Кіріспе

Атомдық өлшемдегі көптеген жүйелерді идеалдау. Физикада, әсіресе статистикалық механикада, ансамбль (немесе статистикалық ансамбль) – бір мезгілде қарастырылатын, нақты жүйенің болуы мүмкін жағдайларын бейнелейтін көптеген виртуалды көшірмелерден (кейде шексіз көп) тұратын идеалдау. Басқаша айтқанда, статистикалық ансамбль – статистикалық механикада жеке жүйені сипаттау үшін қолданылатын бөлшектер жиынтығы. Ансамбль тұжырымын 1902 жылы Дж. Уиллард Гиббс енгізді. Термодинамикалық ансамбль – статистикалық тепе-теңдікте болатын (төменде анықталады) және классикалық немесе кванттық механика заңдары арқылы термодинамикалық жүйелердің қасиеттерін шығаруға қолданылатын статистикалық ансамбльдің бір түрі.

Физикалық мәндер

Ансамбль эксперимент жүргізушінің бірдей макроскопиялық жағдайларда экспериментті қайта-қайта жүргізуімен, бірақ микроскопиялық егжей-тегжейлерді бақылай алмауымен байланысты, әртүрлі нәтижелерді күту мүмкіндігін ресми түсіндіреді. Термодинамика, статистикалық механика және кванттық статистикалық механикадағы ансамбльдің шартты мөлшері өте үлкен болуы мүмкін, жүйенің байқалатын макроскопиялық қасиеттеріне сәйкес келетін барлық мүмкін микроскопиялық күйлерді қамтиды. Көптеген маңызды физикалық жағдайларда термодинамикалық ансамбльдің барлық құрамы бойынша орташа шамаларды тікелей есептеуге болады, бұл көптеген термодинамикалық шамалардың нақты формулаларын алуға мүмкіндік береді, көбінесе тиісті бөлу функциясы арқылы. Тепе-теңдік немесе тұрақты ансамбль түсінігі статистикалық ансамбльдердің көптеген қолданылуында маңызды рөл атқарады. Механикалық жүйе уақыт өте дами алғанымен, ансамбль міндетті түрде дами қоймайды. Шындығында, егер ансамбль жүйенің барлық өткен және болашақ фазаларын қамтитын болса, ол дами қоймайды. Уақыт өте өзгермейтін мұндай статистикалық ансамбль стационарлық деп аталады және оны статистикалық тепе-теңдікте деп санауға болады. Гиббс үш маңызды термодинамикалық ансамбльді анықтады:

Теңдестік

Термодинамикалық лимитте барлық жиынтықтар Лежандр түрлендірулерінің нәтижесінде бірдей байқалатын шамаларды беруі тиіс, алайда күйдің айнымалылары дөңес емес болған жағдайларда, мысалы, шағын молекулалық өлшемдерде бұл ережеден ауытқулар орын алады.

Өкілдіктер

Статистикалық ансамбльдің нақты математикалық өрнегі қарастырылып отырған механика түріне (кванттық немесе классикалық) байланысты ерекше формаға ие. Классикалық жағдайда ансамбль – микрокүйлер бойынша ықтималдық таралу. Кванттық механикада, фон Нейманның ұсынысы бойынша, бұл түсінік – әрбір толық коммутацияланатын өлшенетін шамалар жиынының нәтижелері бойынша ықтималдық таралуын белгілеу тәсілі. Классикалық механикада ансамбль фазалық кеңістіктегі ықтималдық таралу ретінде жазылады; микрокүйлер – фазалық кеңістікті тең өлшемді бөліктерге бөлудің нәтижесі, бірақ мұндай бөліктердің мөлшері белгілі бір дәрежеде еркін таңдалуы мүмкін.

Кванттық механика

Кванттық механикадағы статистикалық ансамбль (аралас күй деп те аталады) көбінесе тығыздық матрицасымен бейнеленеді. Тығыздық матрицасы кванттық белгісіздіктерді (жүйенің күйі толықтай белгілі болған жағдайда да болатын) және классикалық белгісіздіктерді (білімнің жетіспеуінен туындаған) біріктіретін толыққанды жалпы құралды ұсынады. Кванттық механикадағы кез келген физикалық шама X оператор ретінде жазылуы мүмкін. Статистикалық ансамбльдегі осы оператордың күтілетін мәні келесі із арқылы беріледі:

Бұл орташа мәндерді (операторды қолдану арқылы), дисперсияларды (операторды қолдану арқылы), ковариацияларды (операторды қолдану арқылы) және т.б. есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Тығыздық матрицасының ізi әрқашан 1-ге тең болуы керек: (бұл, негізінен, ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең болуы керек деген шарт). Жалпы алғанда, ансамбль уақыт өте келе фон Нейман теңдеуіне сәйкес эволюциялайды. Тепе-теңдік ансамбльдері (уақыт өте өзгермейтін ансамбльдер, ) тек сақталатын айнымалылардың функциясы ретінде жазылуы мүмкін. Мысалы, микроканондық ансамбль және канондық ансамбль – бұл жалпы энергияның функциялары, ол жалпы энергия операторымен (Гамильтониан) өлшенеді. Үлкен канондық ансамбль сонымен қатар бөлшектер санының функциясы болып табылады, ол бөлшектердің жалпы саны операторымен өлшенеді. Мұндай тепе-теңдік ансамбльдері әр сақталатын айнымалыны бір мезгілде диагональдастыратын күйлердің ортогональды базисіндегі диагональдық матрица болып табылады. Бра-кет нотациясында тығыздық матрицасы:

мұнда i индексімен белгіленген – толық және ортогональды базистің элементтері. (Басқа базистерде тығыздық матрицасы міндетті түрде диагональды бола бермейтінін ескеріңіз.)

Фазалық кеңістіктегі артық санауды түзету

Әдетте, фазалық кеңістікте бір физикалық күйдің бірнеше түрлі орындағы көшірмелері болады. Бұл физикалық күйдің математикалық координаттарға кодталу әдісінің салдары; координаттар жүйесінің ең қарапайым таңдауы көбінесе күйді бірнеше тәсілмен кодтауға мүмкіндік береді. Мысалы, біртекті бөлшектерден тұратын газдың күйі бөлшектердің жекеленген координаттары мен импульстары арқылы сипатталса: екі бөлшектің орнын ауыстырғанда, фазалық кеңістіктегі нүкте өзгереді, бірақ бұл жүйенің бірдей физикалық күйін көрсетеді. Статистикалық механикада (физикалық күйлер туралы теория) фазалық кеңістік – тек математикалық құрылым екенін ескеру және фазалық кеңістік бойынша интегралдағанда нақты физикалық күйлерді қате санамау маңызды. Артық санау қаулы проблемаларға әкелуі мүмкін: туынды шамалардың (мысалы, энтропия және химиялық потенциал) координаттар жүйесін таңдауға тәуелділігі, себебі бір координаттар жүйесі екіншісіне қарағанда көбірек немесе азырақ артық санауды көрсетуі мүмкін. Физикалық тәжірибеге қайшы келетін қателігі қорытындылар, мысалы, араласу парадоксы. Сондықтан артық санауды толық канондық координаттар диапазоны бойынша интегралдау арқылы түзетуге болады, содан кейін нәтижені артық санау коэффициентіне бөлу керек. Дегенмен, С бөлшектер саны сияқты дискретті айнымалыларға байланысты күрт өзгереді, сондықтан бөлшектер санын қосу алдында оны қолдану қажет. Жоғарыда айтылғандай, осы артық санаудың классикалық мысалы – әртүрлі бөлшектерден тұратын сұйық жүйесі, онда бір түрдегі кез келген екі бөлшекті ажырату мүмкін емес және оларды алмастыруға болады. Егер күй бөлшектердің жекеленген координаттары мен импульстары арқылы сипатталса, онда бірдей бөлшектерді алмастыруға байланысты артық санауды түзету үшін қолданылады.

Жалпы жиынтық орташа

Бөлім функциясының жалпыланған түрі термодинамика, ақпарат теориясы, статистикалық механика және кванттық механикадағы ансамбль орташаларымен жұмыс істеу үшін толық аясты ұсынады. Микроканондық ансамбль – энергиясы (E), көлемі (V) және бөлшектер саны (N) тұрақты болатын оқшауланған жүйені көрсетеді. Канондық ансамбль – энергияны (E) қоршаған ортамен (әдетте жылу резервуары) алмаса алатын, бірақ көлемі (V) және бөлшектер саны (N) тұрақты болатын жабық жүйені көрсетеді. Үлкен канондық ансамбль – энергияны (E) және бөлшектерді (N) қоршаған ортамен алмаса алатын, бірақ көлемі (V) тұрақты сақталатын ашық жүйені көрсетеді.