Введение

Алгебраические числа не близки к рациональным.
Теорема Рота об арифметических прогрессиях.
В математике теорема Рота, или теорема Тью — Зигеля — Рота, является фундаментальным результатом в области диафантического приближения алгебраических чисел. Это результат качественного типа, утверждающий, что алгебраические числа не могут иметь много рациональных приближений, которые были бы "очень хорошими". На протяжении более полувека понимание того, что значит "очень хорошие" приближения, было уточнено рядом математиков, начиная с Джозефа Лиувиля в 1844 году и продолжаясь работами , , и .

Заявление

Теорема Рота утверждает, что каждое иррациональное алгебраическое число имеет показатель аппроксимации, равный 2. Это означает, что для любого ε > 0, неравенство

может иметь лишь конечное число решений в взаимно простых целых числах m и n. Доказательство Рота этого факта разрешило гипотезу, выдвинутую Зигелем. Следовательно, каждое иррациональное алгебраическое число α удовлетворяет

где C – положительное число, зависящее только от α и ε.

Обсуждение

Первым результатом в этом направлении является теорема Лиувиля об приближении алгебраических чисел, которая дает показатель приближения d для алгебраического числа α степени d ≥ 2. Этого уже достаточно, чтобы продемонстрировать существование трансцендентных чисел. Тью понял, что показатель меньше d будет иметь применение к решению диофантовых уравнений, и в теореме Тью 1909 года установил показатель, который он применил для доказательства конечности решений уравнения Тью. Теорема Сигеля улучшает этот результат до показателя около 2, а теорема Дайсона 1947 года имеет показатель около
Результат Ротта с показателем 2 в некотором смысле является наилучшим возможным, поскольку это утверждение не выполняется при : по теореме Дирихле о диофантовом приближении в этом случае существует бесконечно много решений. Однако существует более сильная гипотеза Сержа Ланга, что
может иметь только конечное число решений в целых числах p и q. Если позволить α пробегать все множество вещественных чисел, а не только алгебраические, то и вывод Ротта, и вывод Ланга будут справедливы почти для всех. Таким образом, и теорема, и гипотеза утверждают, что определенное счетное множество не содержит определенное множество меры ноль. Теорема в настоящее время не является эффективной: то есть, неизвестна граница для возможных значений p и q, при заданном . Показано, что методы Ротта могут быть использованы для получения эффективной границы для числа p/q, удовлетворяющих неравенству, используя принцип "разрыва", основанный на методе Ротта. Уильям Левек обобщил результат, показав, что подобная граница сохраняется, когда приближающие числа берутся из фиксированного алгебраического поля чисел. Определим высоту H(ξ) алгебраического числа ξ как максимум абсолютных значений коэффициентов его минимального многочлена. Зафиксируем κ > 2. Для заданного алгебраического числа α и алгебраического поля чисел K уравнение
имеет только конечное число решений в элементах ξ из K.