Кіріспе
Анализде қолданылатын алгебралық құрылым
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
Математикада Ли алгебрасы (/l//iː/ LEE) — Якоби сәйкестігін қанағаттандыратын Ли скобкасы деп аталатын операциямен бірге векторлық кеңістік. Басқаша айтқанда, Ли алгебрасы — көбейту операциясы (Ли скобкасы деп аталады) антисимметриялы болып, Якоби сәйкестігін қанағаттандыратын өріс үстіндегі алгебра. Екі вектордың Ли скобкасы және деп белгіленеді. Ли алгебрасы әдетте ассоциативті емес алгебра болып табылады. Дегенмен, кез келген ассоциативті алгебра Ли алгебрасын тудырады, ол коммутаторлық Ли скобкасымен бірдей векторлық кеңістікке ие. Ли алгебралары Ли топтарымен тығыз байланысты, олар да тегіс манифольдтар болып табылады: әр Ли тобы Ли алгебрасын тудырады, ол сәйкестіктегі тангенстік кеңістік болып табылады. (Бұл жағдайда Ли скобкасы Ли тобының коммутативтілігінің жетіспеушілігін өлшейді.) Керісінше, нақты немесе кешенді сандардағы кез келген шекті өлшемді Ли алгебрасына сәйкес келетін, кеңістіктерді жабатын бірегей байланысты Ли тобы бар (Лидің үшінші теоремасы). Бұл сәйкестік Ли алгебралары арқылы Ли топтарының құрылымын және жіктелуін зерттеуге мүмкіндік береді, олар сызықтық алгебраның қарапайым объектілері болып табылады. Егжей-тегжейлірек айтқанда: кез келген Ли тобы үшін 1 сәйкестік элементінің жанындағы көбейту операциясы бірінші ретте коммутативті болады. Басқаша айтқанда, әрбір G Ли тобы (бірінші ретте) шамамен нақты векторлық кеңістік, атап айтқанда, G-ге сәйкестіктегі тангенстік кеңістік. Екінші ретке қарай топ операциясы коммутативті емес болуы мүмкін, ал G-дің сәйкестігіне жақын коммутативтілігін сипаттайтын екінші реттік терминдер Ли алгебрасының құрылымын береді. Бұл екінші реттік терминдердің (Ли алгебрасы) G-дің топтық құрылымын сәйкестіктің жанында толық анықтайтыны таңғаларлық факт. Олар тіпті G-ді кеңінен анықтап, кеңістіктерді жабады. Физикада Ли тобы физикалық жүйелердің симметриялық тобы ретінде пайда болады, ал олардың Ли алгебралары (бірлікке жақын тангенс векторлары) шексіз симметриялық қозғалыстар ретінде қарастырылуы мүмкін. Осылайша, Ли алгебралары мен олардың бейнелері физикада, әсіресе кванттық механикада және бөлшектер физикасында кеңінен қолданылады. Элементар мысал (тікелей ассоциативтік алгебрадан емес) — көлденең көбейтіндімен анықталатын Ли скобкасы бар 3 өлшемді кеңістік. Бұл антисимметриялы, себебі , және ассоциативтілік орнына Якоби сәйкестігін қанағаттандырады: Бұл кеңістіктің айналулары Ли тобының Ли алгебрасы болып табылады, және әрбір векторды осьтің айналасындағы шексіз аз айналыс ретінде бейнелеуге болады, бұрыштық жылдамдық екі айналыс арасындағы коммутативтіліктің өлшемі болып табылады. Айналыс өзімен коммутациялайтындықтан, антисимметриялық қасиетке ие.
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
Тарих
Лай алгебралары Софус Лайдың 1870 жылдары шексіз шағын түрлендірулер ұғымын зерттеу үшін енгізгенімен, ал Вильгельм Киллинг 1880 жылдары дербес түрде ашты. «Лай алгебрасы» деген атауды Герман Вейль 1930 жылдары берді; алдыңғы мәтіндерде «шексіз шағын топ» термині қолданылған.
Генераторлар мен өлшемдер
Ли алгебрасының өрістегі өлшемі – оның векторлық кеңістік ретіндегі өлшемі. Физикада, Lie тобының Lie алгебрасының векторлық кеңістігі негізін G үшін генераторлар жиыны деп атауға болады. (Олар G үшін «инфинитезималды генераторлар» деп те айтуға болады.) Математикада, Lie алгебрасы үшін генераторлардың S жиыны – S-ті қамтитын кез келген Lie субальгебрасы (төменде анықталғандай) S-тің өзі болуы керек деген талапқа сай келетін S-тің ішкі жиыны. Басқаша айтқанда, S элементтерінің барлық итерацияланған жақшаларымен (векторлық кеңістік ретінде) жазылатын кез келген элементті қамтиды.
Абельдік Lie алгебралары
Кез келген векторлық кеңістік, егер оған толыққандай нөлдік Лай тірегі берілсе, Лай алгебрасы болады. Мұндай Лай алгебрасы абельдік деп аталады. Лай тірегінің антисимметриялық қасиетіне сәйкес, кез келген бір өлшемді Лай алгебрасы абельдік болып табылады.
Матрицалардың Лай алгебрасы
Ассоциативтік алгебрада, көбейтуді арқылы белгіленгенде, Ли скобасын коммутатор арқылы анықтауға болады. Осы скобамен , Ли алгебра болады. (Жакоби сәйкестігі көбейтудің ассоциативтілігінен туындайды.) Жоғарыдағы Ли тірегі бар векторлық кеңістіктің эндоморфизм сақинасы деп белгіленеді. F өрісі және оң бүтін n үшін, F өрісі үстіндегі n × n матрицалар кеңістігі немесе деп белгіленеді, бұл матрицалардың коммутаторымен берілген тірегі бар Ли алгебрасы: Бұл алдыңғы мысалдың ерекше жағдайы; бұл Ли алгебрасының маңызды мысалы. Оны жалпы сызықтық Ли алгебрасы деп атайды. Егер F нақты сандар болса, – жалпы сызықтық топтың Ли алгебрасы болып табылады, бұл кері n x n нақты матрицалар тобы (әйтпесе, нөлдік емес детерминанты бар матрицалар), мұндағы топ операциясы матрица көбейту. Сол сияқты, – кешендік Ли тобының Ли алгебрасы. – дағы Ли скобасы матрица көбейту үшін коммутативтіліктің жоқтығын немесе сызықтық түрлендірулердің композициясын сипаттайды. Кез келген F өрісі үшін, алгебралық топтың Ли алгебрасы ретінде қарастырылуы мүмкін.
Мысал
Диагональдық матрицалардың ішкі кеңістігі – абельдік Ли субальгебрасы. (Бұл , компактты Ли топтары теориясындағы максималды торға ұқсас Картан субалгебрасы.) Мұнда , мысалы, идеал емес. Мысалы, егер болса, бұл есептеуден көрініп тұр:
(бұл әрқашан ішінде болмайды). Ли алгебрасының кез келген бір өлшемді сызықтық ішкі кеңістігі – абельдік Ли субальгебрасы, бірақ ол міндетті түрде идеал болуы керек емес.
Матрицалық Ли алгебралары
Матрицалық топ – бұл инверттенді матрицалардан тұратын Ли тобы, мұнда G тобының операциясы – матрицалық көбейту. Сәйкес Ли алгебрасы – бұл G-ге жанасатын векторлар матрицаларының кеңістігі, яғни сызықтық кеңістікте: бұл G-дегі тегіс қисықтардың сәйкестік матрицасындағы туындыларынан тұрады. Ли жақшасы матрицалардың коммутаторымен беріледі. Ли алгебрасы берілгенде, Ли тобын оның элементтерінің матрицалық экспонентасымен туындаған кіші топ ретінде қалпына келтіруге болады (Дәлірек айтқанда, бұл G-нің сәйкестік компонентін береді, егер G байланысқан болмаса). Мұнда экспоненциалдық бейнелеу әрбір матрица үшін конвергенциялайтын , арқылы анықталады. Осы ескертулер Lie тобының кешенді кіші топтарына және экспоненциалдық кешенді матрицаға (бірдей формуламен анықталған) да қатысты. Міне, матрицалық Ли топтары мен олардың Ли алгебраларының мысалдары. Оң бүтін сан n үшін, арнайы сызықтық топ 1-детерминанты бар барлық n × n нақты матрицалардан тұрады. Бұл – көлемді және бағйтты сақтайтын, өзіне өзіне дейінгі сызықтық түрлендірулер тобы. Абстрактілірек айтқанда, бұл жалпы сызықтық топтың коммутаторлық кіші тобы. Оның Ли алгебрасы 0 ізге ие барлық n × n нақты матрицалардан тұрады. Сол сияқты, ұқсас кешенді Ли тобын және оның Ли алгебрасын анықтауға болады. Ортогоналды топ геометриядағы негізгі рөлді атқарады: ол векторлардың ұзындығын сақтайтын, өзіне өзіне дейінгі сызықтық түрлендірулер тобы. Мысалы, айналулар мен кері айналулар оған жатады. Балама ретінде, бұл n x n ортогоналды матрицалар тобы, яғни , мұнда – матрицаның транспозі. Ортогоналды топтың екі байланысқан компоненті бар; сәйкестік компоненті 1-детерминанты бар ортогоналды матрицалардан тұратын арнайы ортогоналды топ деп аталады. Екі топтың да бірдей Ли алгебрасы бар – бұрышты симметриялық матрицалардың кеңістігі. Бұрышты симметриялық матрицалармен шексіз кішкентай айналуларға да қараңыз. Күрделі ортогоналды топ, оның сәйкестік компоненті және Ли алгебрасы n x n кешенді матрицаларға қолданылатын бірдей формулалармен беріледі. Балама ретінде, бұл – стандартты симметриялық билинейрлік форманы сақтайтын топтың кіші тобы. Унитарлық топ – бұл n × n унитарлық матрицалар тобы (қанағаттандыратын , мұнда – матрицаның конъюгатты транспозі). Оның Ли алгебрасы – бұрышты гермиттік матрицалардан тұрады. Бұл – үстіндегі, емес, үстіндегі Ли алгебрасы (әрине, i еселенген бұрышты гермиттік матрица гермиттік емес, керісінше гермиттік). Сол сияқты, унитарлық топ – кешенді Ли тобының нақты Ли кіші тобы. Мысалы, шеңбер тобы және оның Ли алгебрасы (осы көзқарас бойынша) . Арнайы унитарлық топ – детерминанты 1-ге тең матрицалардың кіші тобы. Оның Ли алгебрасы 0 ізге ие бұрышты гермиттік матрицалардан тұрады. Симплектикалық топ – стандартты антисимметриялық билинейрлік пішінді сақтайтын топтың кіші тобы. Оның Ли алгебрасы – симплектикалық Ли алгебрасы. Жоғарыда аталғандар және кез келген өрістегі нұсқалары – классикалық Ли алгебралары.
The Lie bracket of is given by the commutator of matrices, Given a Lie algebra , one can recover the Lie group as the subgroup generated by the matrix exponential of elements of (To be precise, this gives the identity component of G, if G is not connected.) Here the exponential mapping is defined by , which converges for every matrix
The same comments apply to complex Lie subgroups of and the complex matrix exponential, (defined by the same formula). Here are some matrix Lie groups and their Lie algebras. For a positive integer n, the special linear group consists of all real n × n matrices with determinant 1. This is the group of linear maps from to itself that preserve volume and orientation. More abstractly, is the commutator subgroup of the general linear group Its Lie algebra consists of all real n × n matrices with trace 0. Similarly, one can define the analogous complex Lie group and its Lie algebra The orthogonal group plays a basic role in geometry: it is the group of linear maps from to itself that preserve the length of vectors. For example, rotations and reflections belong to Equivalently, this is the group of n x n orthogonal matrices, meaning that , where denotes the transpose of a matrix. The orthogonal group has two connected components; the identity component is called the special orthogonal group , consisting of the orthogonal matrices with determinant 1. Both groups have the same Lie algebra , the subspace of skew symmetric matrices in See also infinitesimal rotations with skew symmetric matrices. The complex orthogonal group , its identity component , and the Lie algebra are given by the same formulas applied to n x n complex matrices. Equivalently, is the subgroup of that preserves the standard symmetric bilinear form on The unitary group is the subgroup of that preserves the length of vectors in (with respect to the standard Hermitian inner product). Equivalently, this is the group of n × n unitary matrices (satisfying , where denotes the conjugate transpose of a matrix). Its Lie algebra consists of the skew hermitian matrices in This is a Lie algebra over , not over (Indeed, i times a skew hermitian matrix is hermitian, rather than skew hermitian.) Likewise, the unitary group is a real Lie subgroup of the complex Lie group For example, is the circle group, and its Lie algebra (from this point of view) is The special unitary group is the subgroup of matrices with determinant 1 in Its Lie algebra consists of the skew hermitian matrices with trace zero. The symplectic group is the subgroup of that preserves the standard alternating bilinear form on Its Lie algebra is the symplectic Lie algebra The classical Lie algebras are those listed above, along with variants over any field.
шексіз өлшемдер
Позитивті өлшемді тегіс көптіктегі векторлық өрістердің Лай алгебрасы – шексіз өлшемді Лай алгебрасы болып табылады. Кац-Муди алгебралары – шексіз өлшемді Лай алгебраларының үлкен класы, мысалы, шекті өлшемді жай Лай алгебраларына ұқсас құрылыммен (мысалы, ). Мояль алгебрасы – барлық классикалық Лай алгебраларын субальгебралар ретінде қамтитын шексіз өлшемді Лай алгебрасы. Вирасоро алгебрасы – жота теориясында маңызды. F өрісіндегі Лай алгебрасын негізгі векторлық кеңістікке жіберетін функтордың сол жақ қосымшасы бар, ол V векторлық кеңістігіндегі еркін Лай алгебрасы деп аталады. Ол V элементтерінің барлық итерациялық Лай жақшаларымен жазылады, тек Лай алгебрасының анықтамасынан туындайтын қатынастар бойынша ғана модульдеумен. V өлшемі кем дегенде 2 болған жағдайда, еркін Лай алгебрасы шексіз өлшемді болады.
Анықтамалар
V векторлық кеңістігін қарастыра отырып, V-ден өзіне дейінгі барлық сызықтық түрлендірулерден тұратын Лай алгебрасын белгілейік, ал жақшасы A арқылы берілсін. V-дегі Лай алгебрасының өрнегі – Лай алгебрасының гомоморфизмі. Яғни, ол Лай алгебрасының әрбір элементін V-ден өзіне дейінгі сызықтық түрлендіруге жібереді, осылайша Лай жақшасы сызықтық түрлендірулердің коммутаторына сәйкес келеді. Егер ядросы нөл болса, онда өрнек адал деп аталады. Адо теоремасы бойынша, нөлдік сипаттамасы бар өріс үстіндегі әрбір шекті өлшемді Лай алгебрасы шекті өлшемді векторлық кеңістікте адал өрнекке ие. Кенкичи Ивасава бұл нәтижені кез келген сипаттамасы бар өріс үстіндегі шекті өлшемді Лай алгебраларына дейін кеңейтті. Балама түрінде, F өрісі үстіндегі әрбір шекті өлшемді Лай алгебрасы, қандай да бір оң бүтін n үшін, Лай субалгебрасына изоморфты.
That is, sends each element of to a linear map from V to itself, in such a way that the Lie bracket on corresponds to the commutator of linear maps. A representation is said to be faithful if its kernel is zero. Ado's theorem states that every finite dimensional Lie algebra over a field of characteristic zero has a faithful representation on a finite dimensional vector space. Kenkichi Iwasawa extended this result to finite dimensional Lie algebras over a field of any characteristic. Equivalently, every finite dimensional Lie algebra over a field F is isomorphic to a Lie subalgebra of for some positive integer n.
Өкілдік теориясының мақсаттары
Ли алгебраларын зерттеудің маңызды аспектілерінің бірі (әсіресе, төменде анықталған жартылай қарапайым Ли алгебралары) – олардың бейнелеулерін зерттеу болып табылады. Адо теоремасы маңызды нәтиже болғанымен, бейнелеу теориясының басты мақсаты берілген Ли алгебрасы үшін адал бейнелеу табу емес. Шындығында, жартылай қарапайым жағдайда, қосымша бейнелеудің өзі адал. Керісінше, мақсат – барлық мүмкін бейнелеулерді түсіну. Яғни, нөлдік сипаттамасы бар өріс үстіндегі жартылай қарапайым Ли алгебрасы үшін Вейл теоремасы былай демек: кез келген шекті өлшемді бейнелеу – азайтылмайтын бейнелеулердің тікелей қосындысы (тривиалды емес инвариантты кіші кеңістіктері жоқ). Шекті өлшемді азайтылмайтын бейнелеулер түрлі көзқарас тұрғысынан жақсы зерттелген; жартылай қарапайым Ли алгебраларының бейнелеу теориясы мен Вейлдің мінездемелік формуласын қараңыз.
Универсалды жапсырма алгебрасы
Ассоциативтік алгебраны F өрісінен A-ға Лай алгебрасы ретінде қабылдайтын функтордың сол жақ қосымшасы бар, ол әмбебап орау алгебрасы деп аталады. Оны құру үшін: F үстіндегі Лай алгебрасы берілген болсын, онда тензорлық алгебра , сонымен қатар векторлық кеңістіктегі бос ассоциативтік алгебра деп аталады. Мұнда F векторлық кеңістіктерінің тензорлық көбейтіндісі белгіленеді. I, элементтері арқылы туындаған екі жақты идеал болсын; онда әмбебап орау алгебрасы – бөлшек сақина. Ол Пуанкаре-Биркхофф-Витт теоремасын қанағаттандырады: егер k векторлық кеңістігі үшін база болса, онда әмбебап орау алгебрасының базасы барлық реттелген көбейтімдермен беріледі, мұнда – натурал сандар. Атап айтқанда, бейнелеу инъективті. әмбебап орау алгебрасының модульдеріне тең. Инъективтілік әрбір Лай алгебрасының (мүмкін шексіз өлшемді) адал бейнелеуі бар екенін білдіреді, атап айтқанда, оның бейнелеуі . Бұл сондай-ақ әрбір Лай алгебрасы кейбір ассоциативтік алгебраға қатысты Лай алгебрасының ішінде орналасқанын көрсетеді.
be the tensor algebra on , also called the free associative algebra on the vector space Here denotes the tensor product of F vector spaces. Let I be the two sided ideal in generated by the elements for ; then the universal enveloping algebra is the quotient ring It satisfies the Poincaré–Birkhoff–Witt theorem: if is a basis for as a k vector space, then a basis for is given by all ordered products with natural numbers. In particular, the map is injective. Representations of are equivalent to modules over the universal enveloping algebra. The fact that is injective implies that every Lie algebra (possibly of infinite dimension) has a faithful representation (of infinite dimension), namely its representation on This also shows that every Lie algebra is contained in the Lie algebra associated to some associative algebra.
Картанның критерийі
Картанның критерийі (Эли Картан) нөлдік сипаттағы шекті өлшемді Лай алгебрасының шешілетін немесе жартылай қарапайым болуына шарттар қояды. Ол Killing формасы, симметриялық билинейрлік форма арқылы беріледі, онда tr сызықтық оператордың ізін білдіреді. Атап айтқанда: Лай алгебрасы жартылай қарапайым болады, егер және тек қана Killing формасы бұрмаланбаса. Лай алгебрасы шешілетін болады, егер және тек қана егер
where tr denotes the trace of a linear operator. Namely: a Lie algebra is semisimple if and only if the Killing form is nondegenerate. A Lie algebra is solvable if and only if
Жіктеу
Леви ыдырауы әрбір шекті өлшемді Лай алгебрасы сипаттамалық нөл өрісі бойынша оның шешілетін радикалының жартылай тура көбейтіндісі және жартылай қарапайым Лай алгебрасы деп мәлімдейді. Сонымен қатар, сипаттамалық нөлдегі жартылай қарапайым Ли алгебрасы жоғарыда айтылғандай қарапайым Ли алгебраларының көбейтіндісі болып табылады. Бұл қарапайым Лай алгебраларын жіктеу мәселесіне назар аударады. Карактеристикалық нөлдің алгебралық жабық өрісі F үстіндегі шекті өлшемді қарапайым Лай алгебраларын 1880 және 1890 жылдары Киллинг және Картан тамыр жүйелерін пайдалана отырып жіктеді. Атап айтқанда, әрбір қарапайым Ли алгебрасы An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4 немесе G2 типті болып табылады. Мұнда An, Bn, Cn және Dn типті қарапайым Лай алгебрасы бар. Қалған бесеуі ерекше Лай алгебрасы деп аталады. Шекті өлшемді қарапайым Ли алгебраларының жіктелуі күрделірек, бірақ оны да Картан шешті (баламалы жіктелу үшін қарапайым Ли тобын қараңыз). Ли алгебрасын оның кешенділенуін қарастыру арқылы талдауға болады. 2004 жылға дейінгі жылдары шекті өлшемді қарапайым Ли алгебраларын алгебралық жабық сипаттамалық нөлдік емес өріс бойынша Ричард Эрл Блок, Роберт Ли Уилсон, Александр Премет және Гельмут Страйд жіктеді. (Қараңыз: Шектеулі Ли алгебрасы#Қарапайым Ли алгебраларының жіктелуі.) Оң сипаттағы қарапайым Ли алгебралары, нөлдік сипаттағыға қарағанда әлдеқайда көп екені анықталды.
In the years leading up to 2004, the finite dimensional simple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic were classified by Richard Earl Block, Robert Lee Wilson, Alexander Premet, and Helmut Strade. (See restricted Lie algebra#Classification of simple Lie algebras.) It turns out that there are many more simple Lie algebras in positive characteristic than in characteristic zero.
Ли тобымен байланысы
Лай алгебраларын өз бетінше зерттеуге болатындықтан, тарихи тұрғыдан олар Ли топтарын зерттеу құралы ретінде пайда болды. Ли тобы мен Ли алгебрасы арасындағы қатынасты былай қорытындылауға болады. Әр Ли тобы сәйкестіктегі жанама кеңістік ретінде Ли алгебрасын анықтайды. Керісінше, кез келген шекті өлшемді Ли алгебрасы үшін, сол Ли алгебрасымен байланысты жалғасқан Ли тобы бар. Бұл Лидің үшінші теоремасы; Бейкер-Кэмпбелл-Хаусдорф формуласына қараңыз. Бұл Ли тобы бірегей анықталмайды; алайда, бірдей Ли алгебрасына ие кез келген екі Ли тобы жергілікті изоморфты, тіпті одан да күшті, олардың әмбебап жамылғысы бірдей. Мысалы, арнайы ортогоналды топ SO(3) және арнайы унитарлық топ SU(2) изоморфты Ли алгебраларына ие, бірақ SU(2) – SO(3) тобының жай ғана байланысқан екі есе жамылғысы. Жай байланысқан Ли топтары үшін толық сәйкестік бар: Ли алгебрасын алу, жай байланысқан Ли топтарынан шекті өлшемді Ли алгебраларына дейінгі категориялардың теңдестігін береді. Ли алгебрасы мен Ли топтары арасындағы сәйкестік Ли топтарын жіктеу және Ли топтарының өкілдік теориясы сияқты бірнеше салаларда қолданылады. Шекті өлшемді өкілдіктер үшін, нақты Ли алгебрасының өкілдіктері мен сәйкес жай байланысқан Ли тобының өкілдіктері арасында категориялардың теңдестігі бар. Бұл Ли топтарының өкілдік теориясын жеңілдетеді: Ли алгебрасының өкілдіктерін жіктеу, көбінесе сызықтық алгебраны қолдану арқылы оңайырақ болады. Кез келген жалғасқан Ли тобы өзінің әмбебап жамылғысына дискретті орталық кіші топ бойынша изоморфты. Демек, Ли топтарын жіктеу, Ли алгебрасы белгілі болғаннан кейін, орталықтың дискретті кіші топтарын санау мәселесіне тосқанады. Мысалы, нақты жартылай жай Ли алгебраларын Картан жіктеді, сондықтан жартылай жай Ли топтарының жіктелуі жақсы түсініледі. Шексіз өлшемді Ли алгебралары үшін Ли теориясы нашар жұмыс істейді. Экспоненциалдық бейнелеу жергілікті гомеоморфизм болуы міндетті емес (мысалы, шеңбердің дифеоморфизмдер тобында, экспоненциалдық бейнелеудің кескінінде жоқ, сәйкестікке кездейсоқ жақын дифеоморфизмдер бар). Сонымен қатар, шексіз өлшемді Ли топтарының қазіргі түсініктері бойынша, кейбір шексіз өлшемді Ли алгебралары ешқандай топтан туындамайды. Ли теориясы шекті өлшемді топтың шексіз өлшемді өкілдіктері үшін де жақсы жұмыс істемейді. Тіпті қосымша топ үшін де, оның шексіз өлшемді өкілдігін сол кеңістікте Ли алгебрасының өкілдігін алу үшін дифференциалдау мүмкін емес, немесе керісінше. Хариш-Чандра модульдерінің теориясы – топтар мен Ли алгебралары үшін шексіз өлшемді өкілдіктер арасындағы күрделі қатынас.
The correspondence between Lie algebras and Lie groups is used in several ways, including in the classification of Lie groups and the representation theory of Lie groups. For finite dimensional representations, there is an equivalence of categories between representations of a real Lie algebra and representations of the corresponding simply connected Lie group. This simplifies the representation theory of Lie groups: it is often easier to classify the representations of a Lie algebra, using linear algebra. Every connected Lie group is isomorphic to its universal cover modulo a discrete central subgroup. So classifying Lie groups becomes simply a matter of counting the discrete subgroups of the center, once the Lie algebra is known. For example, the real semisimple Lie algebras were classified by Cartan, and so the classification of semisimple Lie groups is well understood. For infinite dimensional Lie algebras, Lie theory works less well. The exponential map need not be a local homeomorphism (for example, in the diffeomorphism group of the circle, there are diffeomorphisms arbitrarily close to the identity that are not in the image of the exponential map). Moreover, in terms of the existing notions of infinite dimensional Lie groups, some infinite dimensional Lie algebras do not come from any group. Lie theory also does not work so neatly for infinite dimensional representations of a finite dimensional group. Even for the additive group , an infinite dimensional representation of can usually not be differentiated to produce a representation of its Lie algebra on the same space, or vice versa. The theory of Harish Chandra modules is a more subtle relation between infinite dimensional representations for groups and Lie algebras.
Нақты форма және күрделілендіру
Күрделі Лай алгебрасы берілген болса, нақты Лай алгебрасы нақты форма деп аталады, егер оның күрделілендірілуі берілген алгебраға изоморф болса. Нақты форма бірегей болуы міндетті емес; мысалы, -ның изоморфизмге дейін екі нақты формасы бар, атап айтқанда, және .
Жартылай қарапайым күрделі Лай алгебрасы берілген болса, оның бөлінген формасы – бұл бөлінетін нақты форма, яғни, нақты өзіндік мәндерімен әрекет ететін жанама өкілдік арқылы әрекет ететін Картан субалгебрасы бар. Бөлінген форма бар және изоморфизмге дейін бірегей. Компакт форма – бұл компактты Лай тобының Лай алгебрасы болып табылатын нақты форма. Компакт форма да бар және изоморфизмге дейін бірегей.
Given a semisimple complex Lie algebra , a split form of it is a real form that splits; i. e., it has a Cartan subalgebra which acts via an adjoint representation with real eigenvalues. A split form exists and is unique (up to isomorphism). A compact form is a real form that is the Lie algebra of a compact Lie group. A compact form exists and is also unique up to isomorphism.
Жалған сөйлем
Өрістегі Ли алгебрасының анықтамасы кез келген коммутативті сақина R-ге Ли алгебрасын анықтауға дейін кеңейтіледі. Атап айтқанда, R-ге Ли алгебрасы – Якоби сәйкестігін қанағаттандыратын R-дің ауыспалы билинеарлық бейнесі бар R модулі болып табылады. Тік сандар сақинасындағы Ли алгебрасы кейде Ли сақинасы деп аталады. (Бұл Ли тобының ұғымымен тікелей байланысты емес.) Ли сақиналары Лазард сәйкестігі арқылы шекті p топтарын зерттеуде қолданылады (p – жай сан). Шекті p тобының төменгі орталық факторлары – шекті абельдік p топтары. Төменгі орталық факторлардың тікелей қосындысына екі косет өкілінің коммутаторы ретінде жақшаны анықтап, Ли сақинасының құрылымы беріледі; төмендегі мысалға қараңыз. p-адық Ли топтары p-адық сандар өрісіндегі де, p-адық бүтін сандар сақинасындағы да Ли алгебраларымен байланысты. Клод Шевалье жасаған Ли типті шекті топтар құрастыруының бір бөлігі – күрделі сандардағы қарапайым Ли алгебрасы бүтін сандардағы Ли алгебрасынан, содан кейін (көбірек сақтықпен) бүтін сандардағы топтық схемадан туындайтынын көрсетуді қамтиды.