Гомологиялық алгебрада тізбекті кешендер

Кіріспе

Гомологиялық алгебрадағы құрал. Математикада тізбекті кешен – абельдік топтардың (немесе модульдердің) тізбегі және тізбектес топтар арасындағы гомоморфизмдер тізбегінен тұратын алгебралық құрылым. Мұнда әрбір гомоморфизмнің бейнесі келесі гомоморфизмнің ядросына кіреді. Тізбекті кешенмен байланысты оның гомологиясы бар, ол бейнелердің ядроларға қалай енгізілгенін сипаттайды. Кокешен тізбекті кешенге ұқсас, бірақ оның гомоморфизмдері кері бағытта болады. Кокешеннің гомологиясы кохомология деп аталады. Алгебралық топологияда X топологиялық кеңістігінің жеке тізбекті кешені симплекстен X-ке дейінгі үздіксіз бейнелеулерді пайдалана отырып құрастырылады, ал тізбекті кешеннің гомоморфизмдері осы бейнелеулердің симплекстің шекарасына қалай шектелетінін көрсетеді. Бұл тізбекті кешеннің гомологиясы X-тің жеке гомологиясы деп аталады және топологиялық кеңістіктің кеңінен қолданылатын инварианты болып табылады. Тізбекті кешендер гомологиялық алгебрада зерттеледі, бірақ математиканың көптеген салаларында қолданылады, оның ішінде абстрактілі алгебра, Галуа теориясы, дифференциалдық геометрия және алгебралық геометрия. Олар Абельдік санаттарда жалпы жағдайда анықталуы мүмкін.

Анықтамалар

Тізбекті кешен — абельдік топтар немесе модульдер тізбегі, A0, A1, A2, A3, A4, гомоморфизмдермен (шекаралық операторлар немесе дифференциалдар деп аталады) dn: An → An−1, мұнда кез келген екі тізбекті картаның композициясы нөлдік карта болып табылады. Дифференциалдар 1=dn ∘ dn+1 = 0 шартын қанағаттандырады, немесе индекстерді ықшамдағанда 1=d2 = 0. Кешенді келесідей жазуға болады. Коцейн кешен — тізбекті кешеннің дуал ұғымы. Ол абельдік топтар немесе модульдер тізбегінен тұрады, A0, A1, A2, A3, A4, dn: An → An+1 гомоморфизмдерімен байланысты, 1=dn+1 ∘ dn = 0 шартын қанағаттандырады. Коцейн кешенін тізбекті кешенге ұқсас түрде жазуға болады. An немесе An-дағы n индексі дәрежесі (немесе өлшем) деп аталады. Тізбекті және коцейн кешендердің арасындағы айырмашылық — тізбекті кешендерде дифференциалдар өлшемді азайтады, ал коцейн кешендерде олар өлшемді арттырады. Тізбекті кешендерге қатысты барлық түсініктер мен анықтамалар коцейн кешендерге де қолданылады, бірақ олар өлшем бойынша осы басқа конвенцияны ұстанады және көбінесе терминдерге «co» префиксі қосылады. Бұл мақалада ерекшелік қажет болмаған жағдайда тізбекті кешендер туралы анықтамалар беріледі. Шектелген тізбекті кешен — бұл An-ның көп бөлігі 0-ге тең; яғни, солға және оңға 0-ге дейін кеңейтілген шекті кешен. Мысал ретінде, шекті симплициалдық кешеннің симплициалдық гомологиясын анықтайтын тізбекті кешенді келтіруге болады. Тізбекті кешен белгілі бір N дәрежесінен жоғары барлық модульдер 0 болса жоғарыдан шектелген, ал белгілі бір дәрежеден төмендегі барлық модульдер 0 болса төменнен шектелген. Әрине, кешен жоғарыдан да, төменнен де шектелген, егер және тек қана егер кешен шектелген болса. (Ко)тізбекті кешеннің жеке топтарының элементтері (ко)тізбектер деп аталады. d ядросындағы элементтер (ко)циклдер (немесе жабық элементтер) деп аталады, ал d бейнесіндегі элементтер (ко)шекаралар (немесе дәл элементтер) деп аталады. Дифференциалдың анықтамасы бойынша барлық шекаралар цикл болып табылады. n-ші (ко)гомология тобы Hn (Hn) — n дәрежелі (ко)циклдерді (ко)шекараларға қатысты топ, яғни,

A chain complex is a sequence of abelian groups or modules , A0, A1, A2, A3, A4, connected by homomorphisms (called boundary operators or differentials) dn : An → An−1, such that the composition of any two consecutive maps is the zero map. Explicitly, the differentials satisfy 1=dn ∘ dn+1 = 0, or with indices suppressed, 1=d2 = 0. The complex may be written out as follows. The cochain complex is the dual notion to a chain complex. It consists of a sequence of abelian groups or modules , A0, A1, A2, A3, A4, connected by homomorphisms dn : An → An+1 satisfying 1=dn+1 ∘ dn = 0. The cochain complex may be written out in a similar fashion to the chain complex. The index n in either An or An is referred to as the degree (or dimension). The difference between chain and cochain complexes is that, in chain complexes, the differentials decrease dimension, whereas in cochain complexes they increase dimension. All the concepts and definitions for chain complexes apply to cochain complexes, except that they will follow this different convention for dimension, and often terms will be given the prefix co In this article, definitions will be given for chain complexes when the distinction is not required. A bounded chain complex is one in which almost all the An are 0; that is, a finite complex extended to the left and right by 0. An example is the chain complex defining the simplicial homology of a finite simplicial complex. A chain complex is bounded above if all modules above some fixed degree N are 0, and is bounded below if all modules below some fixed degree are 0. Clearly, a complex is bounded both above and below if and only if the complex is bounded. The elements of the individual groups of a (co)chain complex are called (co)chains. The elements in the kernel of d are called (co)cycles (or closed elements), and the elements in the image of d are called (co)boundaries (or exact elements). Right from the definition of the differential, all boundaries are cycles. The n th (co)homology group Hn (Hn) is the group of (co)cycles modulo (co)boundaries in degree n, that is,

Дәл реті

Дәл тізбек (немесе дәл кешен) – гомологиялық топтарының бәрі нөлге тең болатын тізбек кешені. Бұл кешендегі барлық жабық элементтер дәл екенін білдіреді. Қысқа дәл тізбек – тек Ak, Ak+1, Ak+2 топтары ғана нөлден өзгеше болуы мүмкін шектелген дәл тізбек. Мысалы, төмендегі тізбек кешені қысқа дәл тізбек болып табылады. Орталық топтағы жабық элементтер – pZ элементтері; бұл осы топтағы дәл элементтер.

Желі карталары

Екі тізбекті кешендер арасындағы тізбек картасы f – әр n үшін гомоморфизмдер тізбегі болып табылады, ол екі тізбекті кешендердегі шекара операторларымен үйлеседі, яғни. Бұл келесі коммутативті диаграммада көрсетілген. Тізбек картасы циклдарды циклдарға, ал шекараларды шекараларға жібереді, соның салдарынан гомологияға бірлестіретін карта туындайды. Топологиялық кеңістіктер X және Y арасындағы үздіксіз карта X және Y тізбектік кешендері арасында тізбек картасын тудырады, демек, X және Y дара гомологиялары арасында f* картасын тудырады. Егер X және Y екеуі де n сфераға тең болса, гомологияға индукцияланған карта, f картасының дәрежесін анықтайды. Тізбек картасы түсінігі, тізбек картасының конусын салу арқылы шекараға дейін тоғысып келеді.

Тізбектің гомотопиясы

Тізбек гомотопиясы екі тізбек картасын байланыстыратын жол ұсынады, олар гомология топтарында бірдей картаны тудырады, тіпті карталар әр түрлі болса да. Екі тізбек кешені A және B, және екі тізбек картасы f, g: A → B берілген болса, тізбек гомотопиясы – бұл hn: An → Bn+1 гомоморфизмдер тізбегі, ондағы 1=hdA + dBh = f − g. Карталарды келесідей диаграмма түрінде көрсетуге болады, бірақ бұл диаграмма коммутативті емес. Кез келген h үшін hdA + dBh картасы гомология бойынша нөлдік картаны тудыратынын тексеру оңай. Сондықтан f және g тізбектік гомотопты (немесе жай ғана гомотопты) деп айтады, және бұл қасиет тізбек карталары арасындағы эквиваленттілік қатынасын анықтайды. X және Y топологиялық кеңістіктер болсын. Сингулярлық гомология жағдайында, f, g: X → Y үздіріссіз карталары арасындағы гомотопия f және g сәйкес тізбек карталары арасында тізбек гомотопиясын тудырады. Бұл екі гомотоптық картаның сингулярлық гомологияда бірдей картаны тудыратынын көрсетеді. "Тізбек гомотопиясы" атауы осы мысалмен байланысты.

Бірлік гомология

X топологиялық кеңістік болсын. Cn(X) табиғи n үшін X-тегі жеке n-симплекстермен формалды түрде құралатын еркін абель тобы деп анықталады, ал шекара операторын төбесі алынып тасталған жағдайда былай анықтаймыз:

Яғни, жеке симплекстің шекарасы – оның жақтарына шектеулердің кезектесіп қосылуынан тұрады. ∂2 = 0 екенін көрсетуге болады, сондықтан бұл тізбектік кешен болып табылады; жеке гомология – осы кешеннің гомологиясы. Жеке гомология – гомотопиялық теңдестікке дейінгі топологиялық кеңістіктердің пайдалы инварианты. Нөлдік дәрежелі гомология тобы – X-тің жол компоненттеріндегі еркін абель тобы.

de Rham кохомологиясы

Кез келген тегіс көптүрлі M-де k дифференциалдық формалар қосылу бойынша Ωk(M) деп аталатын нақты векторлық кеңістікті құрайды. Сыртқы туынды d, Ωk(M) кеңістігін Ωk+1(M) кеңістігіне бейнелейді, ал d = 0 теңдігі негізінен екінші туындылардың симметриясынан туындайды. Сондықтан, k формаларының векторлық кеңістіктері сыртқы туындымен бірге коцейн кешенін құрайды. Бұл кешеннің кохомологиясы М-нің де Рам кохомологиясы деп аталады. Жергілікті тұрақты функциялар, М-нің өзара байланыссыз компоненттерінің саны c-мен изоморфизмі арқылы белгіленеді. Осылайша, кешен нөлдік форма деңгейінде дәл болуын қамтамасыз ету үшін кеңейтілді. Көптүрліліктер арасындағы тегіс бейнелеулер тізбек бейнелеулерін, ал бейнелеулер арасындағы тегіс гомотопиялар тізбек гомотопияларын тудырады.