Кіріспе
Матрицаның өзіндік мәндерінің жиынтығы, сақинаның бастапқы спектрі. Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, шектелген сызықтық оператордың (немесе, жалпы алғанда, шектелмеген сызықтық оператордың) спектрі – матрицаның өзіндік мәндері жиынтығының жалпылауы болып табылады. Нақты айтқанда, кешенді сан шектелген сызықтық оператордың спектрінде болады, егер:
the prime spectrum of a ring
In mathematics, particularly in functional analysis, the spectrum of a bounded linear operator (or, more generally, an unbounded linear operator) is a generalisation of the set of eigenvalues of a matrix. Specifically, a complex number is said to be in the spectrum of a bounded linear operator if
оның теориялық керісі болмаса;
немесе теориялық керісі шектелмеген болса немесе тығыз емес ішкі жиынтықта анықталған болса. Мұнда – бірлік операторы. Жабық график теоремасы бойынша, шектелген оператор егер және тек қана биективті емес болса, ғана спектрде болады. Спектрлер мен олармен байланысты қасиеттерді зерттеу спектрлік теория деп аталады, оның көптеген қолданыстары бар, ең бастысы – кванттық механиканың математикалық формулировкасы. Шектелген өлшемді векторлық кеңістіктегі оператордың спектрі – нақты өзіндік мәндер жиынтығы. Дегенмен, шексіз өлшемді кеңістіктегі оператордың спектрінде қосымша элементтер болуы мүмкін және ол өзіндік мәндерге ие болмауы да мүмкін. Мысалы, Хилберт кеңістігіндегі R оңға жылдыру операторын қарастырайық.
or the set theoretic inverse is either unbounded or defined on a non dense subset. Here, is the identity operator. By the closed graph theorem, is in the spectrum if and only if the bounded operator is non bijective on
The study of spectra and related properties is known as spectral theory, which has numerous applications, most notably the mathematical formulation of quantum mechanics. The spectrum of an operator on a finite dimensional vector space is precisely the set of eigenvalues. However an operator on an infinite dimensional space may have additional elements in its spectrum, and may have no eigenvalues. For example, consider the right shift operator R on the Hilbert space ℓ2,
Бұл өзіндік мәндерге ие емес, себебі егер Rx=λx болса, онда бұл өрнекті кеңейту арқылы x1=0, x2=0, және т.б. екенін көреміз. Екінші жағынан, 0 спектрде, өйткені R – 0 операторы (яғни R-дің өзі) инверттік болғанымен, керісі l2 тығыз емес жиынтықта анықталған. Шындығында, күрделі Банах кеңістігіндегі кез келген шектелген сызықтық оператор бос емес спектрге ие болуы керек. Спектр түсінігі шектелмеген (яғни міндетті түрде шектелмеген) операторларға да қолданылады. Кешенді сан λ, егер T доменде анықталған шектелмеген оператордың спектрінде болса, онда T-ның толық доменде анықталған шектелген керісі болмайды. Егер T жабық болса (соның ішінде T шектелген болса), онда оның шектелгендігі оның болуынан автоматты түрде туындайды. Банах кеңістігіндегі B(X) шектелген сызықтық операторлар кеңістігі – Банах алгебрасының унитарлық мысалы. Спектрдің анықтамасы B(X)-тың кез келген алгебраға тән қасиеттерін атамайды, сондықтан спектр түсінігі осы контексте бірдей анықтаманы сөзсіз қолдану арқылы жалпылауға болады.
Анықтама
Комплекс скалярлық өрістегі Банах кеңістігінде әрекет ететін шектелген сызықтық оператор болсын, ал – сәйкестік операторы. Оператордың спектрі – бұл оператордың шектелген сызықтық оператор болатын керісі жоқ барлық λ-ның жиыны. Оператор сызықты болғандықтан, егер керісі болса, ол да сызықты болады; ал шектелген кері теорема бойынша, ол шектелген. Сондықтан, спектр дәл біржақты емес скалярлардан тұрады. Берілген оператордың спектрі көбінесе арқылы белгіленеді, ал оның толықтырушы жиыны – ажыратушы жиын арқылы белгіленеді (кейде спектрлік радиусты белгілеу үшін қолданылады).
Шексіз оператордың радиожиілік спектрі
Спектрдің анықтамасын X Банах кеңістігіндегі шексіз операторларға да қолдануға болады. Бұл операторлар енді Банах алгебрасы B(X)-тың элементтері емес.
Негізгі қасиеттері
Шексіз оператордың спектрі, әдетте, кешенді жазықтықтың жабық, мүмкін бос, ішкі жиыны болып табылады. Егер T операторы жабық болмаса, онда .
Спектрдегі нүктелерді жіктеу
Банах кеңістігіндегі шектелген оператор T инвертибелді, яғни шектелген керісі бар, егер және тек егер T төменнен шектелген болса, яғни, кейбір сан үшін және тығыз диапазонға ие болса. Осыған сәйкес, T спектрін келесі бөліктерге бөлуге болады: егер төменнен шектелмеген болса. Атап айтқанда, егер T инъективті болмаса, яғни λ өзіндік мән болса. Өзіндік мәндер жиыны T-ның нүктелік спектрі деп аталады және σp(T) арқылы белгіленеді. Әйтпесе, λ бір-бірге сәйкес болуы мүмкін, бірақ төменнен шектелмеген. Мұндай λ өзіндік мән емес, бірақ T-ның шамалас өзіндік мәні болып табылады (өзіндік мәндердің өзі де шамалас өзіндік мәндер болып табылады). Шамалас өзіндік мәндер жиынтығы (оның ішінде нүктелік спектр) T-ның шамалас нүктелік спектрі деп аталады және σap(T) арқылы белгіленеді. егер тығыз диапазоны болмаса. Мұндай λ жиынтығы T-ның сығылу спектрі деп аталады, ал егер тығыз диапазоны болмаса, бірақ инъективті болса, λ T-ның қалдық спектрінде деп есептеледі. Шамалас нүктелік спектр мен қалдық спектр міндетті түрде ажыратылмаған (бірақ нүктелік спектр мен қалдық спектр ажыратылған). Келесі тарауларда σ(T)-ның жоғарыда сипатталған үш бөлігі туралы толыққанды ақпарат беріледі.
if is not bounded below. In particular, this is the case if is not injective, that is, λ is an eigenvalue. The set of eigenvalues is called the point spectrum of T and denoted by σp(T). Alternatively, could be one to one but still not bounded below. Such λ is not an eigenvalue but still an approximate eigenvalue of T (eigenvalues themselves are also approximate eigenvalues). The set of approximate eigenvalues (which includes the point spectrum) is called the approximate point spectrum of T, denoted by σap(T). if does not have dense range. The set of such λ is called the compression spectrum of T, denoted by If does not have dense range but is injective, λ is said to be in the residual spectrum of T, denoted by
Note that the approximate point spectrum and residual spectrum are not necessarily disjoint (however, the point spectrum and the residual spectrum are). The following subsections provide more details on the three parts of σ(T) sketched above.
Нысандық спектр
Егер оператор инъективті болмаса (яғни, T(x) = 0 болатын нөлден өзгеше x бар болса), онда ол кері операторға ие емес. Сондықтан, егер λ оператор T-ның өзіндік мәні болса, онда λ σ(T) жиынына жатады. Оператор T-ның өзіндік мәндері жиынтығы T-ның нүктелік спектрі деп те аталады және σp(T) арқылы белгіленеді. Кейбір авторлар нүктелік спектрдің жабылуын таза нүктелік спектр деп атайды, ал басқалары қарапайым түрде қарастырады.
Дискретті спектр
Дискретті спектр – қалыпты өзіндік мәндер жиынтығы ретінде немесе, эквивалентті түрде, тиісті Риес проекторы шекті рангіге ие болатын спектрдің оқшауланған нүктелерінің жиынтығы ретінде анықталады. Сондықтан дискретті спектр нүктелік спектрдің нақты кіші жиыны болып табылады, яғни.
Тұрақты спектр
λ-ның инъективті және тығыз диапазонға ие, бірақ сюръективті емес болатын барлық мәндерінің жиынтығы T операторының үздіксіз спектрі деп аталады және σc арқылы белгіленеді. Сондықтан үздіксіз спектр – бұл өздік мән емес және қалдық спектрге жатпайтын жуық өздік мәндерден тұрады. Яғни,
Мысалы, , , , инъективті және тығыз диапазонға ие, бірақ . Шындығында, егер осындай λ және μ болса, онда міндетті түрде бола бермейді, және содан кейін .
Сығу спектрі
T-ның диапазоны тығыз болмайтын мәндер жиыны T-ның сығымдалу спектрі деп аталады және осымен белгіленеді .
Шеткі спектр
Оператордың шеткі спектрі – оның спектріндегі модульдері спектрлік радиусына тең болатын нүктелер жиыны ретінде анықталады.
Мысал: Сутек атомы
Сутек атомы спектрдің әртүрлі түрлерінің мысалы болып табылады. Сутек атомының Гамильтон операторы , , доменімен дискретті өзіндік мәндер жиынтығына ие (дискретті спектр , бұл жағдайда нүктелік спектрмен сәйкес келеді, себебі үздіксіз спектрге кіріктірілген өзіндік мәндер жоқ), оларды Ридберг формуласы арқылы есептеуге болады. Оларға сәйкес келетін меншікті функциялар өзіндік күйлер немесе байланысқан күйлер деп аталады. Иондану процесінің нәтижесі спектрдің үздіксіз бөлігімен сипатталады (соқтығысу/иондану энергиясы "квантталмайды"), ол арқылы бейнеленеді (ол сонымен қатар негізгі спектрмен де сәйкес келеді, ).
Компактты операторлар
Егер T компакт оператор болса, немесе, көбірек жалпылап айтқанда, маңызсыз оператор болса, онда спектрдің саналатындығы, нөлдің ғана жинақталу нүктесі болуы мүмкін екені және спектрдегі кез келген нөлдік емес λ өзіндік мән екені көрсетіледі.
Квазимощы операторлар
Шектелген оператор егер болса, квазинилпотентті болып табылады (яғни, егер A-ның спектрлік радиусы нөлге тең болса). Мұндай операторларды келесі шарт арқылы да сипаттауға болады:
Мысалы, операторы, болғанда.
Өзін-өзі қосқан операторлар
Егер X – Хилберт кеңістігі болса және T – өзін-өзі қосатын оператор (немесе, жалпырақ айтқанда, қалыпты оператор) болса, онда спектрлік теорема деп аталатын тамаша нәтиже, қалыпты шекті өлшемді операторлар үшін (мысалы, Гермиттік матрицалар) диагонализация теоремасының ұқсасын береді. Өзін-өзі қосатын операторлар үшін спектрдің абсолютті үздіксіз, таза нүктелік және ерекше бөліктерге жіктелуін анықтау үшін спектрлік шараларды қолдануға болады.
Нақты оператордың спектрі
Резольвента мен спектрдің анықтамаларын кез келген үздіксіз сызықтық операторға, нақты өрісте (кешенді өріс емес) Банах кеңістігінде әрекет ететін, оның кешенділенуі арқылы кеңейтуге болады. Бұл жағдайда резольвента жиыны – кешенділенген кеңістікте оператор ретінде инвертірленетін барлық мәндердің жиыны ретінде анықталады; содан кейін біз анықтаймыз.
Нақты спектр
Нақты Банах кеңістігінде әрекет ететін үздіксіз сызықтық оператордың нақты спектрі, деп белгіленеді, – бұл нақты шекті сызықтық операторлардың алгебрасында инверттік емес болатын барлық λ-ның жиынтығы. Мұндай жағдайда бізде болады. Нақты спектр күрделі спектрмен сәйкес келуі де, келмеуі де мүмкін. Атап айтқанда, нақты спектр бос жиын болуы мүмкін.
Бiртұтас Банах алгебрасының спектрi
B-ді бірлігі e болатын күрделі Банах алгебрасы деп атайық. Онда B элементі x-тің σ(x) (немесе анығырақ айтқанда σB(x)) спектрін, λe − x B-де инвертіленбейтін λ комплекс сандарының жиыны ретінде анықтаймыз. Бұл, Банах кеңістігі X-тегі B(X) шектелген сызықты операторлар үшін берілген анықтаманы кеңейтеді, себебі B(X) – бірлікке ие Банах алгебрасы.