint elements of a C* algebra A naturally has the structure of a partially ordered vector space; the ordering is usually denoted In this ordering, a self adjoint element satisfies if and only if the spectrum of is non negative, if and only if for some Two self adjoint elements and of A satisfy if
This partially ordered subspace allows the definition of a positive linear functional on a C* algebra, which in turn is used to define the states of a C* algebra, which in turn can be used to construct the spectrum of a C* algebra using the GNS construction.
Квотиенттер мен шамамен бірдейліктер
Кез келген C* алгебрасы А-ның шамамен бірдейлігі болады. Шындығында, A-ның өзін-өзі қосатын элементтерінің бағытталған {eλ}λ∈I отбасы бар, мұнда
A ажыратылатын болса, A-ның реттік шамалас сәйкестігі болады. Көбінесе, A-ның реттік шамалас сәйкестігі тек қана A құрамында қатаң оң элемент болса ғана болады, яғни hAh A-да тығыз болатын оң элемент h болса ғана. Шамалас сәйкестіктерді қолдана отырып, C* алгебраның жабық, екі жақты идеалға бөліндісі, берілген нормамен, C* алгебра екенін көрсетуге болады. Сол сияқты, C* алгебраның жабық екі жақты идеалы да өзі C* алгебра болып табылады.
Шекті өлшемді C*-алгебралар
C үстіне n × n матрицалардың M(n, C) алгебрасы, егер матрицаларды Евклид кеңістігіндегі операторлар ретінде қарастырсақ, Cn, және матрицалар бойынша операторлық норманы ||·|| қолдансақ, C* алгебрасы болады. Инволюция конъюгат транспозамен беріледі. Жалпы алғанда, матрицалық алгебралардың шекті тікелей қосындыларын қарастыруға болады. Шындығында, векторлық кеңістік ретінде шекті өлшемді барлық C* алгебралар изоморфизмге дейін осы формада болады. Өзін-өзі жалғау шарты шекті өлшемді C* алгебралардың жартылай қарапайым екенін білдіреді, содан Артин–Уэддерберн типіндегі келесі теореманы шығаруға болады:
Theorem. A finite dimensional C* algebra, A, is canonically isomorphic to a finite direct sum
where min A is the set of minimal nonzero self adjoint central projections of A. Each C* algebra, Ae, is isomorphic (in a noncanonical way) to the full matrix algebra M(dim(e), C). The finite family indexed on min A given by {dim(e)}e is called the dimension vector of A. This vector uniquely determines the isomorphism class of a finite dimensional C* algebra. In the language of K theory, this vector is the positive cone of the K0 group of A. A † algebra (or, more explicitly, a † closed algebra) is the name occasionally used in physics for a finite dimensional C* algebra. The dagger, †, is used in the name because physicists typically use the symbol to denote a Hermitian adjoint, and are often not worried about the subtleties associated with an infinite number of dimensions. (Mathematicians usually use the asterisk, *, to denote the Hermitian adjoint.) † algebras feature prominently in quantum mechanics, and especially quantum information science. An immediate generalization of finite dimensional C* algebras are the approximately finite dimensional C* algebras.
Теорема. Шекті өлшемді C* алгебрасы, A, канондық түрде шекті тікелей жиынтыққа изоморфты, мұнда min A – A-ның нөлден өзгеше ең аз өзіндік жалғасқан орталық проекцияларының жиынтығы. Әр C* алгебрасы, Ae, толық матрицалық алгебраға M(dim(e), C) изоморфты (канондық емес түрде). min A бойынша индекстелген {dim(e)}e берілген шекті отбасы A-ның өлшем векторы деп аталады. Бұл вектор шекті өлшемді C* алгебраның изоморфизм класын бірегей түрде анықтайды. K-теория тілінде бұл вектор А-ның K0 тобының оң конусы болып табылады. A† алгебра (немесе, нақтырақ айтқанда, a† жабық алгебра) – физикада кейде шекті өлшемді C* алгебраны атау үшін қолданылатын термин. Атаудағы қамыт, †, белгісі қолданылады, өйткені физиктер әдетте Гермиттік түйіндемелерді көрсету үшін осы белгіні пайдаланады және шексіз өлшемдермен байланысты мәселелер туралы көбінесе алаңдамайды. (Математиктер Гермиттік түйіндемелерді көрсету үшін әдетте жұлдызша, *, белгісін қолданады.) † алгебралар кванттық механикада, әсіресе кванттық ақпарат ғылымында маңызды рөл атқарады. Шекті өлшемді C* алгебралардың тікелей жалпыламасы – шамамен шекті өлшемді C* алгебралар.
Theorem. A finite dimensional C* algebra, A, is canonically isomorphic to a finite direct sum
where min A is the set of minimal nonzero self adjoint central projections of A. Each C* algebra, Ae, is isomorphic (in a noncanonical way) to the full matrix algebra M(dim(e), C). The finite family indexed on min A given by {dim(e)}e is called the dimension vector of A. This vector uniquely determines the isomorphism class of a finite dimensional C* algebra. In the language of K theory, this vector is the positive cone of the K0 group of A. A † algebra (or, more explicitly, a † closed algebra) is the name occasionally used in physics for a finite dimensional C* algebra. The dagger, †, is used in the name because physicists typically use the symbol to denote a Hermitian adjoint, and are often not worried about the subtleties associated with an infinite number of dimensions. (Mathematicians usually use the asterisk, *, to denote the Hermitian adjoint.) † algebras feature prominently in quantum mechanics, and especially quantum information science. An immediate generalization of finite dimensional C* algebras are the approximately finite dimensional C* algebras.
Операторлардың C*-алгебрасы
C* алгебраның классикалық мысалы – күрделі Гильберт кеңістігі H-де анықталған шектелген (эквивалентті түрде үздіксіз) сызықты операторлардың алгебрасы B(H) болып табылады; мұнда x* оператор x : H → H-ның түйіндес операторын білдіреді. Шындығында, кез келген C* алгебрасы A, жарамды Гильберт кеңістігі H үшін B(H)-ның нормасы жабық, түйіндес жабық субальгебрасына изоморфты; бұл Гельфанд-Наймaрк теоремасының мәні.
Коммутативтік C*-алгебралар
X жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістігі болсын. X кеңістігінде шексіздікте жоғалатын кешенді мәнді үздіксіз функциялар кеңістігі (жергілікті тығыздық туралы мақалада анықталған) нүктелік көбейту және қосу арқылы коммутативті C* алгебраны құрайды. Инволюция нүктелік конъюгация болып табылады. Көбейту бірлік элементіне ие болу үшін кеңістік компактты болуы керек және керісінше. Кез келген C* алгебра сияқты, бұл кеңістікте де шамамен бірлік бар. Бұл жағдайда бұл анық: кеңістіктің компактты ішкі жиындарының бағытталған жиынтығын қарастырайық, және әрбір компактты жиын үшін, сол жиында 1-ге тең болатын, компактты қолдауға ие функцияны анықтаймыз. Мұндай функциялар Тице кеңейту теоремасы бойынша бар, ол жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістіктеріне қолданылады. Функциялардың кез келген мұндай тізбегі шамамен бірлік болып табылады. Гельфанд өкілдігіне сәйкес, әрбір коммутативті C* алгебрасы, әлсіз* топологиямен жабдықталған таңбалар кеңістігіндегі алгебраға *изоморфты болады. Егер кеңістік C* алгебралар ретіндеге *изоморфты болса, онда кеңістіктер гомеоморфты екені шығады. Бұл сипаттама коммутативті емес топология және коммутативті емес геометрия бағдарламаларының біріне түрткіс береді.
C*-ды қамтитын алгебра
Болжамды сәйкестігі бар Банах * алгебрасы А берілген болса, онда бірегей (C* изоморфизмге дейін) C* алгебрасы E(A) және A-дан E(A) -ға * морфизм π бар, ол әмбебап, яғни, кез келген басқа үздіксіз * морфизм π′: A → B тек π арқылы ғана бірегей түрде факторланады. E(A) алгебрасы Банах * алгебрасының C* қоршау алгебрасы деп аталады. Жергілікті компактты топтың C* алгебрасы ерекше маңызды. Ол G тобының алгебрасының C* қоршау алгебрасы ретінде анықталады. G тобының C* алгебрасы G абельдік емес болған жағдайда, G тобының жалпы гармоникалық талдауы үшін контекст береді. Атап айтқанда, жергілікті тығыз топтың дуалы, топтың C* алгебрасының бастапқы идеал кеңістігі ретінде анықталады. C* алгебрасының спектрін қараңыз.
Фон Нойман алгебрасы
Вон-Нейман алгебралары, 1960 жылға дейін W* алгебралары деп белгілі болған, C* алгебрасының ерекше түрі болып табылады. Олардың әлсіз оператор топологиясында жабық болуы талап етіледі, бұл норма топологиясынан әлсіз. Шерман-Такеда теоремасы бойынша, кез келген C* алгебрасы үшін әмбебап ораушы W* алгебрасы бар, сондықтан W* алгебрасына кез келген гомоморфизм осы алгебра арқылы өтеді.
C*-алгебраның түрі
A* C алгебрасы A, I типті болып табылады, егер және тек егер A-ның барлық дегенерацияланбаған π өрнектеулері үшін фон Нейман алгебрасы π(A) (яғни, π(A) алгебрасының бикоммутанты) I типті фон Нейман алгебрасы болса. Шындығында, тек факторлық өрнектеулерді қарастыру жеткілікті, яғни π(A) фактор болатын π өрнектеулерін. Жергілікті түрде ықшам топ, егер және тек егер оның C* алгебрасы I типті болса, I типті деп аталады. Дегенмен, егер C* алгебрада I типті емес өрнектеулер болса, онда Джеймс Глиммнің нәтижелеріне сәйкес, ол II және III типті өрнектеулерге де ие болады. С* алгебралар мен жергілікті ықшам топтар үшін, тек I типті және I типті емес қасиеттер туралы сөйлеудің мәні бар.
С*-алгебралар мен кванттық өріс теориясы
Кванттық механикада физикалық жүйе әдетте бірлік элементі бар C* алгебрасы А арқылы сипатталады; А-ның өздік-теңдес элементтері (x* = x болатын x элементтері) жүйенің байқалатындары, өлшенетін шамалары ретінде қарастырылады. Жүйенің күйі – A-дағы оң функционал ретінде анықталады (φ: A → C сызықтық бейнелеуі, барлық u ∈ A үшін φ(u*u) ≥ 0 және φ(1) = 1). Егер жүйе φ күйінде болса, байқалатын x-тің күтілетін мәні φ(x) болады. Бұл C* алгебралық тәсіл жергілікті кванттық өріс теориясының Хаг–Кастлер аксиоматизациясында қолданылады, онда Минковский кеңістік-уақытының кез келген ашық жиыны C* алгебрасымен байланыстырылады.