Кіріспе

Математикадағы тақырып – нақты Ли тобының кешенділенуі. Математикада, нақты сандар өрісіндегі V векторлық кеңістігінің кешенділенуі ("нақты векторлық кеңістік") кешенді сандар өрісіндегі векторлық кеңістік тудырады, бұл векторларды нақты сандармен масштабындауды формалды түрде кеңейту арқылы, оларды кешенді сандармен де масштабындауға ("көбейтуге") мүмкіндік береді. V-нің кез келген базисі (нақты сандар үстіндегі кеңістік) кешенді сандар үстіндегі базис ретінде де қолданылуы мүмкін.

Ресми анықтама

Бұл нақты векторлық кеңістік болсын. V-нің комплекстендірілуі, V-ті комплекс сандармен (нақты сандар үстіндегі 2 өлшемді векторлық кеңістік ретінде қарастырылады) тензорлық көбейту арқылы анықталады:

Тензорлық көбейтіндідегі , белгісі тензорлық көбейтудің нақты сандар арқылы екенін көрсетеді (V нақты векторлық кеңістік болғандықтан, бұл жалғыз логикалық нұсқа, сондықтан белгіні қауіпсіз түрде жіберуге болады). Қазіргі күйінде, бұл тек нақты векторлық кеңістік. Алайда, келесідей комплекстік көбейтуді анықтап, оны комплекс векторлық кеңістікке айналдыра аламыз:

Жалпы алғанда, комплекстендіру – скалярларды кеңейтудің мысалы, мұнда скалярлар нақты сандардан комплекс сандарға дейін кеңейтіледі, және бұл кез келген өріс кеңейтуі үшін немесе тіпті кез келген сақина гомоморфизмі үшін жасалуы мүмкін. Формальды түрде, комплекстендіру – функтор Vect’R → Vect’C, нақты векторлық кеңістіктер санатынан комплекс векторлық кеңістіктер санатына дейін. Бұл – қосымша функтор, нақтырақ айтқанда сол жақ қосымша, комплекс құрылымды ұмыту функторы Vect’C → Vect’R-ге. Комплекс векторлық кеңістіктің комплекс құрылымын ұмыту (немесе кейде "") деп аталады. Базасы бар комплекс векторлық кеңістіктің декомплекстендіруі скалярлардың комплекстік көбейту мүмкіндігін жояды, нәтижесінде базасы бар екі есе өлшемді нақты векторлық кеңістік пайда болады.

Мысалдар

"R"^{n} нақты координаталық кеңістігінің кешендеуі "C"^{n} кешенді координаталық кеңістігі болып табылады. Сол сияқты, егер V нақты сандардан құралған m×n матрицалардан тұрса, онда кешенді сандардан құралған m×n матрицалардан тұрады.

Диксонның қосарлануы

"R"-дан "C"-ға көшу арқылы күрделілендіру процесін жиырмасыншы ғасырдың математиктері, соның ішінде Леонард Диксон абстракциялады. Біреу 1=x* = x сәйкестік картасын 'R' бойынша тривиальды инволюция ретінде пайдаланудан бастайды. Келесі, R-дің екі көшірмесі 1=z = (a , b) түрінде қолданылады, күрделі конъюгация инволюция ретінде енгізіледі: 1=z* = (a, −b). Екі элемент w және z екі еселенген жиынның көбейтуі арқылы көбейтіледі.

Ақырында, екі еселенген жиынға норма беріледі: 1=N(z) = z* z. "R"-ден бірлік инволюциясымен бастағанда, екі еселенген жиын "C" болады, оның нормасы a^(2) + b^(2) тең. Егер "C" екі еселеп, (a,b)* = (a*, –b) конъюгациясын қолданса, конструкция кватерниондарды береді. Тағы екі еселеу октаниондарды, сондай-ақ Кейли сандарын береді. Діксон 1919 жылы алгебралық құрылымды ашуға үлес қосты. Процесс "C" және 1=z* = z тривиальды инволюциясымен де басталуы мүмкін. "C"-ті "R"-ді екі еселеу арқылы жасаудан айырмашылығы, алынған норма жай ғана z^(2) тең. Бұл "C" екі еселенгенде бикомплекс сандарды, ал тағы екі еселенгенде бикватерниондарды, ал тағы екі еселенгенде биоктониондарды шығарады. Негізгі алгебра ассоциативті болған кезде, Кейли–Диксон құрылымынан пайда болған алгебра композициялық алгебра деп аталады, себебі оның осыған ұқсас қасиеттері бар екені көрсетілген.