Введение

Размер подмножеств в теории порядка

В математике, особенно в теории порядка, кофинальность cf(A) частично упорядоченного множества A — это наименьшая из кардинальностей кофинальных подмножеств A. Это определение кофинальности опирается на аксиому выбора, поскольку использует тот факт, что любое непустое множество кардинальных чисел имеет наименьший элемент. Кофинальность частично упорядоченного множества A может быть также определена как наименьший ординал x, для которого существует функция из x в A с кофинальным образом. Это второе определение имеет смысл и без аксиомы выбора. Если предположить аксиому выбора, как это будет сделано в остальной части статьи, то оба определения эквивалентны. Кофинальность может быть аналогично определена для ориентированного множества и используется для обобщения понятия подпоследовательности в сети.

Примеры

Кофинальность частично упорядоченного множества с наибольшим элементом равна 1, поскольку множество, состоящее только из наибольшего элемента, является кофинальным (и должно содержаться в каждом другом кофинальном подмножестве). В частности, кофинальность любого ненулевого конечного порядкового числа, или, вообще, любого конечного направленного множества, равна 1, поскольку такие множества имеют наибольший элемент. Каждое кофинальное подмножество частично упорядоченного множества должно содержать все максимальные элементы этого множества. Таким образом, кофинальность конечного частично упорядоченного множества равна числу его максимальных элементов. В частности, пусть – множество мощности и рассмотрим множество подмножеств , содержащих не более чем элементов. Это частично упорядочено отношением включения, и подмножества с элементами являются максимальными. Таким образом, кофинальность этого частично упорядоченного множества равна "из по ". Подмножество натуральных чисел является кофинальным в тогда и только тогда, когда оно бесконечно, и, следовательно, кофинальность равна . Таким образом, является регулярным кардиналом. Кофинальность действительных чисел с их обычным упорядочением равна , поскольку является кофинальным в . Обычное упорядочение не является изоморфным порядку кардинальности действительных чисел, которая имеет кофинальность строго большую, чем . Это демонстрирует, что кофинальность зависит от порядка; различные порядки на одном и том же множестве могут иметь разную кофинальность.

Свойства

Если множество допускает полностью упорядоченное кофинальное подмножество, то мы можем найти подмножество, которое хорошо упорядочено и кофинально в этом множестве. Любое подмножество этого множества также хорошо упорядочено. Два кофинальных подмножества с минимальной кардинальностью (то есть, их кардинальность равна кофинальности множества) не обязаны быть изоморфными по порядку (например, если множество равно ω₁, то оба множества ω₁ и ω₂ рассматриваемые как подмножества ω₁ имеют счетную кардинальность, равную кофинальности ω₁, но не изоморфны по порядку). Однако кофинальные подмножества с минимальным типом порядка будут изоморфны по порядку.

Кофинальность порядковых чисел и других хорошо упорядоченных множеств

Кофинальность ординала – это наименьший ординал, являющийся типом упорядочения кофинального подмножества этого ординала. Кофинальность множества ординалов или любого другого вполне упорядоченного множества – это кофинальность типа упорядочения этого множества. Таким образом, для предельного ординала существует последовательность, индексированная и строго возрастающая, с пределом . Например, кофинальность ω равна ω, поскольку последовательность (где n пробегает натуральные числа) стремится к ω, но в более общем случае любой счётный предельный ординал имеет кофинальность ω. Несчётный предельный ординал может иметь кофинальность ω, как это имеет место для ω₁, или несчётную кофинальность. Кофинальность 0 равна 0. Кофинальность любого ординала-последователя равна 1. Кофинальность любого ненулевого предельного ординала – бесконечный регулярный кардинал.

Однозначные и обычные порядковые числа

Регулярный ординал — это ординал, равный своей кофинальности. Сингулярный ординал — это любой ординал, который не является регулярным. Каждый регулярный ординал является начальным ординалом некоторого кардинала. Любой предел регулярных ординалов является пределом начальных ординалов и, следовательно, также является начальным, но не обязательно регулярным. Предполагая аксиому выбора, ωₙ является регулярным для каждого n. В этом случае ординалы ω и ω₁ являются регулярными, тогда как ω₂ и ω₃ являются начальными ординалами, которые не являются регулярными. Кофинальность любого ординала является регулярным ординалом, то есть кофинальность кофинальности α равна кофинальности α. Таким образом, операция кофинальности является идемпотентной.