Кіріспе
Алгебрадағы құрылыс
Математикада Хопф алгебрасы – Хайнц Хопфтың есімімен аталатын, бір мезгілде (бірлік ассоциативті) алгебра және (қоғамдық коассоциативті) коалгебра болып табылатын құрылым. Бұл құрылымдардың үйлесімділігі оны биалгебраға айналдырады, және одан әрі, белгілі бір қасиетті қанағаттандыратын антигомоморфизммен жабдықталған. Хопф алгебрасының өкілдік теориясы ерекше жақсы, себебі үйлесімді комультипликация, коунит және антиподтың болуы өкілдіктердің тензорлық көбейтінділерін, тривиалды өкілдіктерді және дуалды өкілдіктерді құруға мүмкіндік береді. Хопф алгебралары алгебралық топологияда, олардың пайда болған жері және H-кеңістік тұжырымымен байланысты, топтық схемалар теориясында, топтар теориясында (топтық сақина тұжырымы арқылы) және көптеген басқа да салаларда табиғи түрде кездеседі, оларды биалгебраның ең танымал түрі етеді. Хопф алгебралары өздігінен де зерттеледі, бір жағынан нақты мысалдар кластары бойынша көп жұмыс жасалады, екінші жағынан жіктеу мәселелері қарастырылады. Олардың конденсирленген зат физикасы мен кванттық өріс теориясынан бастап, ішек теориясы мен LHC феноменологиясына дейін алуан түрлі қолданыс салалары бар.
Антиподтың қасиеттері
S антиподы кейде K сызықтық керісіне ие болуы керек, ол шекті өлшемді жағдайда автоматты түрде болады, немесе егер H коммутативті немесе кокоммутативті (немесе жалпы алғанда квази-үшбұрышты) болса. Жалпы, S антигомоморфизм, сондықтан S² гомоморфизм болады, ал S кері айналдырылатын болса, ол автоморфизм (қажет болған жағдайда). Егер S² = idH болса, онда Хопф алгебрасы инволютивті деп аталады (және инволюциямен негізгі алгебра *алгебра болып табылады). Егер H нөлдік сипаттағы өріс үстіндегі шекті өлшемді жартылай қарапайым, коммутативті немесе кокоммутативті болса, онда ол инволютивті болады. Егер B биалгебрасы S антиподын қабылдаса, онда S бірегей болады ("биалгебра ең көп дегенде бір Хопф алгебралық құрылымға ие"). Осылайша, антипод біз таңдауға болатын қосымша құрылымды құрамайды: Хопф алгебрасы болу – биалгебраның қасиеті. Антипод – топтағы инверсиялық бейнелеуге ұқсас, ол g элементін g⁻¹ элементіне жібереді.
Хопф субгебралары
Хопф алгебрасының А субальгебрасы, егер ол H-дің субкоальгебрасы болса және антипода S, А-ны А-ға бейнелейтін болса, Хопф субальгебрасы болып табылады. Басқаша айтқанда, Хопф субальгебрасы А – бұл өзінің дербес Хопф алгебрасы, егер H-ның көбейтуі, комультипликациясы, коунит және антиподы А-ға шектелсе (сондай-ақ H-ның бірлік элементі 1 де А-да болуы керек). Уоррен Николс пен Беттина Зоеллердің (1989) Никольс-Зоеллер еркіндік теоремасы, егер H шекті өлшемді болса, табиғи А модулі H шекті рангта еркін модуль екенін дәлелдеді: бұл топтардың кіші топтары үшін Лагранж теоремасының жалғасы. Осы және интегралдық теорияның салдары ретінде, жартылай жай шекті өлшемді Хопф алгебрасының Хопф субальгебрасы автоматты түрде жартылай жай болады. Хопф алгебрасының А субальгебрасы, егер ол тұрақтылық шартын қанағаттандырса, яғни H-дегі барлық h үшін adr(h)(A) ⊆ A болса, оң жақты нормальды деп аталады, мұнда оң жақты ілеспелік (right adjoint mapping) adr, A-дағы барлық a және H-дегі барлық h үшін adr(h)(a) = S(h(1))ah(2) арқылы анықталады. Сол сияқты, Хопф субальгебрасы А, егер ол сол жақты ілеспелік (left adjoint mapping) бойынша тұрақты болса, яғни adl(h)(a) = h(1)aS(h(2)) арқылы анықталса, H-де сол жақты нормальды болады. Егер антипода S биективті болса, екі нормальдық шарт эквивалентті, және бұл жағдайда А нормальды Хопф субальгебрасы деп аталады. H-дегі нормальды Хопф субальгебрасы А (H-дің ішкі жиынтықтарының теңдігі) шартын қанағаттандырады: HA+ = A+H, мұнда A+ коуниттің А-дағы ядросын білдіреді. Бұл нормальдық шарт HA+ H-дің Хопф идеалы екенін білдіреді (яғни, коунит ядросындағы алгебралық идеал, коальгебра коидеалы және антипода бойынша тұрақты). Салдары ретінде, H/HA+ Хопф алгебрасы және H → H/A+H эпиморфизмі бар, бұл теория топтар теориясындағы нормальды кіші топтар мен фактор-топтарға ұқсас.
Хопфтың бұйрықтары
R интегралды домені және K бөлшектер өрісі бар Хопф реті O – K өрісіндегі H Хопф алгебрасындағы алгебралық және коалгебралық операциялар бойынша жабық рет. Атап айтқанда, Δ комультипликациясы O-ны O ⊗ O-ға бейнелейді.
Топқа ұқсас элементтер
Топ тәрізді элемент – нөлдік емес, Δ(x) = x⊗x шартын орындайтын x элементі. Топ тәрізді элементтер антипод арқылы берілетін кері элементі бар топты құрайды. Бастапқы элемент x, Δ(x) = x⊗1 + 1⊗x шартын қанағаттандырады.
Мысалдар
Көптүрлендіруге байланысты Коунит Антипод Коммутативті Кокоммутативті Ескертулер топтық алгебра KG тобы G Δ(g) = g ⊗ g барлық g үшін G ε(g) = 1 барлық g үшін G S(g) = g−1 барлық g үшін G егер және тек егер G абельдік болса, иә, KG (нүктелік қосу және көбейтумен) шекті топтан f, KG (нүктелік қосу және көбейтумен) шекті топ G Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) иә, егер және тек егер G абельдік болса. Керісінше, әрбір коммутативті төмендетілген Хопф алгебрасы C үстіндегі соңғы Haar интегралымен осылай туындайды, бұл Таннака–Крейн дуализмінің бір формулировкасын береді. Алгебралық топтағы тұрақты функциялар Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) иә, егер және тек егер G абельдік болса. Керісінше, бір өрістегі әрбір коммутативті Хопф алгебрасы осылай топтық схемадан туындайды, бұл санаттардың антиэквиваленттігін береді. Тензорлық алгебра T(V) векторлық кеңістік V Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x ∈ V, Δ(1) = 1 ⊗ 1 ε(x) = 0 S(x) = −x барлық x ∈ 'T1(V) үшін (және жоғары тензорлық дәрежелерге дейін кеңейтіледі) Егер және тек егер dim(V)=0,1 иә симметриялық алгебра және сыртқы алгебра (бұл тензорлық алгебраның факторлары) сонымен қатар осы көбейту, бірлік және антипод анықтамасымен Хопф алгебралары болып табылады. Универсалды орау алгебрасы U(g) Ли алгебрасы g Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x әр x ∈ g үшін (бұл ереже коммутаторлармен үйлесімді және сондықтан U-дың барлығына бірегей түрде кеңейтіледі) ε(x) = 0 барлық x ∈ g үшін (қайтадан, U-ға кеңейтілген) S(x) = −x егер және тек егер g абельдік болса, иә. Сведлердің Хопф алгебрасы H=K[c, x]/(c2 = 1, x2 = 0 және xc = −cx). K - 2-ден өзгеше сипаттамасы бар өріс Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 ε(c) = 1 және ε(x) = 0 S(c) = c−1 = c және S(x) = −cx жоқ жоқ Негізгі векторлық кеңістік {1, c, x, cx} арқылы құрылады, сондықтан оның өлшемі 4. Бұл коммутативті емес және кокоммутативті емес Хопф алгебрасының ең кішкентай мысалы. симметриялық функциялар сақинасы толық біртекті симметриялық функциялар hk (k ≥ 1) тұрғысынан: Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1. ε(hk) = 0 S(hk) = (−1)k ek иә иә Ескеріңіз, шекті топтағы функциялар топтық сақинамен сәйкестендірілуі мүмкін, бірақ олар екілік ретінде қарастырылуы мүмкін – топтық сақина элементтердің шекті сомаларынан тұрады және осылайша топтағы функциялармен қосылған элементтердегі функцияны бағалау арқылы жұптасады.
Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1. ε(hk) = 0 S(hk) = (−1)k ek yes yes
Note that functions on a finite group can be identified with the group ring, though these are more naturally thought of as dual – the group ring consists of finite sums of elements, and thus pairs with functions on the group by evaluating the function on the summed elements.
Кванттық топтар және коммутативті емес геометрия
Жоғарыдағы мысалдардың көпшілігі коммутативті (яғни көбейту коммутативті) немесе кокоммутативті (яғни Δ = T ∘ Δ, мұндағы бұрылыс картасы T: H ⊗ H → H ⊗ H, T(x ⊗ y) = y ⊗ x арқылы анықталады). Басқа да қызықты Хопф алгебралары 3-ші мысалдан алынғандардың белгілі бір "деформациялары" немесе "квантизациялары" болып табылады, олар коммутативті де, кокоммутативті де емес. Бұл Хопф алгебраларын көбінесе кванттық топтар деп атайды, бұл термин әзірге тек шала анықталған. Олар коммутативті емес геометрияда маңызды, себебі стандартты алгебралық топ өзінің реттелген функцияларының стандартты Хопф алгебрасымен жақсы сипатталады; демек, осы Хопф алгебрасының деформацияланған түрін белгілі бір "стандартты емес" немесе "квантталған" алгебралық топты сипаттау ретінде қарастыруға болады (бірақ ол алгебралық топ емес). Бұл стандартты емес объектілерді тікелей анықтау немесе манипуляциялау мүмкін болмаса да, олардың Хопф алгебраларымен жұмыс істеуге болады, және олар осы Хопф алгебраларымен сәйкестендіріледі. Сондықтан оларды "кванттық топтар" деп атайды.
Өкілдік теориясы
A Хопф алгебрасы болсын, ал M және N A модульдері болсын. Содан кейін, M ⊗ N да A модулі болып табылады, m ∈ M, n ∈ N және Δ(a) = (a₁, a₂) үшін. Бұдан әрі, тривиалды өкілдікті K базалық өрісі ретінде m ∈ K үшін анықтауға болады. Соңында, A-ның дуалды өкілдігін анықтауға болады: егер M – A модулі және M* – оның дуалды кеңістігі болса, онда f ∈ M* және m ∈ M үшін:
for m ∈ M, n ∈ N and Δ(a) = (a1, a2). Furthermore, we can define the trivial representation as the base field K with
for m ∈ K. Finally, the dual representation of A can be defined: if M is an A module and M* is its dual space, then
where f ∈ M* and m ∈ M.
The relationship between Δ, ε, and S ensure that certain natural homomorphisms of vector spaces are indeed homomorphisms of A modules. For instance, the natural isomorphisms of vector spaces M → M ⊗ K and M → K ⊗ M are also isomorphisms of A modules. Also, the map of vector spaces M* ⊗ M → K with f ⊗ m → f(m) is also a homomorphism of A modules. However, the map M ⊗ M* → K is not necessarily a homomorphism of A modules.
Δ, ε және S арасындағы байланыс векторлық кеңістіктердің белгілі бір табиғи гомоморфизмдерінің A модульдерінің гомоморфизмдері екенін қамтамасыз етеді. Мысалы, M → M ⊗ K және M → K ⊗ M векторлық кеңістіктердің табиғи изоморфизмдері A модульдерінің изоморфизмдері болып табылады. Сондай-ақ, M* ⊗ M → K векторлық кеңістіктердің f ⊗ m → f(m) бейнесі де A модульдерінің гомоморфизмі болып табылады. Дегенмен, M ⊗ M* → K бейнесі міндетті түрде A модульдерінің гомоморфизмі емес.
for m ∈ M, n ∈ N and Δ(a) = (a1, a2). Furthermore, we can define the trivial representation as the base field K with
for m ∈ K. Finally, the dual representation of A can be defined: if M is an A module and M* is its dual space, then
where f ∈ M* and m ∈ M.
The relationship between Δ, ε, and S ensure that certain natural homomorphisms of vector spaces are indeed homomorphisms of A modules. For instance, the natural isomorphisms of vector spaces M → M ⊗ K and M → K ⊗ M are also isomorphisms of A modules. Also, the map of vector spaces M* ⊗ M → K with f ⊗ m → f(m) is also a homomorphism of A modules. However, the map M ⊗ M* → K is not necessarily a homomorphism of A modules.
Қарым-қатынас ұғымдары
Градирленген Хопф алгебралары алгебралық топологияда жиі қолданылады: олар H-кеңістігінің барлық гомологиялық немесе когомологиялық топтарының тікелей қосындысындағы табиғи алгебралық құрылым болып табылады. Жергілікті ықшам кванттық топтар Хопф алгебраларын кеңейтеді және топологиялық қасиеттерге ие. Ли тобындағы барлық үздіксіз функциялар алгебрасы – жергілікті ықшам кванттық топ. Квази-Хопф алгебралары – Хопф алгебраларының жалпылама түрі, онда коассоциативтілік тек бұрылысқа дейін ғана орындалады. Олар Книжник-Замолодчиков теңдеулерін зерттеуде қолданылған. 1994 жылы Альфонс Ван Дейль енгізген көбейтуші Хопф алгебралары – Хопф алгебраларының жалпылама түрі, онда алгебрадан (бірлікпен немесе онсыз) алгебраның өзінің тензорлық көбейтінді алгебрасының көбейтуші алгебрасына көшу жүзеге асырылады. 2000 жылы В.Г. Тураев енгізген Хопф тобы (коалгебралар) да Хопф алгебраларының жалпылама түрі болып табылады.