Кіріспе

жұлдыздарды астрономияда жіктеу. Гомологиялық алгебрадағы құрал.

Гомологиялық алгебра және алгебралық топологияда спектрлік тізбек – гомологиялық топтарды біртіндеп жуықтау арқылы есептеу тәсілі. Спектрлік тізбектер – нақты тізбектердің жалпылама түрі және олар енгізілгеннен бері, әсіресе алгебралық топологияда, алгебралық геометрияда және гомологиялық алгебрада маңызды есептеу құралына айналды.

Ашылу және ынталандыру

Алгебралық топологиядағы мәселелерге негізделген Жан Лерей бушақ ұғымын енгізді және өзін бушақ кохомологиясын есептеу мәселесімен бетпе-бет келді. Бушақтың кохомологиясын есептеу үшін Лерей қазір Лерей спектрлік тізбегі деп аталатын есептеу әдісін енгізді. Бұл бушақтың кохомологиялық топтары мен бушақтың иірілуінің кохомологиялық топтары арасындағы байланысты қамтамасыз етті. Бұл қатынас шексіз процеске байланысты болды. Лерей иірілудің кохомологиялық топтары табиғи тізбек кешенін құрайтынын анықтады, сондықтан ол кохомологияның кохомологиясын есептеуге мүмкіндік алды. Бұл әлі де бастапқы бушақтың кохомологиясы емес еді, бірақ белгілі бір мағынада бір қадамға жақындады. Кохомологияның кохомологиясы қайтадан тізбек кешенін құрады, ал оның кохомологиясы тізбек кешенін құрады, және т.б. Бұл шексіз процестің лиміті негізінен бастапқы бушақтың кохомологиялық топтарымен сәйкес келді. Көп ұзамай Лерейдің есептеу әдісі жалпы құбылыстың мысалы екені анықталды. Спектрлік тізбектер әртүрлі жағдайларда табылды және олар фибрациялар сияқты геометриялық жағдайлардан және туынды функторларды қамтитын алгебралық жағдайлардан туындаған гомология және кохомология топтары арасындағы күрделі байланыстарды көрсетті. Олардың теориялық маңыздылығы туынды санаттардың енгізілуінен кейін төмендегенімен, олар әлі де ең тиімді есептеу құралы болып табылады. Бұл тіпті спектрлік тізбектің көптеген мүшелері есептелмейтін жағдайда да дұрыс. Өкінішке орай, спектрлік тізбектердегі үлкен көлемдегі ақпарат оларды түсінуді қиындатады. Бұл ақпарат әдетте Абель топтарының немесе модульдерінің үшінші дәрежелі торында сақталады. Ең оңай жағдайлар - спектрлік тізбектің ыдырауы, яғни тізбектің одан әрі дамуы жаңа ақпарат бермейді. Тіпті мұндай жағдайда болмаса да, әртүрлі тәсілдер арқылы спектрлік тізбектен пайдалы ақпарат алуға болады.

Гомологиялық спектрлік тізбек

Көбінесе біз сөйіп отырған объектілер тізбектік кешендер болып табылады, олар төмендеу (жоғарыда көрсетілгендей) немесе көтерілу ретімен кездеседі. Соңғы жағдайда, with-ты with-қа және with-ты with-қа (bidegree) алмастыру арқылы, кохомологиялық жағдайға ұқсас гомологиялық спектрлік тізбектің анықтамасы алынады.

Көрнекілендіру

Екі еселенген спектрлік тізбектің қадағалауға алынған деректері өте көп, бірақ спектрлік тізбектің құрылымын түсінікті ететін әдеттегі визуализациялау тәсілі бар. Бізде үш индекс бар: r, p және q. Объектіні кітаптың торлы беті ретінде қарастыруға болады. Осы беттерде p-ді көлденең бағыт, ал q-ды тік бағыт деп аламыз. Әр тор нүктесінде біз объектіні көреміз. Келесі бетке өту гомологияны есептеуді білдіреді, яғни бет – бұл алдыңғы беттің субкотиенті. Жалпы дәреже n = p + q диагональ бойымен, солтүстік-батыстан оңтүстік-шығысқа қарай, әр бетте жүреді. Гомологиялық жағдайда дифференциалдардың бидегресі (−r, r − 1) болады, сондықтан олар n-ді бірге кемітеді. Когомологиялық жағдайда n бірге артады. Дифференциалдар r-ге қатысты бағыттарын әрбір бұрылыста өзгертеді.

Қызыл жебелер бірінші квадрант тізбегінің жағдайын көрсетеді (төмендегі мысалға қараңыз), онда тек бірінші квадранттың объектілері нөлден өзгеше. Беттерді аудару кезінде барлық дифференциалдардың домені немесе кодомені нөлге тең болады.

Категориялық қасиеттер

Кохомологиялық спектрлік тізбектер жиынтығы бір категория құрайды: спектрлік тізбектердің морфизмі – бұл анықтама бойынша дифференциалдармен үйлесімді келетін карталар жиынтығы, яғни d және E мен E’ тізбектерінің r-шы қадамы мен (r+1)-ші қабаты арасындағы берілген изоморфизмдермен сәйкес келеді. Үлкен дәрежелі жағдайда олар сондай-ақ градуировканы сақтауы керек:

Көбейту құрылымы

Шарап өнімі кохомологиялық топқа сақиналық құрылым береді, оны кохомологиялық сақинаға айналдырады. Сондықтан, сақиналық құрылымы бар спектрлік тізбекті қарастыру да табиғи. Кохомологиялық типтегі спектрлік тізбек болсын. Ол көбейтуші құрылымға ие деп айтамыз, егер (i) дифференциалдық градус алгебралары болса (екі реттік градуста) және (ii) көбейтуі кохомологияға өту арқылы көбейтуімен индукцияланса. Типтік мысал – фибрация үшін кохомологиялық Серр спектрлік тізбегі, мұнда коэффициент тобы сақина R болады. Ол талшық пен негіздің шарап өнімдері арқылы индукцияланған көбейту құрылымына ие. Дегенмен, жалпы жағдайда, шектеулі мүше H(E; R) -ге градус алгебрасы ретінде изоморф емес. Көбейту құрылымы тізбектегі дифференциалдарды есептеу үшін өте пайдалы болуы мүмкін.

Спектрлік тізбектердің құрастырылуы

Спектрлік тізбектерді әр түрлі тәсілдермен құрастыруға болады. Алгебралық топологияда, дәл жұп құрылыстың ең көп қолданылатын құралы болып табылады. Алгебралық геометрияда спектрлік тізбектер көбінесе коцепстік кешендердің сүзгіленуінен жасалады.

Сүзгіленген кешеннің спектрлік реті

Спектрлік тізбектің өте кең таралған түрі сүзгіленген коцейн кешенінен туындайды, себебі ол табиғи түрде екі дәрежелі объектіні тудырады. Коцейн кешенін төмендейтін сүзгімен бірге қарастырайық, . Біз шекаралық оператордың сүзгімен үйлесімді болуын талап етеміз, яғни, , және сүзгі толық болуын, яғни, барлық жиынтығының бірігісі – бүкіл тізбек кешені. Содан кейін, спектрлік тізбек пен болады. Кейіннен, сүзгі Хаусдорфты немесе ажыратылған деп есептейміз, яғни, барлық жиынтығының қиылысы нөлге тең. Сүзгі пайдалы, себебі ол нөлге жуықтаудың өлшемін береді: p өскен сайын, нөлге жақындай береді. Біз осы сүзгіден спектрлік тізбек құрастырамыз, онда келесі қабаттардағы косынулар мен коциклдер бастапқы кешендегі косынулар мен коциклдерге жақындай береді. Бұл спектрлік тізбек сүзгі дәрежесі p және толықтырушы дәрежесі 1=q = n − p бойынша екі рет дәрежеленеді.

Ынтымақтастық шарттары

Біз спектрлік тізбек әлсіз конвергенцияға ие деп айтамыз, егер әрбір үшін сүзгіленген объекті болса және әрбір үшін изоморфизм болса. Егер сүзгілеу Хаусдорф болса, яғни p + q = n болғанда конвергенцияға ие болады деп жазамыз. Спектрлік тізбек егер әрбір үшін мұндай болатын болса, шектеулік мүшеге жуысады. Спектрлік тізбек егер дифференциалдар барлығы үшін нөлге тең болса, реттелген немесе дегенерацияланады. Атап айтқанда, егер бір жаққа немесе бір бағанға жиынталған болса, онда ол құлдырайды. Символдармен:

p – сүзгілеу индексін білдіреді. Көптеген спектрлік тізбектердің ең пайдалы мүшесі болғандықтан, абутменттің сол жағында жазу жиі кездеседі. Сүзгіленбеген тізбектік кешеннің спектрлік тізбегі бірінші парақта дегенерацияланады (бірінші мысалға қараңыз): нөлдік парақтан кейін ештеңе болмағандықтан, шектеулік парақпен бірдей болады. Спектрлік тізбектің бес мүшелі дәл тізбегі белгілі бір төмен дәрежелі мүшелер мен E∞ мүшелерін байланыстырады.

Tor-тың коммутативтілігі

R – сақина, M – оң R модуль, N – сол R модуль болсын. Тензор көбейтіндісінің туынды функторлары Tor деп белгіленеді. Tor өзінің бірінші аргументінің проективті шешімін қолдану арқылы анықталады. Дегенмен, бұл спектрлік тізбексіз тексерілуі мүмкін болғанымен, спектрлік тізбектермен тексеру әлдеқайда оңай. M және N үшін проективті шешімдерді сәйкесінше таңдайық. Оларды теріс дәрежеде нөлге тең болатын, сәйкесінше d және e дифференциалдары бар кешендер ретінде қарастырайық. Біз екі өлшемді кешен құра аламыз, оның мүшелері және дифференциалдары болады. (Дифференциалдардың антикоммутациясын қамтамасыз ету үшін −1 коэффициенті қолданылады.) Проективті модульдер жазық болғандықтан, проективті модульмен тензор көбейтіндісін алу гомологияны алумен үйлеседі, сондықтан біз келесіге ие болады:

Екі кешен де шешім болғандықтан, олардың гомологиясы нөлдік дәрежеден тыс жоғалады. Нөлдік дәрежеде бізде қалды:

Атап айтқанда, мүшелері тек q = 0 (I спектрлік тізбегі үшін) және p = 0 (II спектрлік тізбегі үшін) түзулерінде ғана жоғалады. Бұл спектрлік тізбектің екінші бетте дегенерацияланатынын білдіреді, сондықтан E∞ мүшелері E2 мүшелеріне изоморфты:

Соңында, p және q тең болғанда, екі жақ тең болады, осылайша Tor-дың коммутативтілігі шығады.

Бірінші квадранттың парағы

Кейбірге дейінгі барлық және кейбірге дейінгі барлық жоғалатын спектрлік тізбекті қарастырайық. Егер және нөлге тең болып таңдалса, онда бұл бірінші квадрант спектрлік тізбегі деп аталады. Тізбек келесі теңдік орындалса, барлық үшін шектеседі және . Мұны байқау үшін, қарастырылып отырған жағдайларда дифференциалдың анықталу облысы немесе мәндер жиыны нөлге тең екенін ескеріңіз. Көрініс тұрғысынан, жақтары өсіп келе жатқан тіктөртбұрыш пішіндес тұрақтанады (жоғарыдағы суретті қараңыз). Дегенмен, спектрлік тізбек міндетті түрде дегенерацияға ұшырамайды, себебі дифференциалдық бейнелеулердің барлығы бірден нөлге тең болмауы мүмкін. Сол сияқты, егер кейбірнен үлкен барлық және кейбірнен үлкен барлық үшін жоғалатын болса, спектрлік тізбек де конвергенцияланады.