Введение

В математике, в частности в линейной алгебре, вырожденная билинейная форма f(x, y) на векторном пространстве V — это билинейная форма, для которой отображение из V в V∗ (двойственное пространство V), заданное как v ↦ (x ↦ f(x, v)), не является изоморфизмом. Эквивалентное определение, когда V конечномерно, состоит в том, что у него есть нетривиальное ядро: существует ненулевой вектор x в V, такой что f(x, y) = 0 для всех y.

Использование детерминанты

Если V конечномерно, то относительно некоторого базиса для V билинейная форма является вырожденной тогда и только тогда, когда определитель соответствующей матрицы равен нулю – тогда и только тогда, когда матрица является сингулярной, и, следовательно, вырожденные формы также называются сингулярными формами. Аналогично, недегенеративная форма – это форма, для которой соответствующая матрица не является сингулярной, и, следовательно, недегенеративные формы также называются несингулярными формами. Эти утверждения не зависят от выбранного базиса.

Связанные понятия

Если для квадратичной формы Q существует ненулевой вектор v ∈ V, такой что Q(v) = 0, то Q является изотропной квадратичной формой. Если Q имеет одинаковый знак для всех ненулевых векторов, то она является определенной квадратичной формой или анизотропной квадратичной формой. Существует тесно связанное понятие унимодульной формы и совершенного спаривания; они совпадают над полями, но не над общими кольцами.

Примеры

Изучение вещественных квадратичных алгебр показывает различие между типами квадратичных форм. Произведение zz* является квадратичной формой для каждого из комплексных чисел, расщеплённых комплексных чисел и двойственных чисел. Для z = x + ε y, форма двойственного числа равна x², которая является вырожденной квадратичной формой. Случай расщеплённых комплексных чисел представляет собой изотропную форму, а случай комплексных чисел – определенную форму. Наиболее важными примерами невырожденных форм являются внутренние произведения и симплектические формы. Симметричные невырожденные формы являются важным обобщением внутренних произведений, поскольку часто требуется лишь, чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительно определённым. Например, многообразие с внутренней структурой произведения на своих касательных пространствах является римановым многообразием, а ослабление этого условия до симметричной невырожденной формы даёт псевдориманово многообразие.

Терминология

Если функция f тождественно равна нулю на всех векторах, то она называется полностью вырожденной. Для любой билинейной формы f на V множество векторов

образует полностью вырожденное подпространство V. Форма f является невырожденной тогда и только тогда, когда это подпространство тривиально. Геометрически, изотропная прямая квадратичной формы соответствует точке на соответствующей квадратичной гиперповерхности в проективном пространстве. Такая прямая является изотропной для билинейной формы тогда и только тогда, когда соответствующая точка является сингулярной. Следовательно, над алгебраически замкнутым полем теорема Гильберта о нулях гарантирует, что квадратичная форма всегда имеет изотропные прямые, в то время как билинейная форма имеет их тогда и только тогда, когда гиперповерхность является сингулярной.