Жақсы сан туралы мәліметтер

Кіріспе

Тек 1-ге немесе өзіне ғана бөлінетін сан.

Number divisible only by 1 or itself

A prime number (or a prime) is a natural number greater than 1 that is not a product of two smaller natural numbers. A natural number greater than 1 that is not prime is called a composite number. For example, 5 is prime because the only ways of writing it as a product, 1 × 5 or 5 × 1, involve 5 itself. However, 4 is composite because it is a product (2 × 2) in which both numbers are smaller than 4. Primes are central in number theory because of the fundamental theorem of arithmetic: every natural number greater than 1 is either a prime itself or can be factorized as a product of primes that is unique up to their order. The property of being prime is called primality. A simple but slow method of checking the primality of a given number , called trial division, tests whether is a multiple of any integer between 2 and Faster algorithms include the Miller–Rabin primality test, which is fast but has a small chance of error, and the AKS primality test, which always produces the correct answer in polynomial time but is too slow to be practical. Particularly fast methods are available for numbers of special forms, such as Mersenne numbers. as of 2018 the largest known prime number is a Mersenne prime with 24,862,048 decimal digits. In other words, is prime if items cannot be divided up into smaller equal size groups of more than one item, or if it is not possible to arrange dots into a rectangular grid that is more than one dot wide and more than one dot high. For example, among the numbers 1 through 6, the numbers 2, 3, and 5 are the prime numbers, as there are no other numbers that divide them evenly (without a remainder). 1 is not prime, as it is specifically excluded in the definition. 1=4 = 2 × 2 and 1=6 = 2 × 3 are both composite. The divisors of a natural number are the natural numbers that divide evenly. Every natural number has both 1 and itself as a divisor. If it has any other divisor, it cannot be prime. This leads to an equivalent definition of prime numbers: they are the numbers with exactly two positive divisors. Those two are 1 and the number itself. As 1 has only one divisor, itself, it is not prime by this definition. Yet another way to express the same thing is that a number is prime if it is greater than one and if none of the numbers divides evenly. The first 25 prime numbers (all the prime numbers less than 100) are:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
No even number greater than 2 is prime because any such number can be expressed as the product Therefore, every prime number other than 2 is an odd number, and is called an odd prime. Similarly, when written in the usual decimal system, all prime numbers larger than 5 end in 1, 3, 7, or 9. The numbers that end with other digits are all composite: decimal numbers that end in 0, 2, 4, 6, or 8 are even, and decimal numbers that end in 0 or 5 are divisible by 5. The set of all primes is sometimes denoted by (a boldface capital P) or by (a blackboard bold capital P).

Жай сан (немесе алғашқы сан) – 1-ден үлкен және екі кіші натурал санның көбейтіндісі емес натурал сан. 1-ден үлкен, бірақ жай емес натурал сан – құрама сан деп аталады. Мысалы, 5 – жай сан, себебі оны 1 × 5 немесе 5 × 1 түрінде жазудың жалғыз жолы – 5-тің өзі. Ал 4 – құрама сан, өйткені оны 2 × 2 көбейтіндісі түрінде жазуға болады, мұнда екі сан да 4-тен кіші. Жай сандар сандар теориясының негізгі теоремасының арқасында сандар теориясының орталық бөлігі болып табылады: 1-ден үлкен кез келген натурал сан өзі жай сан болып табылады немесе жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазылуы мүмкін, олардың ретіне қарамастан. Санның жай болу қасиеті – жайлылық деп аталады. Берілген санның жайлылығын тексерудің қарапайым, бірақ баяу әдісі – сынамаға бөлу деп аталады, ол 2-ден бастап саннан кіші бүтін санға дейінгі сандардың кез келгеніне бөлінетінін тексереді. Жылдам алгоритмдерге жылдам, бірақ қате болу мүмкіндігі бар Миллер-Рабин жайлылық тестісі және полиномиалдық уақытта әрқашан дұрыс жауап беретін, бірақ практикалық емес AKS жайлылық тестісі кіреді. Мерсен сандары сияқты ерекше формадағы сандар үшін әлдеқайда жылдам әдістер бар. 2018 жылғы мәліметтер бойынша ең үлкен белгілі жай сан – 24 862 048 ондық таңбадан тұратын Мерсен жай саны. Басқаша айтқанда, егер n нысанын n бірдей топқа бөлу мүмкін болмаса, онда ол жай сан болып саналады, немесе n нүктесін бірден артық ені және биіктігі бар тіктөртбұрышты торға орналастыру мүмкін болмаса. Мысалы, 1-ден 6-ға дейінгі сандардың ішінде 2, 3 және 5 – жай сандар, себебі оларды қалдықсыз бөлетін басқа сандар жоқ. 1 – жай сан емес, себебі ол анықтамада нақты алынып тасталған. 1=4 = 2 × 2 және 1=6 = 2 × 3 екеуі де құрама сандар. Натурал санның бөлгіштері – оны қалдықсыз бөлетін натурал сандар. Кез келген натурал санның 1 және өзі бөлгіштері болып табылады. Егер оның басқа бөлгіштері болса, онда ол жай сан бола алмайды. Бұл жай сандардың эквивалентті анықтамасына әкеледі: олар дәл екі оң бөлгіші бар сандар. Бұл екеуі – 1 және санның өзі. 1-дің тек бір бөлгіші бар – өзі, сондықтан бұл анықтама бойынша ол жай сан емес. Тағы бір жолмен айтқанда, егер сан 1-ден үлкен болса және оны ешқандай сан қалдықсыз бөлемесе, онда ол жай сан. Алғашқы 25 жай сан (100-ден кіші барлық жай сандар): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

2-ден үлкен жұп сан жай сан бола алмайды, себебі кез келген осындай санды көбейтінді түрінде көрсетуге болады. Сондықтан 2-ден басқа барлық жай сандар тақ сандар болып табылады және олар тақ жай сандар деп аталады. Сол сияқты, ондық жүйеде жазылғанда, 5-тен үлкен барлық жай сандар 1, 3, 7 немесе 9 цифрымен аяқталады. Басқа цифрлармен аяқталатын сандардың барлығы құрама сандар: 0, 2, 4, 6 немесе 8 цифрымен аяқталатын ондық сандар жұп сандар, ал 0 немесе 5 цифрымен аяқталатын ондық сандар 5-ке бөлінеді. Барлық жай сандар жиыны кейде **P** (қалың әріппен жазылған үлкен P) немесе ℙ (қара тақтадағы қалың әріппен жазылған үлкен P) деп белгіленеді.

Тарих

Ринд математикалық папирусы, шамамен б.з.д. 1550 жылға жатса, жай және құрама сандар үшін әртүрлі түрдегі египеттік бөлшектердің кеңейтілуін қамтиды. Дегенмен, жай сандарды зерттеудің ең ерте сақталған жазбалары ежелгі грек математиктерінен тараған, олар оларды (πρῶτος ἀριθμὸς) деп атаған. Евклидтің «Элементтер» (б.з.д. 300 ж.) еңбегі жай сандардың шексіздігін және арифметиканың негізгі теоремасын дәлелдейді, сондай-ақ Мерсенн жай санынан кемелді санды қалай құрастыруға болатынын көрсетеді. Ератоспеннің сырғасы – гректердің тағы бір өнертабысы – әлі күнге дейін жай сандардың тізімін жасау үшін қолданылады. Шамамен 1000 жылы ислам математигі Ибн әл-Хайтам (Альхазен) Вильсон теоремасын тапты, ол жай сандарды тең бөлетін сандар ретінде сипаттайды. Ол сондай-ақ барлық жұп кемелді сандар Евклидтің Мерсенн жай сандарын пайдалану арқылы жасалатынын болжады, бірақ оны дәлелдей алмады. Тағы бір ислам математигі, Ибн әл-Банна әл-Маракуши, Эратоспеннің сырғасын жоғарғы шектің квадрат түбіріне дейінгі жай бөлгіштерді ғана қарастыру арқылы жылдамдатуға болатынын байқады. Ферма Ферма сандарының жайлығын да зерттеді, ал Марин Мерсенн Мерсенн жайларын зерттеді, олар өзі жай сан болып табылатын түріндегі жай сандар. Кристиан Гольдбах 1742 жылы Эйлерге жазған хатында әрбір жұп сан екі жай санның қосындысы деген Гольдбахтың болжамын айтты. Эйлер Альхазеннің болжамын (қазір Евклид-Эйлер теоремасы) – барлық жұп кемелді сандар Мерсенн жай сандарынан құрастырылатынын – дәлелдеді. 19 ғасырдың басында Лежандр мен Гаусс, шегінсіздікке ұмтылғанда, шегіне дейінгі жай сандар саны асимптотикалық түрде тең болады деп болжады, мұнда – табиғи логарифм. Бұл жай сандардың жоғары тығыздығының әлсіз салдары – Бертраның постулаты, яғни кез келген үшін мен арасында жай сан бар, бұл 1852 жылы Пафнутий Чебышевпен дәлелденді. Бернхард Риманның 1859 жылғы зета-функция туралы мақаласында Лежандр мен Гаусс болжамын дәлелдеудің жоспары келтірілген. Риманның тығыз байланысты гипотезасы әлі дәлелденбегенімен, Риманның жоспары 1896 жылы Адамар мен де ла Валле Пуссенмен аяқталды, ал нәтиже қазір жай сандар теоремасы ретінде белгілі. 19 ғасырдың тағы бір маңызды нәтижесі – Дирихле теоремасы арифметикалық прогрессиялар бойынша, белгілі бір арифметикалық прогрессиялар шексіз көп жай сандарды қамтиды. Көптеген математиктер үлкен сандар үшін жайлықты тексеру әдістерімен айналысты, онда сынаққа бөлу іс жүзінде қолданылмайды. Нақты сан түрлерімен шектелген әдістерге Пепиннің Ферма сандары үшін жасаған тесті (1877), Прот теоремасы (шамамен 1878), Лукас-Лемер жайлық тесті (1856 ж. бастау алған) және жалпыланған Лукас жайлық тесті кіреді. Үлкен жай сандарды іздеу математикалық шеңберден тыс қызығушылық тудырды, мысалы, Ұлы Интернет Мерсенн жай іздеу және басқа да үлестірілген есептеу жобалары арқылы. Жай сандардың таза математикадан тыс қолданыстары шамалы деген идея 1970 жылдары, ашық кілтті криптография және RSA криптожүйесі ойлап табылған кезде жоққа шығарылды, олар негіз ретінде жай сандарды пайдаланды. Компьютерлік жайлықты тексеру және факторлаудың практикалық маңыздылығының артуы үлкен сандардың шексіз формаларын өңдеуге қабілетті жақсартылған әдістерді дамытуға әкелді. Жай сандардың математикалық теориясы да Грин-Тао теоремасы (2004) бойынша дамыды, онда жай сандардың кез келген ұзындықтағы арифметикалық прогрессиялары бар, және Итан Чжанның 2013 жылғы дәлелі, онда шектелген өлшемдегі шексіз көп жай саңылаулар бар екендігі көрсетілді.

The Rhind Mathematical Papyrus, from around 1550 BC, has Egyptian fraction expansions of different forms for prime and composite numbers. However, the earliest surviving records of the study of prime numbers come from the ancient Greek mathematians, who called them (πρῶτος ἀριθμὸς). Euclid's Elements (c. 300 BC) proves the infinitude of primes and the fundamental theorem of arithmetic, and shows how to construct a perfect number from a Mersenne prime. Another Greek invention, the Sieve of Eratosthenes, is still used to construct lists of primes. Around 1000 AD, the Islamic mathematician Ibn al Haytham (Alhazen) found Wilson's theorem, characterizing the prime numbers as the numbers that evenly divide He also conjectured that all even perfect numbers come from Euclid's construction using Mersenne primes, but was unable to prove it. Another Islamic mathematician, Ibn al Banna' al Marrakushi, observed that the sieve of Eratosthenes can be sped up by considering only the prime divisors up to the square root of the upper limit. Fermat also investigated the primality of the Fermat numbers , and Marin Mersenne studied the Mersenne primes, prime numbers of the form with itself a prime. Christian Goldbach formulated Goldbach's conjecture, that every even number is the sum of two primes, in a 1742 letter to Euler. Euler proved Alhazen's conjecture (now the Euclid–Euler theorem) that all even perfect numbers can be constructed from Mersenne primes. At the start of the 19th century, Legendre and Gauss conjectured that as tends to infinity, the number of primes up to is asymptotic to , where is the natural logarithm of A weaker consequence of this high density of primes was Bertrand's postulate, that for every there is a prime between and , proved in 1852 by Pafnuty Chebyshev. Ideas of Bernhard Riemann in his 1859 paper on the zeta function sketched an outline for proving the conjecture of Legendre and Gauss. Although the closely related Riemann hypothesis remains unproven, Riemann's outline was completed in 1896 by Hadamard and de la Vallée Poussin, and the result is now known as the prime number theorem. Another important 19th century result was Dirichlet's theorem on arithmetic progressions, that certain arithmetic progressions contain infinitely many primes. Many mathematicians have worked on primality tests for numbers larger than those where trial division is practicably applicable. Methods that are restricted to specific number forms include Pépin's test for Fermat numbers (1877), Proth's theorem (c. 1878), the Lucas–Lehmer primality test (originated 1856), and the generalized Lucas primality test. The search for ever larger primes has generated interest outside mathematical circles, through the Great Internet Mersenne Prime Search and other distributed computing projects. The idea that prime numbers had few applications outside of pure mathematics was shattered in the 1970s when public key cryptography and the RSA cryptosystem were invented, using prime numbers as their basis. The increased practical importance of computerized primality testing and factorization led to the development of improved methods capable of handling large numbers of unrestricted form. The mathematical theory of prime numbers also moved forward with the Green–Tao theorem (2004) that there are arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers, and Yitang Zhang's 2013 proof that there exist infinitely many prime gaps of bounded size.

Біреудің біріншілігі

Ертедегі гректердің көпшілігі 1 санын сан деп санамаған, сондықтан оның жай сандығын да қарастыра алмады. Грек және кейінгі рим дәстүріндегі бірнеше ғалымдар, соның ішінде Никомах, Ямблих, Боэций және Кассиодор, жай сандарды тақ сандардың бір бөлігі деп қарастырды, сондықтан олар 2-ні де жай сан деп санамады. Дегенмен, Евклид және көптеген басқа грек математиктері 2-ні жай сан деп санады. Орта ғасырдағы ислам математиктері 1 санының сан емес екені туралы гректердің пікірін қабылдады. 18 ғасырдың ортасында Кристиан Голдбах Леонард Эйлерге жолдаған хаттарында 1 санын жай сан ретінде көрсеткен; алайда Эйлердің өзі 1 санын жай сан деп санамады. 19 ғасырда көптеген математиктер әлі де 1-ді жай сан деп есептеді. Егер жай санның анықтамасы 1-ді жай сан деп атау үшін өзгертілгенде, жай сандарға қатысты көптеген тұжырымдарды ауырсырақтау етіп қайта жазуға тура келер еді. Мысалы, арифметиканың негізгі теоремасын 1-ден үлкен жай сандарға жіктеу арқылы қайта формулиреу қажет болар еді, себебі әрбір санның 1-дің кез келген санымен бірнеше жіктемелері болар еді. Сол сияқты, Эратостеннің елегі 1-ді жай сан ретінде қарастырғанда дұрыс жұмыс істемейтін болар еді, өйткені ол 1-дің барлық еселіктерін (яғни, барлық басқа сандарды) жойып, тек 1 санын шығарар еді. 20 ғасырдың басында математиктер 1-ді жай сан ретінде тізімдемеуге, оның орнына оны ерекше «бірлік» санатында қарастыруға келісе бастады. Бұл теорема 1-ден үлкен кез келген бүтін санды бір немесе бірнеше жай санның көбейтіндісі түрінде жазуға болатынын айтады. Керісінше, бұл көбейтінді бірегей болады, яғни бірдей санның кез келген екі жай санға жіктемесінде бірдей жай сандардың саны бірдей болады, бірақ олардың реті әртүрлі болуы мүмкін. Сондықтан, бүтін санды жіктеу алгоритмін қолдана отырып, жіктемені табудың көптеген әртүрлі жолдары бар болғанымен, олардың барлығы бірдей нәтиже беруі керек. Осылайша, жай сандарды табиғи сандардың «негізгі құрылыс блоктары» деп қарастыруға болады. Жай санға жіктемелердің бірегейлігін дәлелдейтін кейбір дәлелдер Евклид леммасына негізделген: Егер p жай сан болса және p екі бүтін санның көбейтіндісін бөледі, онда p бірінші санды немесе екінші санды бөледі (немесе екеуін де). Керісінше, егер бір санның көбейтіндіні бөлгенде ол әрқашан көбейтіндінің кем дегенде бір көбейткішін бөлетін қасиеті болса, онда ол сан жай сан болуы керек.

Most early Greeks did not even consider 1 to be a number, so they could not consider its primality. A few scholars in the Greek and later Roman tradition, including Nicomachus, Iamblichus, Boethius, and Cassiodorus, also considered the prime numbers to be a subdivision of the odd numbers, so they did not consider 2 to be prime either. However, Euclid and a majority of the other Greek mathematicians considered 2 as prime. The medieval Islamic mathematicians largely followed the Greeks in viewing 1 as not being a number. In the mid 18th century Christian Goldbach listed 1 as prime in his correspondence with Leonhard Euler; however, Euler himself did not consider 1 to be prime. In the 19th century many mathematicians still considered 1 to be prime,

If the definition of a prime number were changed to call 1 a prime, many statements involving prime numbers would need to be reworded in a more awkward way. For example, the fundamental theorem of arithmetic would need to be rephrased in terms of factorizations into primes greater than 1, because every number would have multiple factorizations with any number of copies of 1. Similarly, the sieve of Eratosthenes would not work correctly if it handled 1 as a prime, because it would eliminate all multiples of 1 (that is, all other numbers) and output only the single number 1. By the early 20th century, mathematicians began to agree that 1 should not be listed as prime, but rather in its own special category as a "unit". This theorem states that every integer larger than 1 can be written as a product of one or more primes. More strongly, this product is unique in the sense that any two prime factorizations of the same number will have the same numbers of copies of the same primes, although their ordering may differ. So, although there are many different ways of finding a factorization using an integer factorization algorithm, they all must produce the same result. Primes can thus be considered the "basic building blocks" of the natural numbers. Some proofs of the uniqueness of prime factorizations are based on Euclid's lemma: If is a prime number and divides a product of integers and then divides or divides (or both). Conversely, if a number has the property that when it divides a product it always divides at least one factor of the product, then must be prime.

p-адикалық сандар

Адикалық рет – бүтін санның жай көбейткіштерге жіктеліміндегі адикалық реттің көшірмелерінің саны. Осы ұғымды бүтін сандардан рационалды сандарға кеңейтуге болады, бөлшектің адикалық ретін анықтау арқылы. Кез келген рационалды санның адикалық абсолюттік мәні – оның адикалық абсолюттік мәнімен көбейтілгенде, оның жай көбейткіштерге жіктеліміндегі а санының көбейткіштерін жойып, тек басқа жай сандарды қалдырады. Екі нақты сан арасындағы қашықтық олардың айырмасының абсолюттік мәнімен өлшенгендей, екі рационалды сан арасындағы қашықтық олардың адикалық қашықтығымен, яғни олардың айырмасының адикалық абсолюттік мәнімен өлшеніп, есептеледі. Осы қашықтық анықтамасы бойынша, екі сан бір-біріне жақын (олардың арақашықтығы кішкентай) болса, олардың айырмасы а-ның үлкен дәрежесіне бөлінеді. Рационалды сандар мен олардың арақашықтықтарынан нақты сандарды құруға болатындай, толық өрісті құру үшін қосымша шекті мәндерді қосу арқылы, адикалық қашықтығы бар рационалды сандарды басқа толық өріске, адикалық сандарға кеңейтуге болады. Рет, абсолюттік мән және олардан туындаған толық өрістің бұл бейнесі алгебралық сан өрістеріне және олардың бағалауларына (өрістің көбейту тобынан толығымен реттелген қосымша топқа жасалатын белгілі бір сәйкестіктер, сондай-ақ реттер), абсолюттік мәндерге (өрістен нақты сандарға жасалатын белгілі бір көбейту сәйкестіктері, сондай-ақ нормалар) және орындарға (белгіленген өрістің тығыз жиынтығы бар толық өрістерге кеңейтулер, сондай-ақ толықтырулар) жалпылауға болады. Мысалы, рационалды сандардан нақты сандарға жасалатын кеңейту – сандар арасындағы қашықтық олардың айырмасының әдеттегі абсолюттік мәніне тең болатын орын. Қосымша топқа сәйкес келетін сәйкестік абсолюттік мәннің логарифмі болар еді, бірақ ол бағалаудың барлық талаптарына сай келмейді. Островский теоремасы бойынша, эквиваленттілік ұғымына дейін, нақты сандар мен адикалық сандар, олардың реттері мен абсолюттік мәндерімен, рационалды сандардағы жалғыз бағалаулар, абсолюттік мәндер және орындар болып табылады.

The adic order of an integer is the number of copies of in the prime factorization of The same concept can be extended from integers to rational numbers by defining the adic order of a fraction to be The adic absolute value of any rational number is then defined as Multiplying an integer by its adic absolute value cancels out the factors of in its factorization, leaving only the other primes. Just as the distance between two real numbers can be measured by the absolute value of their distance, the distance between two rational numbers can be measured by their adic distance, the adic absolute value of their difference. For this definition of distance, two numbers are close together (they have a small distance) when their difference is divisible by a high power of In the same way that the real numbers can be formed from the rational numbers and their distances, by adding extra limiting values to form a complete field, the rational numbers with the adic distance can be extended to a different complete field, the adic numbers. This picture of an order, absolute value, and complete field derived from them can be generalized to algebraic number fields and their valuations (certain mappings from the multiplicative group of the field to a totally ordered additive group, also called orders), absolute values (certain multiplicative mappings from the field to the real numbers, also called norms), and places (extensions to complete fields in which the given field is a dense set, also called completions). The extension from the rational numbers to the real numbers, for instance, is a place in which the distance between numbers is the usual absolute value of their difference. The corresponding mapping to an additive group would be the logarithm of the absolute value, although this does not meet all the requirements of a valuation. According to Ostrowski's theorem, up to a natural notion of equivalence, the real numbers and adic numbers, with their orders and absolute values, are the only valuations, absolute values, and places on the rational numbers.

Сақинадағы негізгі элементтер

Коммутативті сақина – қосу, алу және көбейту амалдары анықталған алгебралық құрылым. Бүтін сандар сақина болып табылады, ал бүтін сандардағы жай сандар сақиналарға екі түрлі жолмен обобщалды: жай элементтер және бөлгішсіз элементтер. Сақинаның элементі жай деп аталады, егер ол нөлден өзгеше болса, көбейтуге кері элементі болмаса (яғни, бірлік болмаса) және мынадай шартты қанағаттандырса: егер ол сақинаның екі элементінің көбейтіндісін бөлсе, онда ол кем дегенде біреуін немесе бөледі. Элемент бөлгішсіз деп аталады, егер ол бірлік болмаса және екі басқа бірлік емес элементтің көбейтіндісі болмаса. Бүтін сандар сақинасында жай және бөлгішсіз элементтер бір жиынды құрайды. Кез келген сақинада барлық жай элементтер бөлгішсіз болады. Керісіне, жалпы жағдайда осы утверждение дұрыс емес, бірақ бірегей жіктеу домендері үшін дұрыс. Арифметиканың негізгі теоремасы (анықтама бойынша) бірегей жіктеу домендерінде сақталады. Мұндай доменнің мысалы – Гаусс бүтін сандары, түріндегі комплекс сандар сақинасы, мұнда – жолғанатқан бірлік және және – кез келген бүтін сандар. Оның жай элементтері Гаусс жай сандары деп аталады. Бүтін сандар арасында жай болатын барлық сандар Гаусс бүтін сандарында жай болып қала бермейді; мысалы, 2 санын екі Гаусс жай санының көбейтіндісі ретінде жазуға болады. Рационалды жай сандар (бүтін сандардағы жай элементтер), 4-ке бөлінгенде 3 қалдық беретін сандар, Гаусс жай сандары болып табылады, бірақ 4-ке бөлінгенде 1 қалдық беретін рационалды жай сандар Гаусс жай сандары емес. Бұл Ферманың екі квадраттың қосындысы туралы теоремасының салдары, ол тақ жай сан екі квадраттың қосындысы түрінде жазыла алатынын, және деңгейінде жіктеле алатынын, дәл 4-ке бөлінгенде 1 қалдық бергенде көрсетеді.

Басты идеалдар

Әрбір сақина бірегей факторлық домен бола бермейді. Мысалы, сандар сақинасында (бүтін сандар және ) санның екі факторлануы бар, онда төрт фактордың ешқайсысын одан әрі ықшамдауға болмайды, сондықтан оның бірегей факторлануы жоқ. Бірегей факторлауды кеңірек сақиналар класына тарату үшін сан түсінігін идеалмен алмастыруға болады – сақина элементтерінің кіші жиыны, ол өзінің элементтерінің жұптарының барлық қосындыларын және сақина элементтерімен оның элементтерінің барлық көбейтінділерін қамтиды. Бастапқы идеалдар, яғни, бастапқы элемент арқылы туындаған негізгі идеал бастапқы идеал болатын жағдайда бастапқы элементтерді жалпылайтын, коммутативтік алгебрада, алгебралық сандар теориясында және алгебралық геометрияда маңызды құрал және зерттеу нысаны болып табылады. Бүтін сандар сақинасының бастапқы идеалдары: (0), (2), (3), (5), (7), (11) идеалдары. Арифметиканың негізгі теоремасы Ласкер-Нётер теоремасына дейін жалпыланады, ол Нотерлік коммутативтік сақинадағы әрбір идеалды бастапқы идеалдардың қиылысы ретінде көрсетеді, олар бастапқы күштердің тиісті жалпыламасы болып табылады. Сақинаның спектрі – бұл геометриялық кеңістік, оның нүктелері сақинаның бастапқы идеалдары болып табылады. Арифметикалық геометрия да осы түсініктен пайда алады, және геометрияда да, сандар теориясында да көптеген ұғымдар бар. Мысалы, кеңейтім өрісіне көтерілгенде бастапқы идеалдардың факторлануы немесе тармақтануы, алгебралық сандар теориясының негізгі мәселесі, геометриядағы тармақтануға ұқсас. Бұл түсініктер тіпті тек бүтін сандарға қатысты сандық теориялық сұрақтарға да көмектесе алады. Мысалы, квадраттық сандар өрістерінің бүтін сандары сақинасындағы бастапқы идеалдар квадраттық өзара байланысты дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін, бұл бүтін жай сандар модулі бойынша квадрат түбірлердің болуына қатысты мәлімдеме. Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуге жасалған алғашқы әрекеттер Кумердің циклотомдық бүтін сандардағы бірегей факторлаудың сәтсіздігімен байланысты тұрақты жай сандарды енгізуіне әкелді. Алгебралық сандар өрісінде қанша бүтін жай сан көптеген жай идеалдардың көбейтіндісіне жіктеледі деген сұраққа Чеботарев тығыздық теоремасы жауап береді, ол (циклотомдық бүтін сандарға қолданғанда) арифметикалық прогрессиядағы жай сандар туралы Дирихле теоремасының ерекше жағдайы болып табылады.

Not every ring is a unique factorization domain. For instance, in the ring of numbers (for integers and ) the number has two factorizations , where neither of the four factors can be reduced any further, so it does not have a unique factorization. In order to extend unique factorization to a larger class of rings, the notion of a number can be replaced with that of an ideal, a subset of the elements of a ring that contains all sums of pairs of its elements, and all products of its elements with ring elements. Prime ideals, which generalize prime elements in the sense that the principal ideal generated by a prime element is a prime ideal, are an important tool and object of study in commutative algebra, algebraic number theory and algebraic geometry. The prime ideals of the ring of integers are the ideals (0), (2), (3), (5), (7), (11), The fundamental theorem of arithmetic generalizes to the Lasker–Noether theorem, which expresses every ideal in a Noetherian commutative ring as an intersection of primary ideals, which are the appropriate generalizations of prime powers. The spectrum of a ring is a geometric space whose points are the prime ideals of the ring. Arithmetic geometry also benefits from this notion, and many concepts exist in both geometry and number theory. For example, factorization or ramification of prime ideals when lifted to an extension field, a basic problem of algebraic number theory, bears some resemblance with ramification in geometry. These concepts can even assist with in number theoretic questions solely concerned with integers. For example, prime ideals in the ring of integers of quadratic number fields can be used in proving quadratic reciprocity, a statement that concerns the existence of square roots modulo integer prime numbers. Early attempts to prove Fermat's Last Theorem led to Kummer's introduction of regular primes, integer prime numbers connected with the failure of unique factorization in the cyclotomic integers. The question of how many integer prime numbers factor into a product of multiple prime ideals in an algebraic number field is addressed by Chebotarev's density theorem, which (when applied to the cyclotomic integers) has Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions as a special case.

Топтық теория

Шектеулі топтар теориясында Силоу теоремалары, егер бір жай санның дәрежесі топтың ретін бөлетін болса, онда топта сол дәрежедегі кіші топ болады деп тұжырымдайды. Лагранж теоремасы бойынша, жай реттік кез келген топ циклдік болып табылады, ал Бернсайд теоремасы бойынша, реті тек екі жай санға бөлінетін кез келген топ шешіледі.

Есептеу әдістері

Ұзақ уақыт бойы жалпы сандар теориясы, әсіресе жай сандарды зерттеу, таза математиканың канондық үлгісі ретінде қарастырылды. Математикадан тыс жерде қолданылуы тозуды тегістеу үшін жай санмен белгіленген тістерді пайдаланумен ғана шектелді. Атап айтқанда, британдық математик Г.Х. Харди сияқты сандар теориясымен айналысушылар әскери маңызы жоқ жұмыстар жасағанымен мақтанатын. Сандар теориясының тазалығы туралы бұл көзқарас 1970 жылдары, жай сандардың ашық кілттік криптография алгоритмдерін құру үшін негіз ретінде пайдаланылуы мүмкін екені жарияланғанда бұзылды. Мысалы, 37 саны жай сан екенін тексеру үшін, бұл әдіс оны 2, 3 және 5 жай сандарына бөледі. Әр бөлуде нөлден өзге қалдық алынады, сондықтан 37 – шынымен де жай сан. Бұл әдісті сипаттау оңай болғанымен, үлкен бүтін сандардың жай сандығын тексеру үшін тиімді емес, себебі оның жүзеге асыратын тесттердің саны осы сандардың цифрларының санына байланысты экспоненциалды түрде өседі. Дегенмен, жай сандығын тексеру үшін бөлгіш өлшеміне квадрат түбірден кіші шектеу қойылып, кішкентай делительдері бар құрама сандарды жылдам анықтау үшін сынақ бөлу әдісі қолданылады, содан кейін осы сүзгіден өткен сандарға күрделі әдістер қолданылады.

Сипалар

Компьютерлер пайда болғанға дейін математикалық кестелер белгілі бір шекке дейінгі барлық жай сандарды немесе жай көбейткіштерді тізімдейтін. Жай сандар тізімін жасаудың ең көне әдісі Эратостеннің іргелес нүктелер әдісі деп аталады. Анимация осы әдістің оңтайландырылған түрін көрсетеді. Осы мәселені шешу үшін тағы бір асимптотикалық тиімді іргелес нүктелер әдісі – Аткиннің іргелес нүктелер әдісі. Жоғары математикада іргелес нүктелер теориясы басқа да мәселелерге ұқсас әдістерді қолданады.

Бүкіл сандарды факторлау

Композиттік бүтін сан берілгенде, оның бір (немесе барлық) жай көбейткіштерін табу міндеті оның жіктелуі деп аталады. Бұл жай санды тексеруден әлдеқайда қиын, және көптеген жіктеу алгоритмдері белгілі болғанымен, олар ең жылдам жай сан тексеру әдістерінен баяу. Қарапайым бөлу және Поллардтың rho алгоритмі сандың өте кішкентай көбейткіштерін табу үшін қолданылуы мүмкін. Санның көбейткіштерінің мөлшеріне тәуелді емес, кез келген үлкен сандарға қолайлы әдістерге квадраттық елеу және жалпы сандық өріс елеу жатады. Жай санды тексеру сияқты, жіктеуге арналған алгоритмдер де кіріс деректерінің арнайы түрін қажет етеді, соның ішінде арнайы сандық өріс елеуі. 2019 жылға дейін жалпы мақсаттағы алгоритммен жіктелген ең үлкен сан RSA 240 болып табылады, ол 240 ондық таңбадан (795 биттен) тұрады және екі үлкен жай санның көбейтіндісі болып табылады. Шор алгоритмі кванттық компьютерде кез келген бүтін санды полиномиалдық қадамдар санымен жіктеуге мүмкіндік береді. Алайда, қазіргі технология бұл алгоритмді өте кішкентай сандар үшін ғана орындай алады. 2012 жылға дейін Шор алгоритмін қолданатын кванттық компьютерде жіктелген ең үлкен сан 21 болды.

Басқа есептеу қолданбалары

RSA және Diffie–Hellman кілт алмасуы сияқты бірнеше ашық кілт криптографиялық алгоритмдер үлкен жай сандарға негізделген (2048 биттік жай сандар жиі қолданылады). RSA екі (үлкен) санды көбейтудің және (өзара жай) көбейтуді есептеуден гөрі, тек көбейтіндісі белгілі болғанда әлдеқайда оңай (яғни тиімдірек) екеніне сенеді. Жай сандар жиі хэш-кестелерде қолданылады. Мысалы, Картер мен Вегманның әмбебап хэштеудің бастапқы әдісі үлкен жай сандар модулі бойынша кездейсоқ сызықтық функцияларды таңдап, хэш функцияларын есептеуге негізделген. Картер мен Вегман бұл әдісті жоғары дәрежелі полиномдарды, тағы да үлкен жай сандар модулі бойынша пайдалану арқылы тәуелсіз хэштеуге жалпылады. Хэш-функциямен қатар, зондтау тізбегінің бүкіл кестеге қамтуын қамтамасыз ету үшін квадраттық зондтау негізінде жасалған хэш-кестелердегі хэш-кесте өлшемі үшін жай сандар қолданылады. Кейбір тексеру әдістері жай сандардың математикасына негізделген. Мысалы, Халықаралық стандартты кітап нөмірлерінде қолданылатын тексеру сомалары 11 модулінің қалдығын алу арқылы анықталады, яғни жай санды. 11 жай сан болғандықтан, бұл әдіс бір таңбалық қателерді де, жақын таңбалардың орнын ауыстыруды да анықтай алады. Басқа тексеру әдісі, Адлер 32, 65521 модуліндегі арифметиканы пайдаланады, бұл жай сандардан кіші ең үлкен жай сан, сондай-ақ сызықтық конгруенциялық генераторларды және Мерсенн Твистерін қоса алғанда, псевдокездейсоқ сандар генераторларында қолданылады.

Басқа қолданбалар

Жақсы сандар сандар теориясының өзекті маңызын иеленеді, сонымен қатар математиканың басқа да салаларында, оның ішінде абстрактілі алгебра мен элементар геометрияда көптеген қолданысқа ие. Мысалы, екі өлшемді торға жақсы сандардың нүктелерін орналастыруға болады, осылайша үш нүкте бір түзу бойында жатпайды немесе нүктелердің кез келген үштігі құрайтын үшбұрыштың ауданы үлкен болады. Тағы бір мысал – Эйзенштейннің шарты, көпмүшелік санның коэффициенттерінің жақсы санға және оның квадратына бөлінуіне негізделген, оның толық болатынын анықтауға арналған тест. Жақсы сан туралы ұғым соншалықты маңызды, осы себепті ол математиканың әртүрлі салаларында әртүрлі жолдармен жалпыланды. Жалпы алғанда, "жақсы" дегеніміз – тиісті мағынада минималдылық немесе ажыратылмаушылық. Мысалы, берілген өрістің бастапқы өрісі – 0 және 1 сандарын қамтитын ең кіші қосалқы өріс. Бұл рационал сандар өрісі немесе жақсы санға тең элементтері бар шекті өріс, сондықтан осылай аталады. Көбінесе "жақсы" сөзін қолдану арқылы екінші, қосымша мағына көзделеді, атап айтқанда, кез келген объект, негізінен бірегей түрде, оның жақсы құраушыларына жіктеле алады. Мысалы, түйін теориясында жақсы түйін – екі тривиалды емес түйіннің байланысқан қосындысы түрінде жазылмайтын, яғни ажыратылмайтын түйін. Кез келген түйін жақсы түйіндердің байланысқан қосындысы түрінде бірегей түрде беріледі. 3-матрицаның жақсы жіктелуі – осы типтегі тағы бір мысал. Математика мен есептеуден басқа, жақсы сандар кванттық механикамен байланысты болуы мүмкін, сонымен қатар өнер мен әдебиетте метафоралық түрде қолданылған. Олар эволюциялық биологияда цикадалардың өмірлік циклын түсіндіру үшін де қолданылған.

Кванттық механика

Хью Монтгомери мен Фриман Дайсонның 1970-ші жылдардағы жұмысынан бастап математиктер мен физиктер Риманның зета-функциясының нөлдері кванттық жүйелердің энергия деңгейлерімен байланысты екенін болжады. Жақсы сандар математикалық құрылымдардың, мысалы өзара теңдес емес базалар мен симметриялық ақпаратты толықтыратын оң операторлық өлшемдердің арқасында кванттық ақпарат ғылымында да маңызды рөл атқарады.

Биология

Магицикада тұқымдасының цикадалары қолданатын эволюциялық стратегияда жай сандар пайдаланылады. Бұл жәндіктер өмірінің көп бөлігін жер астында дернәсілдер ретінде өткізеді. Олар тек 7, 13 немесе 17 жылдан кейін ғана қуыршаққа айналып, жерден шығады, содан кейін ұшып, көбейіп, көбінесе бірнеше аптадан кейін өледі. Биологтардың пікірінше, осы жай санмен өлшенетін көбею циклдарының ұзақтығы, жыртқыштардың осы циклдармен синхронды болуына кедерес келтіру үшін қалыптасқан. Ал бамбук өсімдіктерінде гүлдеу арасындағы көп жылдық кезеңдердің жай сандарға жақын, тегіс сандар болып келетіні және олардың құрамында тек кішкентай жай сандар ғана болатыны болжанады.

Өнер және әдебиет

Бастапқы сандар көптеген суретшілер мен жазушыларға әсер етті. Француз композиторы Оливье Мессиан "табиғи құбылыстар" арқылы аметрикалық музыка жасау үшін алғашқы сандарды қолданды. "La Nativité du Seigneur" (1935) және "Quatre études de rythme" (1949–50) сияқты шығармаларында ол әр түрлі алғашқы сандармен берілген ұзындығы бар мотивтерді бір мезгілде пайдаланып, болжауға болмайтын ырғақтарды жасайды: 41, 43, 47 және 53 сандары үшінші этюдта, "Neumes rythmiques" атты шығармада кездеседі. Мессианның айтуынша, композициялаудың осы тәсілі "табиғаттың қозғалыстарынан, еркін және тең емес ұзақтықтағы қозғалыстардан шабыт алды". Ғылыми фантастикадағы "Контакт" романында ғалым Карл Саган алғашқы санға жіктеуді шетелдіктермен байланыс жасауда екі өлшемді бейне жазықтығын құру құралы ретінде пайдалануға болатынын ұсынды, бұл идеяны ол алғаш рет 1975 жылы америкалық астроном Фрэнк Дрейкпен бейресми түрде талқылаған. Марк Хэддонның "Түнгі иттің қызықты оқиғасы" романында баяндаушы әңгіменің бөлімдерін тізбектелген алғашқы сандар бойынша реттеп, басты кейіпкерінің – Аспергер синдромы бар математикалық дарынды жасөспірімнің психикалық жағдайын жеткізуге тырысады. Паоло Джорданоның "Бастапқы сандардың жалғыздығы" романында алғашқы сандар жалғыздық пен оқшауланудың метафорасы ретінде қолданылады, олар бүтін сандар арасында "сырттан келгендер" ретінде бейнеленеді.