Топологиялық кеңістіктермен байланысты абелдік топтар тізбегі

Кіріспе

Топологиялық кеңістіктермен байланысты абельдік топтар тізбектері

Математикада, әсіресе гомология теориясында және алгебралық топологияда, кохомология – абельдік топтар тізбегін белгілейтін жалпы термин, көбінесе топологиялық кеңістікпен байланысты және жиі коцейн кешенінен анықталады. Кохомологияны кеңістікке гомологияға қарағанда бай алгебралық инварианттарды тағайындау әдісі ретінде қарастыруға болады. Кохомологияның кейбір түрлері гомологияның құрылымын дуалдау арқылы туындайды. Яғни, коцейн – гомология теориясындағы тізбектер тобындағы функциялар. Топологияда басталып, бұл идея ХХ ғасырдың екінші жартысындағы математиканың басым әдісіне айналды. Гомологияның бастапқы идеясынан – топологиялық кеңістіктердің алгебралық инварианттарын құру әдісі ретінде – гомология және кохомология теорияларының қолданылу аясы геометрия мен алгебраға тарады. Терминология, көбінесе кохомологияның, қарама-қайшы теорияның гомологиядан гөрі көптеген қолдануларда табиғи екенін жасыруға бейім. Негізгі деңгейде бұл геометриялық жағдайлардағы функциялар мен кері шегінулермен байланысты: егер X және Y кеңістіктері және Y-де F функциясы берілген болса, кез келген f: X → Y бейнелеуі үшін f-пен құрастыру X кеңістігінде F ∘ f функциясын тудырады. Ең маңызды кохомология теориялары көбейтіндіге ие, осы көбейтінді оларға сақиналық құрылым береді. Осы ерекшелікке байланысты кохомология гомологиядан күшті инвариант болып табылады.

Мысалдар

Келесіде, егер басқаша көрсетілмесе, кохомология Z бүтін сандардағы коэффициенттермен алынады. Нүктенің кохомологиялық сақинасы – 0 дәрежедегі Z сақинасы. Гомотопиялық инварианттылық бойынша, бұл кез келген созылатын кеңістіктің кохомологиялық сақинасы, мысалы, Евклид кеңістігі Rn. Оң n бүтін саны үшін сфераның кохомология сақинасы Z[x]/(x²) (берілген идеал бойынша полиномиялық сақинаның үлестік сақинасы), x – n дәрежеде. Poincaré дуалдылығы бойынша жоғарыда көрсетілгендей, x – сферадағы нүктенің класы. Торус кохомология сақинасы – 1 дәрежедегі n генератордағы Z-ге сыртқы алгебра. Мысалы, P шеңбердегі нүктені, ал Q – 2 өлшемді тордағы нүкте (P,P) деп белгілейік. Содан кейін (S¹)² кохомологиясы форманың еркін Z модулі ретінде негізге ие болады: 0 дәрежедегі 1 элементі, x := [P × S¹] және y := [S¹ × P] 1 дәрежеде, және xy = [Q] 2 дәрежеде. (Бұл жерде торус пен екі шеңбердің бағыттары белгіленген.) Градуалды коммутативтілік бойынша yx = −xy = −[Q]. Жалпы алғанда, R коммутативті сақина болсын, ал X және Y кез келген топологиялық кеңістік болсын, H*(X,R) әр дәрежеде шекті түрде құрылған еркін R модулі. (Y туралы болжам қажет емес.) Содан кейін Кюннет формуласы өнім кеңістігінің кохомология сақинасы X × Y R алгебрасының тензорлық көбейтіндісі екенін береді: Z/2 коэффициенттері бар нақты проективті кеңістіктің RPⁿ кохомология сақинасы Z/2[x]/(xⁿ⁺¹), x – 1 дәрежеде. Мұнда x – RPⁿ-дағы RPⁿ⁻¹ гипержазығының класы; бұл RPⱼ j үшін тіпті оңға бағдарланбағанмен де түсінікті, өйткені Z/2 коэффициенттері бар Пуанкаре дуалдығы кездейсоқ көптүрліліктер үшін жұмыс істейді. Бүтін сандық коэффициенттермен жауап сәл күрделірек. RP²ᵃ-ның Z кохомологиясында y элементі бар, яғни бүкіл кохомология – Z-нің 1-ші элементпен 0-шы дәрежеде таралған көшірмесінің тікелей қосындысы, сонымен қатар Z/2 көшірмесі yi элементтерімен i=1, …, a-да таралған. RP²ᵃ⁺¹ Z кохомологиясы 2a+1 дәрежелі Z қосымша көшірмесімен бірдей. CPⁿ күрделі проективті кеңістіктің кохомология сақинасы Z[x]/(xⁿ⁺¹), x – 2 дәрежелі. Мұнда x – CPⁿ-дегі CPⁿ⁻¹ гипержазығының класы. Жалпы алғанда, xⱼ – CPⁿ-дегі CPⁿ⁻ⱼ сызықтық кіші кеңістігінің класы. G ≥ 0 туысының жабық бағдарланған X бетінің кохомология сақинасы форманың еркін Z модулі ретінде негізге ие: 0-шы дәрежедегі 1 элементі, 1-ші дәрежедегі A₁, …, Aₒ және B₁, …, Bₒ 1-ші дәрежеде, және 2-ші дәрежедегі нүктенің P класы. Көбейту мына формуламен беріледі: AᵢAⱼ = BᵢBⱼ = 0 барлық i және j үшін, AᵢBⱼ = 0 егер i ≠ j болса, ал AᵢBᵢ = P барлық i үшін. Градуалды коммутативтілік бойынша 1 = BᵢAᵢ = −P. Кез келген топологиялық кеңістікте кохомология сақинасының сыныпталған коммутативтілігі барлық x-тің біркелкі дәрежедегі кохомология кластары үшін 2x² = 0 дегенді білдіреді. Бұдан 1/2-ні қамтитын R сақинасы үшін H*(X,R) барлық тақ дәрежелі элементтерінің шаршы нөлге ие екендігі көрінеді. Екінші жағынан, егер R Z/2 немесе Z болса, онда біркелкі дәрежелі элементтердің квадраты нөл болуы қажет емес, бұл RP² (Z/2 коэффициенттерімен) немесе RP⁴ × RP² (Z коэффициенттерімен) мысалында көрінеді.

In what follows, cohomology is taken with coefficients in the integers Z, unless stated otherwise. The cohomology ring of a point is the ring Z in degree 0. By homotopy invariance, this is also the cohomology ring of any contractible space, such as Euclidean space Rn. For a positive integer n, the cohomology ring of the sphere is Z[x]/(x2) (the quotient ring of a polynomial ring by the given ideal), with x in degree n. In terms of Poincaré duality as above, x is the class of a point on the sphere. The cohomology ring of the torus is the exterior algebra over Z on n generators in degree 1. For example, let P denote a point in the circle , and Q the point (P,P) in the 2 dimensional torus Then the cohomology of (S1)2 has a basis as a free Z module of the form: the element 1 in degree 0, x := [P × S1] and y := [S1 × P] in degree 1, and xy = [Q] in degree 2. (Implicitly, orientations of the torus and of the two circles have been fixed here.) Note that yx = −xy = −[Q], by graded commutativity. More generally, let R be a commutative ring, and let X and Y be any topological spaces such that H*(X,R) is a finitely generated free R module in each degree. (No assumption is needed on Y.) Then the Künneth formula gives that the cohomology ring of the product space X × Y is a tensor product of R algebras:
The cohomology ring of real projective space RPn with Z/2 coefficients is Z/2[x]/(xn+1), with x in degree 1. Here x is the class of a hyperplane RPn−1 in RPn; this makes sense even though RPj is not orientable for j even and positive, because Poincaré duality with Z/2 coefficients works for arbitrary manifolds. With integer coefficients, the answer is a bit more complicated. The Z cohomology of RP2a has an element y of degree 2 such that the whole cohomology is the direct sum of a copy of Z spanned by the element 1 in degree 0 together with copies of Z/2 spanned by the elements yi for i=1, ,a. The Z cohomology of RP2a+1 is the same together with an extra copy of Z in degree 2a+1. The cohomology ring of complex projective space CPn is Z[x]/(xn+1), with x in degree 2. Here x is the class of a hyperplane CPn−1 in CPn. More generally, xj is the class of a linear subspace CPn−j in CPn. The cohomology ring of the closed oriented surface X of genus g ≥ 0 has a basis as a free Z module of the form: the element 1 in degree 0, A1, ,Ag and B1, ,Bg in degree 1, and the class P of a point in degree 2. The product is given by: AiAj = BiBj = 0 for all i and j, AiBj = 0 if i ≠ j, and AiBi = P for all i. By graded commutativity, it follows that 1=BiAi = −P. On any topological space, graded commutativity of the cohomology ring implies that 2x2 = 0 for all odd degree cohomology classes x. It follows that for a ring R containing 1/2, all odd degree elements of H*(X,R) have square zero. On the other hand, odd degree elements need not have square zero if R is Z/2 or Z, as one sees in the example of RP2 (with Z/2 coefficients) or RP4 × RP2 (with Z coefficients).

Диагональ

Кохомологиядағы тостаған көбейтіндісі Δ: X → X × X, x ↦ (x,x) диагональ картасынан туындайды деп қарастыруға болады. Яғни, кез келген X және Y кеңістіктері үшін, егер u ∈ Hi(X,R) және v ∈ Hj(Y,R) кохомология кластары болса, онда u × v ∈ Hi+j(X × Y,R) сыртқы өнім (немесе кросс-продукт) кохомология класы бар. u ∈ Hi(X,R) және v ∈ Hj(X,R) кластарының тостаған көбейтіндісі диагональ арқылы сыртқы өнімнің кері тартуы ретінде анықталуы мүмкін:

Басқаша айтқанда, сыртқы өнімді тостаған көбейтіндісі арқылы анықтауға болады. X және Y кеңістіктері үшін f: X × Y → X және g: X × Y → Y екі проекциясын жазыңыз. Онда u ∈ Hi(X,R) және v ∈ Hj(Y,R) кластарының сыртқы көбейтіндісі:

Понкаре дуалдығы

Пуанекаре дуалдығының тағы бір түсіндірмесі - жабық бағдарланған көптіктің кохомология сақинасы күшті мағынада өзіне-өзі дуалды болып табылады. Атап айтқанда, X – n өлшемді, тұйық, байланысты бағдарланған көптік болсын, ал F – өріс болсын. Онда Hn(X,F) F-ке изоморфты, және көбейтінді кез келген i бүтін саны үшін толық жұптасу құрайды. Соның салдарынан, Hi(X,F) және Hn−i(X,F) векторлық кеңістіктерінің өлшемдері бірдей (шекті). Сол сияқты, Hn(X,Z) ≅ Z мәндерімен интегралды кохомологияның модульді бұрылыс бойынша көбейтіндісі Z бойынша толық жұптасу болып табылады.

Қасиетті кластар

Топологиялық кеңістік X үстіндегі r дәрежелі E бағытталған нақты векторлық бундель X-те кохомология класын анықтайды, Эйлер класы χ(E) ∈ Hr(X,Z). Шартты түрде, Эйлер класы – E бунделинің жалпы қимасының нөлдік жиынының класы. Бұл түсіндірме E бундели X-тің тегіс векторлық бундели болғанда нақтырақ болады, себебі онда E-нің жалпы тегіс қимасы X-тің r кодименсиялық ішкі кеңістігінде нөлге тең болады. Кохомологияда мәндері бар векторлық бундельдер үшін Черн кластары, Стифель-Уитни кластары және Понтрягин кластары сияқты бірнеше басқа да сипаттамалық кластар бар.

Айленберг пен Маклейн аралықтары

Әр Абель тобы А және j табиғи саны үшін, j-ші гомотопиялық тобы А-ға изоморфты және басқа гомотопиялық топтары нөл болатын кеңістік бар. Мұндай кеңістік Эйленберг-Маклейн кеңістігі деп аталады. Бұл кеңістік кохомологияны жіктеу кеңістігі болып табылады: элементінің табиғи элементі бар, және кез келген X кеңістігіндегі j дәрежелі кез келген кохомология класы, қандай да бір үздіксіз бейнелеу арқылы u-нің кері бейнесі болып табылады. Мұнда – X-тен Y-ға үздіксіз бейнелеулердің гомотопиялық кластарының жиыны. Мысалы, кеңістік (гомотопиялық эквиваленттілікке дейін анықталады) шеңбер ретінде қарастырылуы мүмкін. Осылайша, жоғарыдағы сипаттамаға сәйкес, элементінің әрқайсысы u класынан қандай да бір бейнелеу арқылы кері бейнеленеді. Кез келген Абель тобындағы коэффициенттері бар бірінші кохомологияның осыған байланысты сипаттамасы бар, мысалы, CW кешені X үшін. Атап айтқанда, X-тің A тобымен кеңістікті жабатын Галуа кеңістіктерінің изоморфизм кластары жиынымен бір-бірге сәйкес келеді, бұл X-тің үстіндегі негізгі A бундельдері деп те аталады. X байланысқан болса, онда X-тің негізгі тобы болатын -ге изоморфты. Мысалы, X-тің екі көшірмесінің біріккен жиынына сәйкес келетін тривиальды екі еселенген жабын, X-тің екі жапқыш кеңістіктерін жіктейді.

Бірегей кохомологияның қысқаша тарихы

Кохомология қазіргі алгебралық топологияның негізі болса да, оның маңыздылығы гомология дамығаннан кейін шамамен 40 жыл бойына байқалмады. Генри Пуанкаре өзінің Пуанкаренің дуалдық теоремасын дәлелдеуде қолданған қос жасушалық құрылым тұжырымы кохомология идеясының бастауын қамтыды, бірақ бұл кейінірек ғана анық болды. Кохомологияның әртүрлі алғышарттары болды. 1920-ші жылдардың ортасында Дж. У. Александр және Соломон Лефшец көптегі циклдердің қиылысу теориясын қалыптастырды. Жабық бағытталған n өлшемді көптегіш M-де, егер жалпы жағдайда болса, i цикл және j циклдің бос емес қиылысы (i + j − n) циклге тең болады. Бұл гомология кластарының көбейтуіне алып келеді, ол (кейінірек қарағанда) M кохомологиясындағы тостаған көбейтіндісімен сәйкестендіріледі. 1930 жылы Александр i коцейн ұғымын, X кеңістігіндегі Xi+1 диагоналінің кіші аудандарындағы функция ретінде қарастыра отырып, анықтады. 1931 жылы Жорж де Рам гомология мен дифференциалдық формаларды байланыстырып, де Рам теоремасын дәлелдеді. Бұл нәтижені кохомология тұрғысынан қарапайымдау түрінде беруге болады. 1934 жылы Лев Понтрягин Понтрягиннің дуалдық теоремасын дәлелдеді; бұл топологиялық топтарға қатысты нәтиже. Бұл (көбінесе ерекше жағдайларда) Пуанкаре және Александр дуалдықтарын топтық сипаттамалар арқылы түсіндіруге мүмкіндік берді. 1935 жылы Мәскеуде өткен конференцияда Андрей Колмогоров және Александр кохомологияны таныстырып, кохомологиялық көбейту құрылымын жасауға тырысты. 1936 жылы Норман Стинрод Чех гомологиясын дуализациялау арқылы құрды. 1936-1938 жылдары Хасслер Уитни және Эдуард Чех тостаған көбейтіндісін (кохомологияны сатылаған сақинаға айналдырады) және қақпақ көбейтіндісін жасады, сондай-ақ Пуанкаре дуалдығын қақпақ көбейтіндісі арқылы тұжырымдауға болатынын түсінді. Олардың теориясы әлі де шекті жасушалық кешендермен шектелген. 1944 жылы Сэмюэл Эйленберг техникалық шектеулерді жеңіп, сингулярлы гомология мен кохомологияның қазіргі заманғы анықтамасын берді. 1945 жылы Эйленберг және Стинрод гомология немесе кохомология теориясын анықтайтын аксиомаларды жариялады. 1952 жылы жарық көрген «Алгебралық топологияның негіздері» атты кітабында олар қолданыстағы гомология және кохомология теорияларының осы аксиомаларды қанағаттандыратынын дәлелдеді. 1946 жылы Жан Лерай буынды кохомологияны анықтады. 1948 жылы Эдвин Спаньер Александр және Колмогоровтың жұмыстарын негізге ала отырып, Александр-Спаньер кохомологиясын жасады.

Although cohomology is fundamental to modern algebraic topology, its importance was not seen for some 40 years after the development of homology. The concept of dual cell structure, which Henri Poincaré used in his proof of his Poincaré duality theorem, contained the beginning of the idea of cohomology, but this was not seen until later. There were various precursors to cohomology. In the mid 1920s, J. W. Alexander and Solomon Lefschetz founded intersection theory of cycles on manifolds. On a closed oriented n dimensional manifold M an i cycle and a j cycle with nonempty intersection will, if in the general position, have as their intersection a (i + j − n) cycle. This leads to a multiplication of homology classes

which (in retrospect) can be identified with the cup product on the cohomology of M.

Alexander had by 1930 defined a first notion of a cochain, by thinking of an i cochain on a space X as a function on small neighborhoods of the diagonal in Xi+1. In 1931, Georges de Rham related homology and differential forms, proving de Rham's theorem. This result can be stated more simply in terms of cohomology. In 1934, Lev Pontryagin proved the Pontryagin duality theorem; a result on topological groups. This (in rather special cases) provided an interpretation of Poincaré duality and Alexander duality in terms of group characters. At a 1935 conference in Moscow, Andrey Kolmogorov and Alexander both introduced cohomology and tried to construct a cohomology product structure. In 1936, Norman Steenrod constructed Čech cohomology by dualizing Čech homology. From 1936 to 1938, Hassler Whitney and Eduard Čech developed the cup product (making cohomology into a graded ring) and cap product, and realized that Poincaré duality can be stated in terms of the cap product. Their theory was still limited to finite cell complexes. In 1944, Samuel Eilenberg overcame the technical limitations, and gave the modern definition of singular homology and cohomology. In 1945, Eilenberg and Steenrod stated the axioms defining a homology or cohomology theory, discussed below. In their 1952 book, Foundations of Algebraic Topology, they proved that the existing homology and cohomology theories did indeed satisfy their axioms. In 1946, Jean Leray defined sheaf cohomology. In 1948 Edwin Spanier, building on work of Alexander and Kolmogorov, developed Alexander–Spanier cohomology.

Қалпақ кохомологиясы

Шеф кохомологиясы – сингулярлы кохомологияның бай жалпыламасы, ол тек абельдік топтар ғана емес, жалпы «коэффициенттерге» мүмкіндік береді. Топологиялық кеңістікте X-тегі E абельдік топтар жинағының әрбір шешімі үшін i бүтін сандары үшін Hi(X, E) кохомологиялық топтары бар. Атап айтқанда, егер X-тегі тұрақты шешім Абель тобы A-мен байланысты болса, онда Hi(X, A) топтары X-тің көпқырлылығы немесе CW кешені үшін (бірақ X кездейсоқ кеңістік болған жағдайда емес) сингулярлы кохомологиямен сәйкес келеді. 1950 жылдардан бастап шеф кохомологиясы алгебралық геометрия мен комплекс анализінің маңызды бөлігіне айналды, себебі тұрақты функциялардың немесе голоморфтық функциялардың шешімдерінің маңыздылығы зор болды. Гротендик гомологиялық алгебра тілінде шеф кохомологиясын әдемі түрде анықтады және сипаттады. Басты мәселе – X кеңістігін бекіту және шеф кохомологиясын X-тегі шешімдердің абельдік санатынан абельдік топтарға дейінгі функтор ретінде қарастыру. Бұл функтор X-тегі E шешімін алып, X-тегі оның жаһандық қималарын, яғни E(X) абельдік тобын қамтиды. Бұл функтор сол жақтан нақты, бірақ міндетті түрде оң жақтан нақты емес. Гротендик шеф кохомологиялық топтарын сол жақтан нақты функтордың оң жақтан туындыланған функторы ретінде анықтады: E ↦ E(X). Бұл анықтама түрлі жалпыламаларды ұсынады. Мысалы, кез келген шешімдер кешеніндегі коэффициенттері бар X топологиялық кеңістігінің кохомологиясын анықтауға болады, бұрын гиперкохомология деп аталған (бірақ қазір көбінесе «кохомология» деп аталады). Осы тұрғыдан алғанда, шеф кохомологиясы X-тегі шешімдердің туындыланған санатынан абельдік топтарға дейінгі функторлар тізбегіне айналады. «Кохомология» сөзі кең мағынасында абельдік санаттағы сол жақтан нақты функтордың оң жақтан туындыланған функторлары үшін, ал «гомология» – оң жақтан нақты функтордың сол жақтан туындыланған функторлары үшін қолданылады. Мысалы, R сақинасы үшін Tor топтары ToriR(M, N) әрбір айнымалы үшін «гомологиялық теорияны» құрайды, ол R модульдерінің M ⊗RN тензорлық көбейтіндісінің сол жақтан туындыланған функторы болып табылады. Сол сияқты, Ext топтары ExtiR(M, N) әрбір айнымалы үшін «кохомологиялық теория» ретінде қарастырылуы мүмкін, ол Hom функторы HomR(M, N)-ның оң жақтан туындыланған функторы болып табылады. Шеф кохомологиясы Ext тобының бір түрімен сәйкес келеді. Атап айтқанда, X топологиялық кеңістігіндегі E шешімі үшін Hi(X, E) Exti(ZX, E)-ге изоморфты, мұнда ZX Z бүтін сандарымен байланысты тұрақты шешімді білдіреді, ал Ext X-тегі шешімдердің абельдік санатында алынады.

Sheaf cohomology is a rich generalization of singular cohomology, allowing more general "coefficients" than simply an abelian group. For every sheaf of abelian groups E on a topological space X, one has cohomology groups Hi(X,E) for integers i. In particular, in the case of the constant sheaf on X associated with an abelian group A, the resulting groups Hi(X,A) coincide with singular cohomology for X a manifold or CW complex (though not for arbitrary spaces X). Starting in the 1950s, sheaf cohomology has become a central part of algebraic geometry and complex analysis, partly because of the importance of the sheaf of regular functions or the sheaf of holomorphic functions. Grothendieck elegantly defined and characterized sheaf cohomology in the language of homological algebra. The essential point is to fix the space X and think of sheaf cohomology as a functor from the abelian category of sheaves on X to abelian groups. Start with the functor taking a sheaf E on X to its abelian group of global sections over X, E(X). This functor is left exact, but not necessarily right exact. Grothendieck defined sheaf cohomology groups to be the right derived functors of the left exact functor E ↦ E(X). That definition suggests various generalizations. For example, one can define the cohomology of a topological space X with coefficients in any complex of sheaves, earlier called hypercohomology (but usually now just "cohomology"). From that point of view, sheaf cohomology becomes a sequence of functors from the derived category of sheaves on X to abelian groups. In a broad sense of the word, "cohomology" is often used for the right derived functors of a left exact functor on an abelian category, while "homology" is used for the left derived functors of a right exact functor. For example, for a ring R, the Tor groups ToriR(M,N) form a "homology theory" in each variable, the left derived functors of the tensor product M⊗RN of R modules. Likewise, the Ext groups ExtiR(M,N) can be viewed as a "cohomology theory" in each variable, the right derived functors of the Hom functor HomR(M,N). Sheaf cohomology can be identified with a type of Ext group. Namely, for a sheaf E on a topological space X, Hi(X,E) is isomorphic to Exti(ZX, E), where ZX denotes the constant sheaf associated with the integers Z, and Ext is taken in the abelian category of sheaves on X.