Кіріспе

Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, векторлық кеңістік V-дегі f(x, y) дегеретті билинейрлік формасы – V-ден V* (V-дің жұптас кеңістігі) берілген v ↦ (x ↦ f(x, v)) бейнелеуі изоморфизм болмайтын билинейрлік форма. V шекті өлшемді болған жағдайда, эквивалентті анықтамасы – оның тривиальді емес ядросы бар: V-де нөлдік емес x элементі бар, онда барлық үшін

Анықтамашыны пайдалану

Егер V шекті өлшемді болса, онда V-ге қатысты белгілі бір негізде білінейрлік форма, байланысты матрицаның детерминанты нөлге тең болса және тек сонда ғана дегенгеретті болып табылады – яғни матрица жекеше болса және сәйкесінше, дегенгеретті формалар жекеше формалар деп те аталады. Сол сияқты, дегенерацияланбаған форма – байланысты матрицасы жекеше емес форма, сондықтан дегенерацияланбаған формалар да жекеше емес формалар деп аталады. Бұл тұжырымдар таңдалған негізден тәуелсіз.

Қарым-қатынас ұғымдары

Егер Q квадраттық формасы үшін нөлдік емес v ∈ V векторы Q(v) = 0 шартын қанағаттандырса, онда Q изотроптық квадраттық форма болады. Егер Q нөлдік емес барлық векторлар үшін бірдей таңбаға ие болса, онда ол анықталған квадраттық форма немесе анизотроптық квадраттық форма болады. Бір модульді форма және кемелді жұптасу ұғымдарымен тығыз байланысты; олар өрістерде сәйкес келеді, бірақ жалпы сақиналарда сәйкес келмейді.

Мысалдар

Нақты, квадраттық алгебраны зерттеу квадраттық формалардың түрлерінің айырмашылығын көрсетеді. zz* көбейтіндісі кешенді сандардың, бөлінген кешенді сандардың және дуалды сандардың әрқайсысы үшін квадраттық форма болып табылады. z = x + ε y үшін, дуалды санның формасы x2 болып табылады, ол дегенеративті квадраттық форма. Бөлінген кешенді жағдай – изотроптық форма, ал кешенді жағдай – анықталған форма. Дегенерацияланбаған формалардың ең маңызды мысалдары – ішкі көбейтінділер және симплектикалық формалар. Симметриялық дегенерацияланбаған формалар ішкі көбейтінділердің маңызды жалпыламасы болып табылады, себебі көбінесе қажетті нәрсе – картаның оңдық емес, изоморфизм болуы. Мысалы, жанама кеңістіктерінде ішкі көбейтінді құрылымы бар көптеуіл Римандық көптеуіл болып табылады, ал оны симметриялық дегенерацияланбаған формаға өзгерту псевдо-Римандық көптеуілді береді.

Терминология

Егер f барлық векторларда бірдей нөлге тең болса, онда ол толығымен дегенеративті деп аталады. V кеңістігіндегі кез келген билинеарлық f формасы берілгенде, векторлар жиыны V-тің толығымен дегенеративті ішкі кеңістігін құрайды. f бейнесі дегенеративті емес, егер және тек қана осы ішкі кеңістік тривиалды болса. Геометриялық тұрғыдан алғанда, квадраттық пішіннің изотроптық түзуі проективті кеңістіктегі сәйкес квадраттық гипербеттің нүктесіне сәйкес келеді. Мұндай түзу билинеарлық форма үшін қосымша изотроптық болып табылады, егер және тек қана сәйкес нүкте сингулярлық болса. Осылайша, алгебралық жабық өрісте Гилберттің Nullstellensatz теоремасы квадраттық пішінде әрқашан изотроптық түзулер болатынын кепілдік береді, ал билинеарлық пішінде олар тек қана бет сингулярлы болған жағдайда ғана болады.