Введение

Основной результат в теории представлений групп Ли
В математике теорема Бореля — Вейля — Ботта является фундаментальным результатом в теории представлений групп Ли, демонстрирующим, как семейство представлений можно получить из голоморфных сечений определенных комплексных векторных расслоений и, в более общем случае, из групп высшей когомологии, связанных с этими расслоениями. Она основана на более ранней теореме Бореля — Вейля, сформулированной Арманом Борелем и Андре Вейлем, которая рассматривала только пространство сечений (нулевая группа когомологий), а расширение на группы высшей когомологии было предложено Раулем Боттом. Эквивалентно, посредством GAGA Серра, этот результат можно рассматривать как относящийся к комплексной алгебраической геометрии в топологии Зариски.

Пример

Например, рассмотрим G = SL2(C), для которого G/B является сферой Римана, интегральный вес задается просто целым числом n, и ρ = 1. Прямой пучок Ln – это , чьи сечения являются однородными многочленами степени n (то есть бинарными формами). Как представление G, сечения можно записать как Sym^(n)(C^(2))*, и они канонически изоморфны Sym^(n)(C^(2)). Это сразу дает нам теорию представлений: является стандартным представлением, а является его n-й симметричной степенью. У нас даже есть единое описание действия алгебры Ли, вытекающее из ее реализации как векторных полей на сфере Римана: если H, X, Y – стандартные генераторы , то

Положительная характеристика

Также существует более слабая форма этой теоремы для положительной характеристики. А именно, пусть G – полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики p. Тогда остаётся верным, что для всех i, если λ – вес, который является не доминантным для всех простых корней, пока λ "близко к нулю". Это известно как теорема об исчезновении Кемпфа. Однако другие утверждения теоремы в этой ситуации перестают выполняться. Более конкретно, пусть λ – доминантный интегральный вес; тогда по-прежнему верно, что для всех i, но в общем случае этот G-модуль не является простым, хотя он содержит единственный модуль старшего веса с старшим весом λ как G-подмодуль. Если λ – произвольный интегральный вес, то описание модулей когомологии в общем случае является крупной нерешённой проблемой в теории представлений. В отличие от случая характеристики 0, Мамфорд привёл пример, показывающий, что для фиксированного λ не обязательно, чтобы все эти модули были равны нулю, за исключением одной степени i.

Теорема Бореля и Вейля

Теорема Бореля — Вейля предоставляет конкретную модель для неразложимых представлений компактных групп Ли и неразложимых голоморфных представлений комплексных полупростых групп Ли. Эти представления реализуются в пространствах глобальных сечений голоморфных линейных расслоений на флаговом многообразии группы. Теорема Бореля — Вейля — Ботта является её обобщением на пространства высшей когомологии. Теорема восходит к началу 1950-х годов и может быть найдена в и .

Заявление теоремы

Теорема может быть сформулирована как для комплексной полупростой группы Ли G, так и для ее компактной формы K. Пусть G — связная комплексная полупростая группа Ли, B — подгруппа Бореля группы G, а X — флаговое многообразие. В этом случае X является комплексным многообразием и несингулярным алгебраическим многообразием. Флаговое многообразие также можно описать как компактное однородное пространство K/T, где T — (компактная) подгруппа Картана группы K. Целочисленный вес λ определяет голоморфный линейный расслоение Lλ на X, и группа G действует на пространстве его глобальных сечений.

Теорема Бореля — Вейля утверждает, что если λ — доминирующий целочисленный вес, то это представление является голоморфным неприводимым представлением старшего веса G со старшим весом λ. Его ограничение на K является неприводимым унитарным представлением K со старшим весом λ, и каждое неприводимое унитарное представление K получается таким образом для единственного значения λ. (Голоморфное представление комплексной группы Ли — это представление, для которого соответствующее представление алгебры Ли является комплексно-линейным.)

Пример

Пусть G — комплексная специальная линейная группа SL(2, ℂ), с борелевской подгруппой, состоящей из верхнетреугольных матриц с определителем, равным единице. Целочисленные веса для G можно отождествить с целыми числами, при этом доминирующие веса соответствуют неотрицательным целым числам, а соответствующие характеры χn для B имеют вид

Флаг-разнообразие G/B можно отождествить с комплексной проективной прямой ℂP¹ с однородными координатами X, Y, а пространство глобальных сечений линейного расслоения Ln отождествляется с пространством однородных полиномов степени n на ℂ². Для n ≥ 0 это пространство имеет размерность n + 1 и образует неприводимое представление при стандартном действии G на полиномиальной алгебре ℂ[X, Y]. Веса векторов задаются мономами

веса 2i − n, а вектор старшего веса Xⁿ имеет вес n.