Кіріспе

1-ге тең детерминанты бар матрицалар тобы. Математикада, R коммутативтік сақинасы үстіндегі n дәрежелі SL(n, R) арнайы сызықтық тобы – 1-ге тең детерминанты бар n × n матрицалар жиынтығы, топтық амалдары ретінде қалыпты матрица көбейту және матрицаға кері амал қолданылады. Бұл, детерминанттың ядросы арқылы берілген жалпы сызықтық топтың нормальды ішкі тобы. Мұнда R× – R-дің көбейту тобы (яғни, 0-ді қоспағандағы R). Бұл элементтер "арнайы", себебі олар жалпы сызықтық топтың алгебралық субвариантын құрайды – олар полиномдық теңдеуді қанағаттандырады (себебі детерминант кірістіктерінің полиномы болып табылады). R – q реттік шекті өріс болған жағдайда, кейде SL(n, q) белгісі қолданылады.

Геометриялық түсіндіру

SL(n, R) арнайы сызықтық тобын Rn кеңістігінде көлемді және бағитталуды сақтайтын сызықтық түрлендірулер тобы ретінде сипаттауға болады; бұл детерминанттың көлем мен бағитталудың өзгеруін өлшеу ретіндегі түсінігімен сәйкес келеді.

Лей субтобы

F R немесе C болғанда, SL(n, F) GL(n, F) Lie субтобы болып табылады, оның өлшемі n² − 1-ге тең. SL(n, F) Lie алгебрасы F-тан n × n матрицаларынан тұрады, олардың іздері нөлге тең. Lie қабысқандығы коммутатор арқылы беріледі.

Топология

Кез келген инверттік матрицаны полярлық ыдырау бойынша бірлік матрица мен оң өзіндік мәндері бар гермиттік матрицаның көбейтіндісі ретінде бірегей түрде көрсетуге болады. Біртұтас матрицаның детерминанты бірлік шеңберде орналасса, гермиттік матрицаның детерминанты нақты және оң болады. Ал егер матрица арнайы сызықтық топқа жатса, онда осы екі детерминанттың көбейтіндісі 1-ге тең болуы керек, демек, олардың әрқайсысы 1-ге тең болуы тиіс. Сондықтан, арнайы сызықтық матрицаны арнайы бірлік матрицаның (немесе нақты жағдайда арнайы ортогональды матрицаның) және детерминанты 1-ге тең болатын оң анықталған гермиттік матрицаның (немесе нақты жағдайда симметриялық матрицаның) көбейтіндісі ретінде жазуға болады. Осылайша, SL(n, C) тобының топологиясы SU(n) тобының топологиясы мен оң өзіндік мәндері бар және бірлік детерминанты бар гермиттік матрицалар тобының топологиясының көбейтіндісі болып табылады. Бірлік детерминанты бар және оң өзіндік мәндері бар гермиттік матрицаны ізсіз гермиттік матрицаның экспонентасы ретінде бірегей түрде көрсетуге болады, сондықтан оның топологиясы (n² − 1) өлшемді Евклид кеңістігінің топологиясына тең. SU(n) тобы жай байланысқан болғандықтан, SL(n, C) тобы да барлық n ≥ 2 үшін жай байланысқан деп қорытындылаймыз. SL(n, R) тобының топологиясы SO(n) тобының топологиясы мен оң өзіндік мәндері бар және бірлік детерминанты бар симметриялық матрицалар тобының топологиясының көбейтіндісі болып табылады. Соңғы матрицаларды симметриялық және ізсіз матрицалардың экспонентасы ретінде бірегей түрде көрсетуге болады, демек, осы соңғы топология (n + 2)(n − 1)/2 өлшемді Евклид кеңістігінің топологиясына тең. Осылайша, SL(n, R) тобы SO(n) тобымен бірдей негізгі топқа ие, яғни Z, егер n = 1 немесе n = 2 болса, және Z₂ егер n > 2 болса. Атап айтқанда, бұл SL(n, R) тобы, SL(n, C) тобынан айырмашылығы, n > 1 болғанда жай байланысқан емес екенін білдіреді.

Генераторлар мен байланыс

Егер SL трансвекциялар арқылы (мысалы, өріс немесе Евклид домені) жасалған сақинада жұмыс істесек, SL-ді кейбір қатынастармен трансвекцияларды қолдану арқылы беруге болады. Трансвекциялар Штайнберг қатынастарын қанағаттандырады, бірақ олар жеткіліксіз: нәтижесіндегі топ – Штайнберг тобы, ол арнайы сызықтық топ емес, GL-дың коммутаторлық кіші тобының әмбебап орталық кеңейтімі. SL(n, Z) үшін, n ≥ 3 үшін жеткілікті қатынастар жиынтығы Штайнберг қатынастарының екеуімен және үшінші қатынаспен беріледі. 1=Tij := eij(1) – диагональде және ij позициясында 1-і, ал қалғандары 0-ге тең (және i ≠ j) элементарлық матрица болсын. Онда SL(n, Z), n ≥ 3 үшін қатынастардың толық жиынтығы болады.

СН±(n,F)

2-ден өзгеше сипаттамада, детерминанты ±1-ге тең матрицалар жиыны GL-дің тағы бір кіші тобын құрайды, SL – 2-индексті кіші топ (қажетті түрде нормальды); 2-сипаттамада бұл SL-мен бірдей. Бұл топтардың қысқа толық тізбегін құрайды:

Бұл тізбек детерминанты -1-ге тең кез келген матрицаны алу арқылы, мысалы, диагональдық матрицаны алу арқылы бөлінеді. Егер *n* тақ болса, теріс бірлік матрицасы SL^(±)(n,F)-қа жатады, бірақ SL(n,F)-қа жатпайды, сондықтан топ ішкі тікелей көбейту ретінде бөлінеді. Дегенмен, егер *n* жұп болса, онда ол SL(n,F)-қа жатады, SL^(±) бөлінбейді және, жалпы алғанда, тривиалды емес топтық кеңейту болып табылады. Нақты сандар жиынында SL^(±)(n, R) екі байланысқан компонентке ие, олар SL(n, R) және тағы бір компонентке сәйкес келеді, олар бір таңдалған нүктеге (детерминанты -1-ге тең матрицаға) байланысты изоморфты. Тақ өлшемде олар табиғи түрде сәйкестендіріледі, бірақ жұп өлшемде бірде-бір табиғи сәйкестендіру жоқ.