Введение

сортировка звёзд в астрономии
Инструмент в гомологической алгебре

В гомологической алгебре и алгебраической топологии спектральная последовательность — это средство вычисления групп гомологий путём последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей и с момента их введения стали важными вычислительными инструментами, особенно в алгебраической топологии, алгебраической геометрии и гомологической алгебре.

Открытие и мотивация

Мотивированный проблемами алгебраической топологии, Жан Лерей ввёл понятие пучка и столкнулся с задачей вычисления когомологий пучка. Для вычисления когомологий пучков Лерей разработал вычислительный метод, известный как спектральная последовательность Лерея. Этот метод установил связь между группами когомологий пучка и группами когомологий его прямого образа. В этой связи присутствовал бесконечный процесс. Лерей обнаружил, что группы когомологий прямого образа образуют естественный цепной комплекс, позволяющий вычислять когомологии когомологий. Это всё ещё не было когомологией исходного пучка, но представляло собой шаг вперёд в определённом смысле. Когомологии когомологий снова образуют цепной комплекс, а когомологии этого комплекса – тоже, и так далее. Предел этого бесконечного процесса по существу совпадает с группами когомологий исходного пучка. Вскоре стало ясно, что вычислительный метод Лерея является примером более общего явления. Спектральные последовательности были обнаружены в различных ситуациях и устанавливают сложные взаимосвязи между группами гомологий и когомологий, возникающими из геометрических ситуаций, таких как расслоения, и из алгебраических ситуаций, связанных с производными функторами. Несмотря на то, что их теоретическая значимость уменьшилась после введения производных категорий, они по-прежнему остаются наиболее эффективным вычислительным инструментом. Это верно даже в тех случаях, когда многие члены спектральной последовательности не поддаются вычислению. К сожалению, из-за большого объёма информации, содержащейся в спектральных последовательностях, их трудно освоить. Эта информация обычно представлена в виде решётки третьего ранга из абелевых групп или модулей. Наиболее простыми для анализа являются случаи, когда спектральная последовательность в конечном итоге схлопывается, то есть дальнейшее продвижение по последовательности не даёт новой информации. Даже если этого не происходит, часто можно получить полезную информацию из спектральной последовательности, используя различные приёмы.

Гомологическая спектральная последовательность

В основном, объекты, о которых мы говорим, — это цепные комплексы, возникающие в убывающем (как выше) или возрастающем порядке. В последнем случае, заменяя на и на (бистепень), можно получить определение гомологической спектральной последовательности аналогично кохомологическому случаю.

Визуализация

Двухступенчатая спектральная последовательность оперирует огромным объемом данных, но существует общепринятый метод визуализации, который позволяет лучше понять её структуру. У нас есть три индекса: r, p и q. Объект можно представить как клетчатую страницу книги. На этих страницах будем считать p горизонтальным направлением, а q – вертикальным. В каждой точке сетки находится объект. Переход к следующей странице означает вычисление гомологии, то есть страница является подфактором предыдущей. Полная степень n = p + q проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, по каждой странице. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (−r, r − 1), поэтому они уменьшают n на единицу. В кохомологическом случае n увеличивается на единицу. Дифференциалы меняют направление при каждом переходе к следующей странице относительно r. Красные стрелки иллюстрируют случай последовательности первого квадранта (см. пример ниже), где ненулевыми являются только объекты первого квадранта. При перелистывании страниц либо область определения, либо область значений всех дифференциалов становятся нулевыми.

Категорические свойства

Набор кохомологических спектральных последовательностей образует категорию: морфизм спектральных последовательностей по определению представляет собой совокупность отображений, согласованных с дифференциалами, то есть и с заданными изоморфизмами между когомологиями r-й ступени и (r+1)-го листа E и E' соответственно. В случае биградуировки они также должны сохранять градуировку.

Множительная структура

Кубок продукта наделяет кохомологическую группу кольцевой структурой, превращая её в кольцо кохомологий. Таким образом, естественно рассматривать спектральную последовательность, обладающую кольцевой структурой. Пусть – спектральная последовательность кохомологического типа. Мы говорим, что она имеет мультипликативную структуру, если (i) являются (двойственно градуированными) дифференциально градуированными алгебрами и (ii) умножение на индуцируется умножением на через переход к кохомологиям. Типичным примером является кохомологическая спектральная последовательность Серре для расслоения , когда коэффициентная группа является кольцом R. Она обладает мультипликативной структурой, индуцированной кубковыми произведениями волокна и основания на странице. Однако, в общем случае, предельный член не изоморфен как градуированная алгебра H(E; R). Мультипликативная структура может быть очень полезной для вычисления дифференциалов в последовательности.

Конструкции спектральных последовательностей

Спектральные последовательности могут быть построены разными способами. В алгебраической топологии точная пара, пожалуй, является наиболее распространенным инструментом для их построения. В алгебраической геометрии спектральные последовательности обычно строятся из фильтраций комплексов коцепей.

Спектральная последовательность фильтрованного комплекса

Очень распространенный тип спектральной последовательности возникает из фильтрованного коцепного комплекса, поскольку он естественным образом индуцирует биградированный объект. Рассмотрим коцепный комплекс вместе с убывающей фильтрацией, . Мы требуем, чтобы оператор границы был совместим с фильтрацией, т.е. , и чтобы фильтрация была исчерпывающей, то есть объединение множества всех равно всему комплексу цепей. Тогда существует спектральная последовательность с и . Позже мы также предположим, что фильтрация является хаусдорфовой или разделенной, то есть пересечение множества всех равно нулю. Фильтрация полезна, поскольку она дает меру близости к нулю: с ростом p, становится все ближе и ближе к нулю. Мы построим спектральную последовательность из этой фильтрации, где кограницы и коциклы на последующих листах приближаются к кограницам и коциклам в исходном комплексе. Эта спектральная последовательность двойным образом градуирована по степени фильтрации p и дополнительной степени 1 = q = n − p.

Условия сближения

Мы говорим, что спектральная последовательность слабо сходится, если существует градуированный объект с фильтрацией для каждого , и для каждого существует изоморфизм. Она сходится, если фильтрация является хаусдорфовой, то есть. Мы пишем, чтобы обозначить, что всякий раз, когда p + q = n, сходится. Мы говорим, что спектральная последовательность достигает предела, если для каждого существует такой, что для всех , то это предельный член. Спектральная последовательность регулярна или вырождается на листе , если дифференциалы равны нулю для всех. Если в частности существует , такой что лист сосредоточен на одной строке или одном столбце, то мы говорим, что он схлопывается. В символах мы пишем:

p указывает индекс фильтрации. Очень часто термин пишут слева от предела, поскольку это наиболее полезный член большинства спектральных последовательностей. Спектральная последовательность нефильтрованного цепного комплекса вырождается на первом листе (см. первый пример): поскольку после нулевого листа ничего не происходит, предельный лист такой же, как. Пятичленная точная последовательность спектральной последовательности связывает определенные члены малой степени и члены E∞.

Коммутативность Tor

Пусть R – кольцо, M – правый R-модуль, а N – левый R-модуль. Напомним, что производные функторы тензорного произведения обозначаются как Tor. Tor определяется с использованием проективного разрешения своего первого аргумента. Однако оказывается, что хотя это можно проверить и без спектральной последовательности, с ее помощью это сделать гораздо проще. Выберем проективные разрешения и для M и N соответственно. Рассмотрим их как комплексы, обращающиеся в нуль в отрицательных степенях, с дифференциалами d и e соответственно. Мы можем построить двойной комплекс, члены которого и дифференциалы которого и (множитель −1 введен для антикоммутативности дифференциалов). Поскольку проективные модули плоские, взятие тензорного произведения с проективным модулем коммутирует с вычислением гомологии, поэтому мы получаем:

Поскольку оба комплекса являются разрешениями, их гомология обращается в нуль вне нулевой степени. В нулевой степени у нас остается:

В частности, члены обращаются в нуль, за исключением линий q = 0 (для спектральной последовательности I) и p = 0 (для спектральной последовательности II). Это означает, что спектральная последовательность вырождается на втором листе, то есть члены E∞ изоморфны членам E2:

Наконец, когда p и q равны, обе правые части совпадают, и из этого следует коммутативность Tor.

Лист первого квадранта

Рассмотрим спектральную последовательность, где обращается в нуль для всех *i* меньше некоторого *p* и для всех *j* меньше некоторого *q*. Если *p* и *q* могут быть выбраны равными нулю, то такая последовательность называется спектральной последовательностью первого квадранта. Последовательность достигает предела (abuts), поскольку выполняется для всех *i* и *j*, если *p* и *q* равны нулю. Чтобы увидеть это, заметим, что либо область определения, либо область значений дифференциала равны нулю в рассматриваемых случаях. Визуально листы стабилизируются в виде растущего прямоугольника (см. рисунок выше). Однако спектральная последовательность не обязана вырождаться, так как дифференциальные операторы могут не обращаться в нуль одновременно. Аналогично, спектральная последовательность также сходится, если обращается в нуль для всех *i* больше некоторого *p* и для всех *j* больше некоторого *q*.