Кіріспе
Кеңістіктің кохомологиясын дәрежелі сақинаға айналдырады. Математикада, әсіресе алгебралық топологияда, тостаған көбейтіндісі – екі p және q дәрежелі коциклді біріктіріп, p + q дәрежелі қосымша коцикл құру әдісі. Бұл кохомологияда ассоциативті (және дистрибутивті) дәрежелі коммутативті көбейту операциясын анықтайды, соның нәтижесінде X кеңістігінің кохомологиясы H*(X) деп аталатын дәрежелі сақинаға айналады. Тостаған көбейтіндісі 1935–1938 жылдары Дж. В. Александр, Эдуард Чех және Хасслер Уитнидің еңбектерінде, ал толық жалпы жағдайда 1944 жылы Сэмюэл Эйленберг еңбектерінде енгізілді.
In mathematics, specifically in algebraic topology, the cup product is a method of adjoining two cocycles of degree p and q to form a composite cocycle of degree p + q. This defines an associative (and distributive) graded commutative product operation in cohomology, turning the cohomology of a space X into a graded ring, H∗(X), called the cohomology ring. The cup product was introduced in work of J. W. Alexander, Eduard Čech and Hassler Whitney from 1935–1938, and, in full generality, by Samuel Eilenberg in 1944.
Интерпретация
Шарап өнімін келесі композициядан туындаған деп қарастыруға болады: және тізбекті кешендері бойынша, мұнда бірінші бейнелеу Кюннет бейнелеуі, ал екіншісі диагональ арқылы туындаған бейнелеу. Бұл композиция кохомология тұрғысынан жақсы анықталған бейнелеуді беру үшін бөлігіне өтеді, осылайша шарап өнімі пайда болады. Бұл тәсіл кохомология үшін шарап өнімінің болуын түсіндіреді, бірақ гомология үшін емес: ол картаны тудырады, бірақ сондай-ақ картаны тудыруы мүмкін, ол өнімді анықтауға қажетті бағытта емес. Дегенмен, бұл баспа өнімін анықтау үшін пайдалы. Шарап өнімінің осы ұсынылымынан екі сызықтылық шығады, яғни және.
This composition passes to the quotient to give a well defined map in terms of cohomology, this is the cup product. This approach explains the existence of a cup product for cohomology but not for homology: induces a map but would also induce a map , which goes the wrong way round to allow us to define a product. This is however of use in defining the cap product. Bilinearity follows from this presentation of cup product, i. e. and
Мысалдар
Шарақ өнімдері бірдей кохомологиялық топтары бар манифольдтарды кеңістіктердің конустарынан ажыратуға қолданылуы мүмкін. Бұл кеңістіктің кохомологиялық топтары T торымен бірдей, бірақ шарақ өнімі басқа. X жағдайында көшірмелерге байланысты коцепттердің көбейтілуі дегенеративті, ал T-да бірінші кохомологиялық топтағы көбейтуді торды 2-ұяшықты диаграмма ретінде жіктеу үшін пайдалануға болады, осылайша көбейтінді Z-ге тең болады (жалпы жағдайда, бұл базалық модуль M).
Шарап өнімдері мен дифференциалдық түрлері
Де-Рам когомологиясында дифференциалдық формалардың тостаған көбейтіндісі клиндік көбейтінді арқылы туындайды. Яғни, екі жабық дифференциалдық форманың клиндік көбейтіндісі, осы екі бастапқы де-Рам класының тостаған көбейтіндісіне сәйкес келетін де-Рам класына жатады.
two closed differential forms belongs to the de Rham class of the cup product of the two original de Rham classes.
Шарап өнімдері мен геометриялық қиылыстар
Бағдарланған көптүрліліктер үшін "кубок көбейтіндісі қиылыстарға қарама-қарсы" деген геометриялық тұжырым бар. Шындығында, өлшемді бағытталған тегіс көптүрлілік болсын. Егер екі кодименсиялы және көлденең қиылысатын қосалқы көптүрлілік болса, онда олардың қиылысуы қайтадан кодименсиялы қосалқы көптүрлілік болады. Осы көптүрліліктердің негізгі гомология кластарын кіріктіру арқылы алып, гомология бойынша билинейлік көбейтінді алуға болады. Бұл көбейтінді Пуанкаре дуалы, яғни Пуанкаре жұптастығын ескерсек, келесі теңдік орындалады:
Сонымен қатар, байланыс саны қиылыстар арқылы анықталуы мүмкін, өлшемдерді 1-ге жылдыру арқылы, немесе альтернативті түрде, байланыстың толықтыруындағы нөлдік емес кубок көбейтіндісі ретінде анықталуы мүмкін.
Масси өнімдері
Кескінің көбейтіндісі – екілік (2 ary) операция; үштік (3 ary) және одан да жоғары тәртіпті Massey көбейтіндісі деп аталатын операцияны анықтауға болады, ол кескінің көбейтіндісін жалпылайды. Бұл жоғары реттік кохомология операциясы, және ол толық анықталмайды (тек кейбір үштіктер үшін ғана анықталған).