Кіріспе
Біртұтас матрицалар тобы
Математикада n дәрежелі біртұтас матрицалар тобы, U(n) деп белгіленеді, – бұл n × n өлшемді біртұтас матрицалардың жиыны, топтық операциясы матрица көбейту болып табылады. Біртұтас топ – жалпы сызықтық топ GL(n, C) кіші тобы. Гиперортогональды топ – біртұтас топтың, әсіресе шекті өрістердегі көне атауы. 1-ге тең детерминанты бар біртұтас матрицалар тобы үшін Арнайы біртұтас топқа қараңыз. Ең қарапайым жағдайда, егер n = 1 болса, U(1) тобы абсолюттік шамасы 1-ге тең барлық кешенді сандардан тұратын шеңбер тобына сәйкес келеді, олар көбейту арқылы анықталады. Барлық біртұтас топтарда осы топтың көшірмелері кездеседі. U(n) біртұтас тобы n² өлшемді нақты Лай тобы болып табылады. U(n) Лай алгебрасы n × n өлшемді қисық Гермит матрицаларынан тұрады, Лай скобасы коммутатор арқылы беріледі. Жалпы біртұтас топ (кейде біртұтас ұқсастықтар тобы деп те аталады) – бұл A*A өзіндік матрицаның нөлдік емес еселігі болып табылатын барлық матрицалардан тұрады, және ол біртұтас топ пен өзіндік матрицаның барлық оң еселіктері тобының көбейтіндісімен тең.
Арнайы бірлік және проективті бірлік топтары
Ортогональды топ O(n) арнайы ортогональды топ SO(n) қосалқы топ ретінде, проективті ортогональды топ PO(n) фактор-топ ретінде, ал проективті арнайы ортогональды топ PSO(n) фактор-қосалқы топ ретінде болатындай, унитарлық топ U(n) оған арнайы унитарлық топ SU(n), проективті унитарлық топ PU(n) және проективті арнайы унитарлық топ PSU(n) байланыстырылған. Бұл байланыс оң жақтағы коммутативтік диаграмма арқылы көрсетілген; ерекше айта келерлік жайт, екі проективті топ тең: PSU(n) = PU(n). Жоғарыда айтылғандар классикалық унитарлық топқа (кешендік сандар бойынша) қатысты – шекті өрістердегі унитарлық топтар үшін де сол сияқты арнайы унитарлық және проективті унитарлық топтар алынады, бірақ жалпы жағдайда…
G-құрылымы: Hermitian шамасында
G құрылымдарының тілінде U(n) құрылымы бар көптік – дерлік гермиттік көптік.
Шекті өрістер
1=q = pr элементтері бар шекті өрісте, Fq, 2-рет автоморфизмі бар Fq2 бірегей квадраттық кеңейту өрісі бар (Фробен автоморфизмінің r-дәрежелі қуаты). Бұл Fq2 векторлық кеңістігіндегі V-де Гермиттік форманы Fq білинейлі карта ретінде анықтауға мүмкіндік береді, мұнда c ∈ Fq2 үшін . Сонымен қатар, шекті өріс үстіндегі векторлық кеңістіктегі барлық дегенерацияланбаған Гермиттік нысандар сәйкестік матрицасымен берілген стандартты нысанға бірліктей сәйкес келеді; яғни, кез келген Гермиттік нысан бірліктей тең болады, мұнда w, v ∈ V координаталары n өлшемді кеңістіктің белгілі бір Fq2 негізінде берілген. Осылайша Fq2/Fq кеңейтуі үшін n өлшемді (бірден-бір) бірлік топты анықтауға болады, ол авторға байланысты U(n, q) немесе U(n, q2) деп белгіленеді. 1-детерминанты матрицаларынан тұратын бірлік топтың кіші тобы арнайы бірлік топ деп аталады және SU(n, q) немесе SU(n, q2) деп белгіленеді. Ыңғайлылық үшін, бұл мақалада U(n, q2) белгілеуі қолданылады. U(n, q2) орталығында q + 1 рет бар және ол унитарлық скалярлық матрицалардан тұрады, яғни cIV матрицалары. Арнайы унитарлық топтың орталығында gcd(n, q + 1) рет бар және ол n-ді бөлетін тәртіпке ие унитарлық скалярлардан тұрады. Бірлік топты ортасымен бөлу нәтижесінде алынған топқа проективті бірлік топ, PU(n, q2) деп аталады, ал арнайы бірлік топты ортасымен бөлу нәтижесінде алынған топқа проективті арнайы бірлік топ PSU(n, q2) деп аталады. Көп жағдайда (n > 1 және ), SU(n, q2) - кемелді топ, ал PSU(n, q2) - шекті қарапайым топ, .
where represent the coordinates of w, v ∈ V in some particular Fq2 basis of the n dimensional space V
Thus one can define a (unique) unitary group of dimension n for the extension Fq2/Fq, denoted either as U(n, q) or U(n, q2) depending on the author. The subgroup of the unitary group consisting of matrices of determinant 1 is called the special unitary group and denoted SU(n, q) or SU(n, q2). For convenience, this article will use the U(n, q2) convention. The center of U(n, q2) has order q + 1 and consists of the scalar matrices that are unitary, that is those matrices cIV with The center of the special unitary group has order gcd(n, q + 1) and consists of those unitary scalars which also have order dividing n. The quotient of the unitary group by its center is called the projective unitary group, PU(n, q2), and the quotient of the special unitary group by its center is the projective special unitary group PSU(n, q2). In most cases (n > 1 and ), SU(n, q2) is a perfect group and PSU(n, q2) is a finite simple group, .
2-дәрежелі бөлінгіш алгебралар
Жалпы алғанда, k өрісі және 2 дәрежелі ажыратылатын k алгебрасы K (бұл өріс кеңейтілуі болуы мүмкін, бірақ міндетті емес) берілгенде, осы кеңейтуге қатысты унитарлық топтарды анықтауға болады. Біріншіден, K-нің бірегей k автоморфизмі бар, ол инволюция болып табылады және тек k-ні ғана өзгеріссіз қалдырады (яғни a ∈ k болған жағдайда ғана). Бұл кешенді конъюгацияны және 2 дәрежелі шекті өріс кеңейтімдерінің конъюгациясын жалпылайды, сондай-ақ жоғарыда көрсетілгендей гермиттік формаларды және унитарлық топтарды анықтауға мүмкіндік береді.
Аумақты жіктеу
U(n) үшін жіктеу кеңістігі «U(n) үшін жіктеу кеңістігі» атты мақалада сипатталған.