Введение
Превращает кохомологию пространства в градуированное кольцо. В математике, в частности в алгебраической топологии, чашечное произведение — это метод объединения двух коциклов степеней p и q для получения составного коцикла степени p + q. Это определяет ассоциативную (и дистрибутивную) градуированно-коммутативную операцию произведения в кохомологии, превращая кохомологию пространства X в градуированное кольцо, H∗(X), называемое кольцом кохомологий. Чашечное произведение было введено в работах Дж. В. Александра, Эдуарда Чеха и Хасслера Уитни в период с 1935 по 1938 год, а в полной общности — Сэмюэлем Эйленбергом в 1944 году.
In mathematics, specifically in algebraic topology, the cup product is a method of adjoining two cocycles of degree p and q to form a composite cocycle of degree p + q. This defines an associative (and distributive) graded commutative product operation in cohomology, turning the cohomology of a space X into a graded ring, H∗(X), called the cohomology ring. The cup product was introduced in work of J. W. Alexander, Eduard Čech and Hassler Whitney from 1935–1938, and, in full generality, by Samuel Eilenberg in 1944.
Интерпретация
Можно рассматривать кубковый продукт как индуцированный из следующей композиции: в терминах цепных комплексов и , где первое отображение является отображением Кюннета, а второе – отображением, индуцированным диагональю. Эта композиция переходит к частному, чтобы дать корректно определенное отображение в терминах кохомологии, и это есть кубковый продукт. Этот подход объясняет существование кубкового продукта для кохомологии, но не для гомологии: индуцирует отображение , но также индуцирует отображение , которое имеет неверное направление для определения произведения. Однако это полезно при определении произведения "кап". Двулинейность следует из этого представления кубкового продукта, то есть и .
This composition passes to the quotient to give a well defined map in terms of cohomology, this is the cup product. This approach explains the existence of a cup product for cohomology but not for homology: induces a map but would also induce a map , which goes the wrong way round to allow us to define a product. This is however of use in defining the cap product. Bilinearity follows from this presentation of cup product, i. e. and
Примеры
Продукты из чашки могут использоваться для различения многообразий от клиньев пространств с одинаковыми группами когомологий. Пространство имеет те же группы когомологий, что и тор T, но с другим произведением по чашке. В случае X умножение коцепей, связанных с копиями , является вырожденным, в то время как в T умножение в первой группе когомологий можно использовать для разложения тора в виде 2-ячеечной диаграммы, таким образом, произведение равно Z (в более общем случае M, где это базовый модуль).
Кубок и его дифференциальные формы
В когомологиях де Рама, произведение по чашечке дифференциальных форм индуцируется внешним произведением. Иными словами, внешнее произведение двух замкнутых дифференциальных форм принадлежит классу де Рама произведения по чашечке двух исходных классов де Рама.
two closed differential forms belongs to the de Rham class of the cup product of the two original de Rham classes.
Кубок и геометрические пересечения
Для ориентированных многообразий существует геометрическая эвристика, что "произведение чашек двойственно пересечениям". Действительно, пусть M – ориентированное гладкое многообразие размерности n. Если два подмногообразия A и B коразмерности k и n-k пересекаются поперечно, то их пересечение A ∩ B снова является подмногообразием коразмерности k. Отображая фундаментальные классы гомологии этих подмногообразий посредством включений, можно получить билинейное произведение на гомологии. Этот продукт является двойственным по Пуанкаре к произведению чашек, в том смысле, что, рассматривая спаривания Пуанкаре, получаем следующее равенство:
Аналогично, число сцепления можно определить через пересечения, сдвигая размерность на 1, или, альтернативно, через невырожденное произведение чашек на дополнении зацепления.
Продукты Massey
Произведение чашек — это бинарная (2-арная) операция; можно определить тройную (3-арную) и операции более высокого порядка, называемые произведением Масси, которые обобщают произведение чашек. Это кохомологическая операция более высокого порядка, которая определена лишь частично (только для некоторых троек).