Кіріспе
Сандар теориясындағы құрамды сан
Сандар теориясында Кармайкл саны – модульдік арифметикада конгруенция қатынасын қанағаттандыратын 1=n құрамды саны:
барлық бүтін сандар үшін 1=b. Бұл қатынас келесі түрде де көрсетілуі мүмкін:
1=n-ға өзімен жақын сан болатын барлық бүтін сандар үшін. Олардың саны шексіз. Олар Ферманың кіші теоремасының кері теоремасының әрқашан орындалмауының сирек кездесетін жағдайларын құрайды. Бұл факт теореманы жай сан екенін анықтау үшін абсолюттік тест ретінде пайдалануға мүмкіндік бермейді. Кармайкл сандары Кнодель сандарының K1 ішкі жиынын құрайды. Кармайкл сандары американдық математик Роберт Кармайклдың құрметіне 1950 жылы Николас Бигермен аталды. 1948 жылы Ойстейн Оре оларды "Ферма қасиетіне" ие сандар немесе қысқаша "F сандары" деп атаған.
Корселттің критерийі
Кармайкл сандарының баламалы және теңдестірілген анықтамасы Корселт критериімен беріледі. Теорема (А. Корселт, 1899): Оң, құрама сан – Кармайкл саны, егер және тек қана егер ол квадратсыз болса, және 1=n-нің барлық жай бөлгіштері үшін 1=p-1 | n-1 орындалса. Бұл теоремадан барлық Кармайкл сандары тақ екендігі шығады, себебі квадратсыз кез келген жұп құрама сан (демек, екілік санның тек бір жай көбейткіші бар) кем дегенде бір тақ жай көбейткішке ие болады, сондықтан жұп сан тақ санды бөледі, бұл қайшылық тудырады. (Кармайкл сандарының тақтығы сондай-ақ кез келген жұп құрама сан үшін Фермат куәсі болып табылуынан да көрінеді.) Бұл критерийден Кармайкл сандарының циклдік екендігі де шығады. Сонымен қатар, дәл екі жай бөлгіші бар Кармайкл сандары жоқ.
It follows from this theorem that all Carmichael numbers are odd, since any even composite number that is square free (and hence has only one prime factor of two) will have at least one odd prime factor, and thus results in an even dividing an odd, a contradiction. (The oddness of Carmichael numbers also follows from the fact that is a Fermat witness for any even composite number.) From the criterion it also follows that Carmichael numbers are cyclic. Additionally, it follows that there are no Carmichael numbers with exactly two prime divisors.
Лукас-Кармихаль саны
Оң құрама сан Лукас-Кармикель саны болып табылады, егер және тек егер ол квадратсыз болса, және 1=n-нің барлық жай бөлгіштері үшін 1=p+1 | n+1 шарты орындалса. Бірінші Лукас-Кармикель сандары: 399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 63503, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287.
399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 63503, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287,
Квази-Кармикель саны
Квази-Кармихель сандары — квадратсыз құрама сандар, 1=n, мұнда 1=n-нің кез келген жай көбейткіші 1=p үшін, 1=p + b саны 1=n + b санын 1=b кез келген 0 емес бүтін сан болғанда оң мәнде бөледі. Егер 1=b = 1 болса, бұл Кармихель сандары, ал егер 1=b = 1 болса, бұл Лукас-Кармихель сандары. Бірінші Квази-Кармихель сандары: 35, 77, 143, 165, 187, 209, 221, 231, 247, 273, 299, 323, 357, 391, 399, 437, 493, 527, 561, 589, 598, 713, 715, 899, 935, 943, 989, 1015, 1073, 1105, 1147, 1189, 1247, 1271, 1295, 1333, 1517, 1537, 1547, 1591, 1595, 1705, 1729.
35, 77, 143, 165, 187, 209, 221, 231, 247, 273, 299, 323, 357, 391, 399, 437, 493, 527, 561, 589, 598, 713, 715, 899, 935, 943, 989, 1015, 1073, 1105, 1147, 1189, 1247, 1271, 1295, 1333, 1517, 1537, 1547, 1591, 1595, 1705, 1729,
Түйе саны
Берілген оң бүтін сан n үшін, n Кнедель саны – m-ге өте кішкентай (1 < i < m) және m-мен өзара жай сан болатын әрбір i үшін, 1 ≤ i^{m-n} ≡ 1 (mod m) шартын қанағаттандыратын құрама сан m. Егер n = 1 болса, онда бұл сандар Кармайкл сандары болады.
2-ші реттік Кармайкл саны
Хоудың сөзінше, 17 · 31 · 41 · 43 · 89 · 97 · 167 · 331 – 2-дәрежелі Кармайкл саны. Бұл көбейтінді 443,372,888,629,441-ге тең.
Қасиеттері
Корселт критерийі Хоу көрсеткендей, жоғары дәрежелі Кармайкл сандарына жалпылана алады. Сол мақалада келтірілген болжамдық аргумент, кез келген m үшін m-дәрежелі Кармайкл сандары шексіз көп екенін көрсетеді. Дегенмен, 3-ші немесе одан жоғары дәрежелі Кармайкл санының бірі де белгілі емес.