Введение

Тема в математике — комплексификация реальной группы Ли. В математике комплексификация векторного пространства V над полем действительных чисел (так называемое «реальное векторное пространство») приводит к векторному пространству над полем комплексных чисел, полученному формальным расширением скалярного умножения векторов на действительные числа до включения их скалярного умножения («умножения») на комплексные числа. Любой базис для V (пространства над действительными числами) может также служить базисом для над комплексными числами.

Формальное определение

Пусть V – вещественное векторное пространство. Комплексификация V определяется как тензорное произведение V с комплексными числами (рассматриваемыми как 2-мерное векторное пространство над действительными числами):

Индекс, ⊗ℝ, в обозначении тензорного произведения указывает, что тензорное произведение берется над действительными числами (поскольку V – вещественное векторное пространство, это единственный разумный вариант, поэтому индекс можно безопасно опустить). В текущем виде V является только вещественным векторным пространством. Однако мы можем превратить его в комплексное векторное пространство, определив умножение на комплексные числа следующим образом:

В более общем смысле, комплексификация является примером расширения скаляров – в данном случае расширения скаляров из поля действительных чисел в поле комплексных чисел – которое можно выполнить для любого расширения полей или, вообще, для любого морфизма колец. Формально, комплексификация – это функтор Vectℝ → Vectℂ, из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это сопряженный функтор – в частности, левый сопряженный – к забывающему функтору Vectℂ → Vectℝ, который отбрасывает комплексную структуру. Отбрасывание комплексной структуры комплексного векторного пространства V называется декомплексификацией (или иногда реальной формой). Декомплексификация комплексного векторного пространства V с базисом удаляет возможность умножения скаляров на комплексные числа, тем самым получая вещественное векторное пространство вдвое большей размерности с базисом.

Примеры

Комплексификация вещественного координатного пространства Rⁿ является комплексным координатным пространством Cⁿ. Аналогично, если V состоит из матриц m×n с вещественными элементами, то V̄ будет состоять из матриц m×n с комплексными элементами.

Диксон удваивает

Процесс комплексификации, переходя от "R" к "C", был абстрагирован математиками двадцатого века, включая Леонарда Диксона. Начинается с использования тождественного отображения 1=x* = x как тривиальной инволюции на 'R'. Далее две копии R используются для формирования 1=z = (a , b) с комплексным сопряжением, введенным как инволюция 1=z* = (a, −b). Два элемента w и z в удвоенном множестве умножаются на. Наконец, удвоенному множеству дается норма 1=N(z) = z*z. При начале с "R" и тождественной инволюцией, удвоенное множество является "C" с нормой a^(2) + b^(2). Если удвоить "C" и использовать сопряжение (a,b)* = (a*, –b), то конструкция дает кватернионы. Повторное удвоение производит октонионы, также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес вклад в раскрытие алгебраической структуры. Процесс также может быть инициирован с "C" и тривиальной инволюцией 1=z* = z. Полученная норма просто z^(2), в отличие от генерации "C" путем удвоения "R". Когда этот "C" удваивается, он производит бикомплексные числа, а его удвоение производит бикватернионы, и повторное удвоение приводит к биоктонионам. Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, полученная этой конструкцией Кэли-Диксона, называется композиционной алгеброй, поскольку можно показать, что она обладает свойством.