Кіріспе
Жақтардың ортақ бөлгіші жоқ екі сан
Сандар теориясында егер екі бүтін санның – a және b – ортақ бөлгіші тек 1 болса, онда олар өзара жай, салыстырмалы жай немесе коприм сандар деп аталады. Сәйкесінше, a-ны бөлетін кез келген жай сан b-ны бөлмейді, және керісінше. Бұл олардың ең үлкен ортақ бөлгішінің (ЕҮОБ) 1-ге тең болуымен эквивалентті. Сондай-ақ, a саны b-ға жай немесе a саны b-ға коприм дейді. 8 және 9 сандары коприм сандар болып табылады, өйткені олардың жалғыз ортақ бөлгіші 1, тіпті екеуі де жеке қарағанда жай сан емес. Ал 6 және 9 коприм сандар емес, себебі олардың екеуі де 3-ке бөлінеді. Қысқартылған бөлшектің алымы мен бөлімі анықтама бойынша өзара жай болады.
Нұсқаулық және сынақтар
a және b бүтін сандары өзара жай болса, математикалық жазуда бұл фактіні көрсетудің стандартты тәсілі – олардың ең үлкен ортақ бөлгішінің бірге тең екенін 1=gcd(a, b) = 1 немесе 1=(a, b) = 1 формуласымен көрсету болып табылады. 1989 жылғы «Конкретті математика» оқулығында Рональд Грэм, Дональд Кнут және Орен Паташник a және b өзара жай екенін көрсету үшін балама белгі ұсынды, сондай-ақ «жай» терминін «өзара жай» терминінің орнына қолдануды ұсынды (яғни a саны b санына жай). Екі санның өзара жай екенін анықтаудың жылдам тәсілі – Евклид алгоритмі және оның екілік GCD алгоритмі немесе Лемердің GCD алгоритмі сияқты жылдам нұсқалары арқылы беріледі. 1 мен n арасындағы n оң бүтін санына өзара жай болатын бүтін сандардың саны Ойлердің φ(n) функциясымен, сондай-ақ Ойлердің тотиенттік функциясымен беріледі. Егер жиынның элементтері 1-ден басқа ортақ оң бөлгіштері болмаса, онда бүтін сандар жиыны өзара жай деп аталады. Бүтін сандар жиыны үшін күшті талап – жұптық өзара жайлық, яғни жиындағы әр түрлі бүтін сандардың (a, b) әрбір жұбы үшін a және b өзара жай болады. {2, 3, 4} жиыны өзара жай, бірақ 2 мен 4 өзара жай болмағандықтан, ол жұптық өзара жай емес.
Жинақтардағы копрималдылық
Бүкіл сандар жиыны, егер жиынның барлық элементтерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болса, копромильді немесе жиынтық копромильді деп аталады. Мысалы, 6, 10, 15 бүтін сандары копромильді, себебі 1 – олардың барлығын бөлетін жалғыз оң бүтін сан. Егер бүтін сандар жиынындағы әрбір жұп копромильді болса, онда жиын жұптық копромильді деп аталады (немесе бір-біріне салыстырмалы, өзара копромильді немесе өзара салыстырмалы). Жұптық копромильділік – жиынтық копромильділіктен күшті шарт; әрбір жұптық копромильді шекті жиынтық сонымен қатар жиынтық копромильді болады, бірақ керісінше дұрыс емес. Мысалы, 4, 5, 6 бүтін сандары (жиын бойынша) копромильді (себебі олардың барлығын бөлетін жалғыз оң бүтін сан 1), бірақ олар жұптық копромильді емес (себебі ең үлкен ортақ бөлгіш (4, 6) = 2). Жұптық копромильділік түсінігі сандар теориясындағы көптеген нәтижелердегі гипотеза ретінде маңызды, мысалы, қытайлық қалдық теоремасында. Шеңберсіз бүтін сандар жиынының жұптық копромильді болуы мүмкін. Белгілі мысалдарға барлық жай сандардың жиыны, Сильвестр тізбегіндегі элементтердің жиыны және барлық Ферма сандарының жиыны жатады.
Сақиналық идеалдардағы копримальдық
R коммутативтік сақинасындағы A және B екі идеалы, егер бұл Безу сәйкестігін жалпылайтын болса, coprime (немесе комаксималь) деп аталады: бұл анықтама бойынша, \Z бүтін сандар сақинасындағы екі негізгі идеал (a) және (b) a және b coprime болса ғана coprime болады. Егер R сақинасының A және B идеалдары coprime болса, онда одан әрі, егер C үшінші идеал болса және A, BC-ні қамтитын болса, онда A, C-ні қамтиды. Қытайлық қалдық теоремасы кез келген коммутативтік сақинаға coprime идеалдарды пайдалана отырып, жалпыландырылуы мүмкін.
Копрималдылықтың ықтималдығы
Кездейсоқ таңдалған a және b екі бүтін санды ескере отырып, a және b-нің өзара жай болуының ықтималдығын сұрау орынды. Бұл анықтауда a және b-нің екеуін де бөлетін жай сан болмаса, онда олар өзара жай саналады деген сипаттаманы қолдану ыңғайлы (арифметиканың негізгі теоремасын қараңыз). Формальды емес айтуынша, кез келген санның жай санға (немесе тіпті кез келген бүтін санға) p бөлінуінің ықтималдығы \tfrac{1}{p}; мысалы, әрбір 7-ші бүтін сан 7-ге бөлінеді. Осыдан келіп, екі санның да p-ге бөлінуінің ықтималдығы \tfrac{1}{p^2}, ал олардың кем дегенде біреуінің бөлінбеуінің ықтималдығы 1 - \tfrac{1}{p^2} тең. Әр түрлі жай сандарға байланысты бөліну оқиғаларының кез келген шекті жиыны өзара тәуелсіз. Мысалы, екі оқиға жағдайында, бір сан p және q жай сандарына бөлінеді, егер және тек қана ол pq-ға бөлінсе; соңғы оқиғаның ықтималдығы \tfrac{1}{pq}. Егер мұндай ойлауды шексіз көп бөліну оқиғаларына дейін кеңейтуге болатыны туралы эвристикалық болжам жасасақ, онда екі санның өзара жай болуының ықтималдығы барлық жай сандардың көбейтіндісімен беріледі деп болжауға болады.
Мұнда ζ Риманның зетта-функциясын білдіреді, жай сандардың көбейтіндісі мен ζ(2) арасындағы байланыс Ойлер көбейтіндісінің мысалы болып табылады, ал ζ(2) = π^(2)/6 екенін табу 1735 жылы Леонхард Ойлер шешкен Базель мәселесі болып табылады. Оң бүтін санды кездейсоқ түрде таңдаудың мұндай жолы жоқ, онда әрбір оң бүтін сан тең ықтималдылықпен пайда болады, бірақ жоғарыдағы "кездейсоқ таңдалған бүтін сандар" туралы мәлімдемелерді табиғи тығыздық түсінігін қолдану арқылы формалдауға болады. Әрбір оң бүтін сан N үшін, N ішінде кездейсоқ таңдалған екі санның өзара жай болуының ықтималдығы P(N) болсын. P(N) ешқашан 6/π^(2) тең болмаса да, еңбек етіп көрсетуге болады, N шексіздікке жақындағанда, P(N) 6/π^(2) мәніне жақындайды. Жалпы алғанда, k кездейсоқ таңдалған бүтін санның жиынтық бойынша өзара жай болуының ықтималдығы \tfrac{1}{\zeta(k)} тең.
Қолданбалар
Машинаны жобалауда, тістердің тегіс, біркелкі тозуын қамтамасыз ету үшін бірге жұмыс істейтін екі тісті дөңгелектің тіс санының өзара жай сандар болуына назар аудару керек. Егер 1:1 қатынас қажет болса, екі бірдей өлшемдегі тісті дөңгелектің арасына оларға өзара жай сан болатын тісті дөңгелек қосылуы мүмкін. Компьютерлік криптография пайда болмас бұрын, кейбір Вернам шифр машиналары әртүрлі ұзындықтағы кілт таспаларының бірнеше циклдарын біріктірген. Көптеген роторлық машиналар әртүрлі тіс саны бар роторларды біріктіреді. Мұндай комбинациялар ұзындықтарының барлық жиынтығы жұптық өзара жай сандар болғанда ең жақсы жұмыс істейді.
Жалпылау
Бұл ұғым \Z-ден басқа алгебралық құрылымдарға да қолданылуы мүмкін; мысалы, ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең болатын көпмүшелер копримдік көпмүшелер деп аталады.