Кіріспе
Алгебралық сандар рационалды сандарға жақын емес.
Арифметикалық прогрессиялар бойынша Рот теоремасы
Математикада Рот теоремасы немесе Тью-Сигель-Рот теоремасы – алгебралық сандарға диофанттық жуықтаудың негізгі нәтижесі болып табылады. Ол сапалық сипатта, алгебралық сандардың рационалды сандарға «өте жақсы» жуықтамалары көп болмайтынын көрсетеді. Жарты ғасырдан астам уақыт бойы «өте жақсы» деген ұғымды 1844 жылы Джозеф Лиувилл бастап, көптеген математиктер нақтылады, сондай-ақ , , және еңбектері де осы бағытта болды.
Roth's theorem on arithmetic progressions
In mathematics, Roth's theorem or Thue–Siegel–Roth theorem is a fundamental result in diophantine approximation to algebraic numbers. It is of a qualitative type, stating that algebraic numbers cannot have many rational number approximations that are 'very good'. Over half a century, the meaning of very good here was refined by a number of mathematicians, starting with Joseph Liouville in 1844 and continuing with work of , , , and .
Айтылым
Рот теоремасы әр иррационалды алгебралық санның жуықтау экспоненті 2-ге тең екенін айтады. Яғни, кез келген ε үшін, теңсіздік
толық өзара жай сандардың тек шектеулі саны ғана шешімдері болуы мүмкін, ал Роттың осы фактіні дәлелдеуі Сигельдің болжамын шешті. Осыдан әр иррационалды алгебралық сан α келесіні қанағаттандырады:
, мұндағы – тек α және ε-ға тәуелді оң сан.
Талқылау
Бұл бағыттағы алғашқы нәтиже – Лиувиллдің алгебралық сандарды жуықтау теоремасы, ол d ≥ 2 дәрежелі α алгебралық саны үшін d жуықтау көрсеткішін береді. Бұл трансцендентті сандардың бар екенін көрсетуге жеткілікті. Тью жуықтау көрсеткіші d-ден кіші болса, Диофанти теңдеулерін шешуде қолданылатынын түсінді, ал 1909 жылғы Тью теоремасында ол Тью теңдеуінің шешімдерінің саны шекті екенін дәлелдеу үшін қолданған көрсеткішті анықтады. Сигель теоремасы осыны шамамен 2 көрсеткішіне жақсартады, ал 1947 жылғы Дайсон теоремасы да осыған ұқсас көрсеткішке ие. Роттың 2 көрсеткіші бар нәтижесі белгілі бір мағынада ең жақсы мүмкіндік болып табылады, себебі бұл тұжырымды келесідей қойғанда орындалмайды: Дирихле теоремасы бойынша диофантикалық жуықтау бойынша мұндай жағдайда шексіз көп шешімдер бар. Алайда, Серж Лангтың p және q бүтін сандардағы шешімдерінің саны шекті ғана болуы мүмкін деген күдікті болжамы бар. Егер α-ға тек алгебралық нақты сандар емес, нақты сандардың барлық жиыны бойынша өтуге рұқсат берілсе, онда Роттың және Лангтың тұжырымдары дерлік барлық жағдайларда орындалады. Осылайша, теорема мен болжам белгілі бір саналатын жиынның белгілі бір нөлдік өлшемді жиынтықты қамтымайтынын көрсетеді. Теорема қазіргі уақытта тиімді емес: яғни, берілген жағдайда p және q-ның мүмкін мәндеріне белгілі шек жоқ. Роттың әдістерін қолдану арқылы, «аралық» принципіне негізделген, теңсіздікті қанағаттандыратын p/q саны үшін тиімді шек табуға болатыны көрсетілді. Бұл Рот әдісіне негізделген. Уильям Дж. Левек бұл нәтижені жалпылады, жуықтау сандары белгіленген алгебралық сандар өрісінен алынғанда да ұқсас шек сақталады екенін көрсетті. Алгебралық санның H(ξ) биіктігін ξ-нің ең кіші көпмүшесінің коэффициенттерінің абсолюттік мәндерінің максималдығы деп анықтаңыз. κ > 2 деп қояйық. Берілген алгебралық сан α және алгебралық сандар өрісі K үшін келесі теңдеу
Roth's result with exponent 2 is in some sense the best possible, because this statement would fail on setting : by Dirichlet's theorem on diophantine approximation there are infinitely many solutions in this case. However, there is a stronger conjecture of Serge Lang that
can have only finitely many solutions in integers p and q. If one lets α run over the whole of the set of real numbers, not just the algebraic reals, then both Roth's conclusion and Lang's hold
for almost all So both the theorem and the conjecture assert that a certain countable set misses a certain set of measure zero. The theorem is not currently effective: that is, there is no bound known on the possible values of p,q given showed that Roth's techniques could be used to give an effective bound for the number of p/q satisfying the inequality, using a "gap" principle. based on the Roth method. William J. LeVeque generalized the result by showing that a similar bound holds when the approximating numbers are taken from a fixed algebraic number field. Define the height H(ξ) of an algebraic number ξ to be the maximum of the absolute values of the coefficients of its minimal polynomial. Fix κ>2. For a given algebraic number α and algebraic number field K, the equation
has only finitely many solutions in elements ξ of K.
K элементтеріндегі ξ-ке қатысты шекті ғана шешімдерге ие.
Roth's result with exponent 2 is in some sense the best possible, because this statement would fail on setting : by Dirichlet's theorem on diophantine approximation there are infinitely many solutions in this case. However, there is a stronger conjecture of Serge Lang that
can have only finitely many solutions in integers p and q. If one lets α run over the whole of the set of real numbers, not just the algebraic reals, then both Roth's conclusion and Lang's hold
for almost all So both the theorem and the conjecture assert that a certain countable set misses a certain set of measure zero. The theorem is not currently effective: that is, there is no bound known on the possible values of p,q given showed that Roth's techniques could be used to give an effective bound for the number of p/q satisfying the inequality, using a "gap" principle. based on the Roth method. William J. LeVeque generalized the result by showing that a similar bound holds when the approximating numbers are taken from a fixed algebraic number field. Define the height H(ξ) of an algebraic number ξ to be the maximum of the absolute values of the coefficients of its minimal polynomial. Fix κ>2. For a given algebraic number α and algebraic number field K, the equation
has only finitely many solutions in elements ξ of K.