Кіріспе

Ли тобының бейнелеу теориясындағы негізгі нәтиже. Математикада Борель–Вейл–Ботт теоремасы – Ли тобының бейнелеу теориясындағы маңызды нәтиже. Ол белгілі бір комплекс векторлық шоштардың голоморфтық қималары арқылы, және жалпы алғанда, осы шоштармен байланысты жоғарырақ кохомология топтары арқылы бейнелеулер отбасын қалай алуға болатынын көрсетеді. Бұл теорема Арман Борель мен Андре Вейльдің алдыңғы Борель–Вейл теоремасына негізделген, ол қималар кеңістігін (нөлдік кохомология тобын) қарастырды, ал жоғары кохомология топтарына кеңейту Рауль Ботт еңбегімен жасалды. Серрдің GAGA принципі арқылы бұл нәтижені Зариски топологиясындағы комплекс алгебралық геометрияның бір бөлігі ретінде де қарастыруға болады.

Мысал

Мысалы, 1=G = [[SL2(C), үшін G/B Риман сферасы болып табылады, интегралды салмақ жай ғана n бүтін санымен анықталады, ал 1=ρ = 1. Ln түзу буыны – , оның қималары n дәрежелі гомогенді көпмүшелер (яғни бинарлық формалар) болып табылады. G-дің бейнелеуі ретінде қималарды Sym^(n)('C'^(2)) * деп жазуға болады және ол Sym^(n)('C'^(2) -ге каноникалық изоморфты. Бұл бізге бірден мынаны береді: – стандартты бейнелеу, ал – оның n-ші симметриялық қуаты. Бізде тіпті Ли алгебрасының әрекетінің біріктірілген сипаттамасы бар, ол Риман сферасындағы векторлық өрістер ретінде іске асырылуынан туындайды: егер H, X, Y – стандартты генераторлары болса, онда

Оң сипаттама

Сонымен қатар, оң сипаттағы осы теореманың әлсіз түрі де бар. Атап айтқанда, G болсын – алгебралық жабық өрістегі жартылай қарапайым алгебралық топ. Онда, λ салмағы λ "нөлге жақын" болғанша, барлық i үшін басым емес салмақ болып қала береді. Бұл Кемпфтің жоғалу теоремасы деп аталады. Дегенмен, теореманың басқа тұжырымдары осы жағдайда қолданылмайды. Нақтырақ айтқанда, λ болсын – басым интегралды салмақ; онда барлық i үшін бұл әлі де дұрыс, бірақ бұл G-модулі жалпы жағдайда қарапайым емес, алайда ол ең жоғары салмағы λ болатын ең жоғары салмақты модульді G-субмодулі ретінде қамтиды. Егер λ кез келген интегралды салмақ болса, онда жалпы кохомология модульдерін сипаттау – бейнелеу теориясындағы әлі шешілмеген үлкен мәселе. -ге қарағанда, Мамфорд мысал келтіріп көрсетті, λ белгілі бір тұрақты мән болғанда, бұл модульдердің барлығы бір ғана i дәрежесінен басқа нөлге тең болуы міндетті емес.

Борел-Вейль теоремасы

Борел-Вейль теоремасы компактты Лай топтарының ирредукцияланатын бейнелері және күрделі жартылай қарапайым Лай топтарының ирредукцияланатын голоморфты бейнелері үшін нақты модель ұсынады. Бұл бейнелер топтың флаг-манолифіндегі голоморфты сызық бундельдерінің жаһандық қималарының кеңістіктерінде жүзеге асырылады. Борел-Вейль-Ботт теоремасы – жоғары кохомология кеңістіктеріне оның жалпыламасы. Теорема 1950 жылдардың басына дейін қарайды және оны және . табуға болады.

Теореманың тұжырымдамасы

Теорема күрделі жартылай қарапайым Лай тобы G үшін немесе оның компактты түрі K үшін тұжырымдалады. G – байланысты күрделі жартылай қарапайым Лай тобы, B – G-нің Борел субтобы және флаг түрлігі болсын. Бұл жағдайда X – күрделі манифольд және сингуляр емес алгебралық түрлілік. Флаг түрлігін сондай-ақ K/T компактты біртекті кеңістігі ретінде де сипаттауға болады, мұнда T – K-ның (компактты) Картандық кіші тобы. Бүтін салмақ λ, X-тегі Lλ голоморфты түзу шоғын анықтайды және G тобы оның жаһандық қималары кеңістігінде әрекет етеді.

Борель–Вейл теоремасы былай тұжырымдайды: егер λ доминантты бүтін салмақ болса, онда бұл өкілдік G-нің ең жоғары салмағы λ болатын голоморфты, ыдырамайтын өкілдігі болады. Оның K-мен шектелуі – K-ның ең жоғары салмағы λ болатын ыдырамайтын унитарлық өкілдігі және K-ның әрбір ыдырамайтын унитарлық өкілдігі λ-ның бірегей мәні үшін осылайша алынады. (Комплексті Лай тобының голоморфты өкілдігі – бұл сәйкес Лай алгебрасының өкілдігі күрделі сызықтық болып табылады.)

Мысал

G – SL(2, 'C') күрделі арнайы сызықтық тобы, Борелдің бірге анықталатын детерминанты бар жоғарғы үшбұрышты матрицалардан тұратын кіші тобы. G үшін интегралдық салмақтар бүтін сандармен сәйкес келеді, ал басым салмақтар теріс емес бүтін сандарға сәйкес келеді, сондай-ақ B-нің χn белгішелері мына түрде беріледі.

G/B белгісі 'CP'^(1) кешенді проективтік түзуімен, X және Y біртекті координаттарымен сәйкес келеді, ал Ln түзулігінің жаһандық қималарының кеңістігі 'C'^(2) бойынша n дәрежелі біртекті көпмүшелер кеңістігімен сәйкес келеді. n ≥ 0 үшін, бұл кеңістіктің өлшемі n + 1-ге тең және G-нің стандартты әрекеті бойынша 'C'[X, Y] көпмүшелік алгебрасында бөлгісіз бейнелеу құрайды. Салмақты векторлар 2i − n салмақты мономиалдармен беріледі, ал ең жоғары салмақты вектор X^(n) салмағы n-ге тең.