Кіріспе
n × n инверттік матрицалар тобы Математикада n дәрежелі жалпы сызықтық топ — бұл n × n инверттік матрицалар жиыны, сонымен қатар қалыпты матрица көбейту операциясы. Бұл топты құрайды, себебі екі инверттік матрицаның көбейтіндісі қайтадан инверттік болады, ал инверттік матрицаның керісі де инверттік болады, топтың сәйкестік элементі ретінде бірлік матрицасы қолданылады. Бұл топ осылай аталуының себебі, инверттік матрицаның бағандары (сондай-ақ қатарлары) сызықтық тәуелсіз болады, демек олар анықтайтын векторлар/нүктелер жалпы сызықтық жағдайда орналасады, ал жалпы сызықтық топтағы матрицалар жалпы сызықтық жағдайдағы нүктелерді жалпы сызықтық жағдайдағы нүктелерге айналдырады. Нақтырақ айтқанда, матрицаның элементтерінде қандай нысандар болуы мүмкін екенін көрсету қажет. Мысалы, R (нақты сандар жиыны) бойынша жалпы сызықтық топ — нақты сандардың n × n инверттік матрицалар тобы, және ол GLn(R) немесе GL(n, R) деп белгіленеді. Көбірек жалпылаған түрде, F (мысалы, кешенді сандар) кез келген өрісі бойынша n дәрежелі жалпы сызықтық топ немесе R сақинасы (мысалы, бүтін сандар сақинасы) — F (немесе R) элементтерінен құралған n × n инверттік матрицалар жиыны, қайтадан матрица көбейтуі топтық операция ретінде қолданылады. Типик жазуы GLn(F) немесе GL(n, F), немесе жай ғана GL(n) егер өріс түсінікті болса. Одан да жалпылаған түрде, векторлық кеңістіктің жалпы сызықтық тобы GL(V) — бұл автоморфизм тобы, міндетті түрде матрица түрінде жазылмаған. SL(n, F) немесе SLn(F) деп жазылатын арнайы сызықтық топ — GL(n, F) тобының 1-ге тең детерминанты бар матрицалардан тұратын ішкі тобы болып табылады. GL(n, F) тобы және оның ішкі топтары көбінесе сызықтық топтар немесе матрицалық топтар деп аталады (автоморфизм тобы GL(V) — сызықтық топ, бірақ матрицалық топ емес). Бұл топтар топтық өкілдіктер теориясында маңызды, сондай-ақ кеңістіктік симметрияларды және векторлық кеңістіктердің симметрияларын зерттеуде, сонымен қатар полиномдарды зерттеуде де қолданылады. Модульдік топты SL(2, Z) арнайы сызықтық тобының бөлігі ретінде жүзеге асыруға болады. Егер n ≥ 2 болса, онда GL(n, F) тобы абельдік емес.
In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. This forms a group, because the product of two invertible matrices is again invertible, and the inverse of an invertible matrix is invertible, with the identity matrix as the identity element of the group. The group is so named because the columns (and also the rows) of an invertible matrix are linearly independent, hence the vectors/points they define are in general linear position, and matrices in the general linear group take points in general linear position to points in general linear position. To be more precise, it is necessary to specify what kind of objects may appear in the entries of the matrix. For example, the general linear group over R (the set of real numbers) is the group of n×n invertible matrices of real numbers, and is denoted by GLn(R) or GL(n, R). More generally, the general linear group of degree n over any field F (such as the complex numbers), or a ring R (such as the ring of integers), is the set of n×n invertible matrices with entries from F (or R), again with matrix multiplication as the group operation. Typical notation is GLn(F) or GL(n, F), or simply GL(n) if the field is understood. More generally still, the general linear group of a vector space GL(V) is the automorphism group, not necessarily written as matrices. The special linear group, written SL(n, F) or SLn(F), is the subgroup of GL(n, F) consisting of matrices with a determinant of 1. The group GL(n, F) and its subgroups are often called linear groups or matrix groups (the automorphism group GL(V) is a linear group but not a matrix group). These groups are important in the theory of group representations, and also arise in the study of spatial symmetries and symmetries of vector spaces in general, as well as the study of polynomials. The modular group may be realised as a quotient of the special linear group SL(2, Z). If n ≥ 2, then the group GL(n, F) is not abelian.
Векторлық кеңістіктің жалпы сызықтық тобы
Егер V – F өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болса, V-нің жалпы сызықтық тобы, GL(V) немесе Aut(V) деп белгіленеді, V-нің барлық автоморфизмдерінің тобы, яғни V → V биективті сызықтық түрлендірулердің жиынтығы, топтық амал ретінде функционалдық композициямен бірге. Егер V-нің өлшемі n-ге тең болса, онда GL(V) және GL(n, F) изоморфты болады. Изоморфизм канондық емес; ол V-дегі базистің таңдалуына байланысты. V-нің базисі (e1, ..., en) және GL(V)-дегі T автоморфизмі берілген болса, онда әрбір базистік вектор ei үшін, F-дегі aij тұрақтылары үшін:
Т-ге сәйкес келетін матрица – aji элементтерімен берілген матрица. Сол сияқты, коммутативті сақина R үшін GL(n, R) тобын n ранктік еркін R модулі M-нің автоморфизмдер тобы ретінде қарастыруға болады. GL(M) кез келген R модулі үшін де анықтауға болады, бірақ жалпы жағдайда бұл GL(n, R)-ға (кез келген n үшін) изоморфты емес.
Анықтамалық факторлар бойынша
F өрісі бойынша матрицаның детерминанты нөлден өзгеше болса ғана ол кері айналады. Сондықтан, GL(n, F) – нөлден басқа детерминанты бар матрицалар тобы ретінде анықталады. Коммутативті R сақинасында көбірек назар қажет: R сақинасындағы матрицаның детерминанты R сақинасының бірлігі болса ғана ол кері айналады, яғни детерминанты R сақинасында кері айналса. Сондықтан, GL(n, R) детерминанттары бірлік болатын матрицалар тобы ретінде анықталуы мүмкін. Коммутативті емес R сақинасында детерминанттар жақсы қасиетке ие емес. Осы жағдайда, GL(n, R) матрицалық сақина M(n, R) –дың бірлік тобы ретінде анықталуы мүмкін.
Нақты оқиға
Нақты сандар өрісіндегі жалпы сызықтық топ GL(n, R) – n² өлшемді нақты Лай тобы болып табылады. Мұны көру үшін, барлық n×n нақты матрицалар жиыны Mn(R) n² өлшемді нақты векторлық кеңістік құрайтынын ескеріңіз. GL(n, R) жиыны – детерминанты нөлге тең емес матрицалардан тұрады. Анықтауыш – полиномдық функция, сондықтан GL(n, R) – Mn(R) ашық аффиндік субварианты (Зариски топологиясындағы Mn(R) бос емес ашық жиыны), демек, сол өлшемдегі тегіс көптік. GL(n, R) Лай алгебрасы – барлық n×n нақты матрицалардан тұрады, мұнда коммутатор Лай қашаты ретінде қолданылады. GL(n, R) көптік ретінде байланыссыз, оның орнына екі байланысқан компоненті бар: оң детерминанты бар матрицалар және теріс детерминанты бар матрицалар. GL+(n, R) арқылы белгіленетін сәйкестік компоненті – оң детерминанты бар n×n нақты матрицалардан тұрады. Бұл да n² өлшемді Лай тобы, оның Лай алгебрасы GL(n, R) сияқты. Инвертирленетін матрицалар үшін бірегей болатын полярлық жіктелу, GL(n, R) мен O(n) және оң анықталған симметриялық матрицалар жиынының декарт көбейтіндісі арасында гомеоморфизм бар екенін көрсетеді. Сол сияқты, GL+(n, R) мен SO(n) және оң анықталған симметриялық матрицалар жиыны арасында да гомеоморфизм бар. Соңғысы жиырылатындықтан, GL+(n, R) негізгі тобы SO(n) тобына изоморфты. Гомеоморфизм сонымен қатар GL(n, R) тобының компакт емес екенін көрсетеді. GL(n, R) тобының ең үлкен компактты кіші тобы – ортогоналды топ O(n), ал GL+(n, R) тобының ең үлкен компактты кіші тобы – арнайы ортогоналды топ SO(n). SO(n) тобына келетін болсақ, GL+(n, R) тобы жай ғана байланыссыз (тек n=1 болғанда ғана байланысты), оның орнына n=2 болғанда Z-ге, ал n>2 болғанда Z₂-ге изоморфты негізгі тобы бар.
a smooth manifold of the same dimension. The Lie algebra of GL(n, R), denoted consists of all n×n real matrices with the commutator serving as the Lie bracket. As a manifold, GL(n, R) is not connected but rather has two connected components: the matrices with positive determinant and the ones with negative determinant. The identity component, denoted by GL+(n, R), consists of the real n×n matrices with positive determinant. This is also a Lie group of dimension n2; it has the same Lie algebra as GL(n, R). The polar decomposition, which is unique for invertible matrices, shows that there is a homeomorphism between GL(n, R) and the Cartesian product of O(n) with the set of positive definite symmetric matrices. Similarly, it shows that there is a homeomorphism between GL+(n, R) and the Cartesian product of SO(n) with the set of positive definite symmetric matrices. Because the latter is contractible, the fundamental group of GL+(n, R) is isomorphic to that of SO(n). The homeomorphism also shows that the group GL(n, R) is noncompact. “The” maximal compact subgroup of GL(n, R) is the orthogonal group O(n), while "the" maximal compact subgroup of GL+(n, R) is the special orthogonal group SO(n). As for SO(n), the group GL+(n, R) is not simply connected (except when 1=n = 1), but rather has a fundamental group isomorphic to Z for 1=n = 2 or Z2 for n > 2.
Тарих
Жалпы сызықтық топты жай өріс үстінде, GL(ν, p), Эварист Галуа 1832 жылы өзінің соңғы хатында (Шевальеге) және үштен екінші қоса берілген қолжазбасында құрастырып, оның реттілігін есептеді. Ол бұл топты pν реттік жалпы теңдеудің Галуа тобын зерттеу аясында қолданды.
Диагональды кіші топтар
Барлық инверттелетін диагональ матрицалар жиыны GL(n, F) кіші тобын құрайды және (F×)n-ге изоморфты. Нақты сандар (R) және кешенді сандар (C) сияқты өрістерде бұл кеңістікті масштабтауға сәйкес келеді; осылай аталатын кеңейтулер мен қысқартулар. Скалярлық матрица – тұрақты санға көбейтілген бірлік матрица болып табылатын диагональ матрица. Барлық нөлдік емес скалярлық матрицалар жиыны GL(n, F) кіші тобын құрайды және F×-ке изоморфты. Бұл топ GL(n, F) орталығы болып табылады. Атап айтқанда, бұл қалыпты, абельдік кіші топ. SL(n, F) орталығы – бірлік детерминанты бар барлық скалярлық матрицалар жиыны, және ол F өрісіндегі n-ші дәрежелі бірлік түбірлерінің тобына изоморфты.
Жобалық сызықтық топ
Проективті сызықтық топ PGL(n, F) және проективті арнайы сызықтық топ PSL(n, F) – GL(n, F) және SL(n, F) топтарының орталықтарына қатысты (олар сәйкестік матрицаның еселіктерінен тұрады) бөлінділері; олар сәйкес проективті кеңістіктегі индукцияланған әрекеттер болып табылады.
Толық сызықтық моноид
Детерминанттың нөлдік емес шектеуін жойғанда алынатын толық сызықтық моноид, көбінесе толық сызықтық моноид деп аталатын, кейде толық сызықтық жартылай топ немесе жалпы сызықтық моноид деп те аталатын моноидқа ұқсас алгебралық құрылымды құрайды. Ол реттелген жартылай топ болып табылады. Егер детерминанттың нөлдік емес болуы туралы шектеуді жойсақ, нәтижедегі алгебралық құрылым моноид болады, әдетте толық сызықтық моноид деп аталады, бірақ кейде толық сызықтық жартылай топ, жалпы сызықтық моноид сияқты басқаша да аталады. Шындығында, ол реттелген жартылай топ. Ол алгебралық K-теориясында K1-ді анықтау үшін қолданылады, ал Bott кезеңділігінің арқасында нақты сандар бойынша жақсы түсінілген топологияға ие. Оны Гильберт кеңістігіндегі (шектелген) инвертирленетін операторлар кеңістігімен шатастырмау керек, ол үлкен топ және топологиялық тұрғыдан әлдеқайда қарапайым, атап айтқанда, қысқартылатын – Койпер теоремасын қараңыз.