Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Фредгольм операторлары – интегралдық теңдеулердің Фредгольм теориясында туындайтын нақты операторлар. Олар Эрик Ивар Фредгольмнің құрметіне аталған. Анықтама бойынша, Фредгольм операторы – екі Банах кеңістігі арасындағы, шекті өлшемді ядросы және шекті өлшемді (алгебралық) коядросы бар, жабық диапазонға ие шектелген сызықтық оператор T: X → Y. Соңғы талап, шындығында, қажет емес. Фредгольм операторының индексі – бүтін сан, яғни,
In mathematics, Fredholm operators are certain operators that arise in the Fredholm theory of integral equations. They are named in honour of Erik Ivar Fredholm. By definition, a Fredholm operator is a bounded linear operator T : X → Y between two Banach spaces with finite dimensional kernel and finite dimensional (algebraic) cokernel , and with closed range The last condition is actually redundant. The index of a Fredholm operator is the integer
or in other words,
Қолданбалар
Кез келген эллипстік оператор Фредгольм операторына кеңейтілуі мүмкін. Фредгольм операторларын дербес дифференциалдық теңдеулерде қолдану – бұл параметрикс әдісінің абстрактілі түрі. Атия-Сингердің индекс теоремасы, көпқырлылықтардағы белгілі бір операторлардың индексіне топологиялық сипаттама береді. Атия-Янич теоремасы, компактты топологиялық кеңістік X-тің K-теориясын, X-тен Fredholm операторлары кеңістігіне H→H үздіріссіз бейнелеулердің гомотопиялық сыныптары жиынымен сәйкестендіреді, мұнда H – бөлінгіш Хилберт кеңістігі және осы операторлар жиыны операторлық норманы қабылдайды.
Any elliptic operator can be extended to a Fredholm operator. The use of Fredholm operators in partial differential equations is an abstract form of the parametrix method. The Atiyah Singer index theorem gives a topological characterization of the index of certain operators on manifolds. The Atiyah Jänich theorem identifies the K theory K(X) of a compact topological space X with the set of homotopy classes of continuous maps from X to the space of Fredholm operators H→H, where H is the separable Hilbert space and the set of these operators carries the operator norm.
Жартылай фредгольм операторлары
Шектелген сызықтық оператор T, егер оның мәндер жиыны жабық болса және кем дегенде, немесе өлшемдері шекті болса, жартылай Фредгольм деп аталады. Жартылай Фредгольм операторы үшін индекс былай анықталады:
A bounded linear operator T is called semi Fredholm if its range is closed and at least one of , is finite dimensional. For a semi Fredholm operator, the index is defined by
Шектелмеген операторлар
Сондай-ақ шектелмеген Fredholm операторларын анықтауға болады. X және Y екі Банах кеңістігі болсын. Егер оның домені тығыз болса, диапазоны жабық және T операторының ядросы мен коядросы шектеулі өлшемді болса, онда жабық сызықтық оператор Fredholm операторы деп аталады. Егер оның домені тығыз болса, диапазоны жабық және T операторының ядросы немесе коядросы (немесе екеуі де) шектеулі өлшемді болса, онда ол жартылай Fredholm операторы деп аталады. Жоғарыда айтылғандай, коядросы шектеулі өлшемді болған жағдайда ғана жабық оператордың диапазоны жабық болады (Эдмундс пен Эванс, I.3.2 теоремасы).
One may also define unbounded Fredholm operators. Let X and Y be two Banach spaces. The closed linear operator is called Fredholm if its domain is dense in , its range is closed, and both kernel and cokernel of T are finite dimensional. is called semi Fredholm if its domain is dense in , its range is closed, and either kernel or cokernel of T (or both) is finite dimensional. As it was noted above, the range of a closed operator is closed as long as the cokernel is finite dimensional (Edmunds and Evans, Theorem I.3.2).